高数期末考试题

往届高等数学期终考题汇编
2021-01-12
一．解答以下各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim
1
0x
x e x ++
→.
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .
3.设⎪⎩⎪⎨
⎧-=-=3
232t
t y t
t x ，求
2
2d d x
y .
4.判定级数()()0!1
2≥-∑∞
=λλλn n
n n n e 的敛散性.
7.⎰-π
03d sin sin x x x .
⎪⎩⎪⎨
⎧
≤≤<=ππ
πx x x x f 2
,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛
于()x f 的区间.
0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.
1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.
二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.
三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴与曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 与曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.
四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体与空气温度之差成正比,空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间 五.(8分)(学习工科数学分析的做〔1〕，其余的做〔2〕)
〔1〕证明级数∑∞
=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.
〔2〕求幂级数()∑∞
=-----1
2
21
21212)1(n n n n x n 的收敛域与与函数.
六.(6
分)设()[]
b a C x f ,2∈,试证存在
[]
b a ,∈ξ,使
()()()()⎰
''-+
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b a
f a b b a f a b dx x f ξ324
1
2
2021．1．15
一．解答以下各题(6*10分): 1.计算极限 ()x
x x e x x 30
sin 2
2lim
++-→.
2.设,5
arctan log 22π+-=x x e y x 求y d .
3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求3
2
2d d π
=
t x y .
4.判定级数∑∞
=12
3n n n
n 的敛散性.
8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=2
1,21
0,1x x x f 在[]2,0上展成以
4为周期的正弦级数.
()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.
72+=x y 与532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的
体积.
二.(9分)证明:当0≥x 时,有
三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 与b 的值.
四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？
五．〔8分〕求幂级数n
n n
x n n ∑
∞
=+0
!21的收敛域与其与函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且
()a x
x f x =→0lim
()0>a ,
证明:()⎪⎭⎫
⎝⎛-∑∞
=-n f n n 111
1条件收敛.
2007年1月
一. 计算以下各题(6*10分):
1．计算极限()x
x x e x x arctan 1
1ln lim 0
---+→.
2. 设21arcsin x y -=, 求y d .
3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.
01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y . 4. 判定级数∑∞
=+13
4n n
n
的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d x
x x
.
6设()
21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .
7. 将()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤<≤≤=.2 ,0;2
0 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 与π2
5
=x 两点的收敛值.
8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.
9求微分方程()()2
7121+=-'+x y y x 的通解.
10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.
二. (9分) 假设函数
()⎪
⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0
,;
0 ,d 1cos 2x a x x
t
e x
f x t 在0=x 点可导. 求a 与()0f '.
三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0
,0x e x -,使得过该点的切
线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少
五.(8分)求幂级数()∑∞
=+1
1n n
x n n 的与函数并求出级数()
∑∞
=+1
211n n
n n 的
与.
六. (6分) 函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式
()()()0d 110
=+-+'⎰x
t t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x 2006年1月
一. 计算以下各题(6*10分):
1. 30
sin tan lim x
x
x x -→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 2
1
arctan x y , 求y d .
()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0
,10
,2
x x x e x f x , 求()x x f d 121⎰--. 4. 判定级数2
1
2
121n n n n n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∑∞
=的敛散性.
5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.
7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数. 8. 将函数()2
31
2++=
x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区
间.
9. 求微分方程x e x y y x 43=-'的通解.
10. 设曲线2ax y =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 与点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大
二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα
-≤-1x x , ()10<<α.
三. (9分). 设()⎰-=2
2
1
d x t t e
x f , 求()⎰1
d x x xf .
四. (9
分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克制阻力所作的功.
五. (9分) 求级数()∑
∞
=+03
11
n n
n 的与.
六. (5
分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:
2005年1月15日
一. 解答以下各题〔6×10分〕
1． 计算极限()x
x x x x e x x sin 1sin lim 0
-+-→ 2． 设()1ln 2
1
1222++++=
x x x x y ，求y d .
3． 设
()⎩⎨
⎧>+≤=0
2 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 与b .
4． 判定级数
()∑
∞
=--1
131n n
n n 的敛散性. 假设收敛,是条件收敛还是绝
对收敛
5． 设()x y y =由方程y
e y x y ++-=)ln(1所确定,求y '.
6． 设()x f 连续,且满足
()x t t f x =⎰
-1
3d .求()?26=f .
7． 求()112322
3
+--=x x x x f 的极值. 8． 计算不定积分⎰-x
x
x 2
ln 4d .
9． 计算定积分
x x d arctan
1
⎰.
10． 求由曲线12
+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形
绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.
二. (8分). 试证明不等式⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.
三. (9分) 将函数()3
21
2-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛
区间.
四. (9
分) ()x f 在12=x 的邻域内可导, 且
()0lim 12=→x f x ,()2
2005
lim 12=
'→x f x . 求极限()()312121212d d lim x t u u f t x
t x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→
. 五.(8分) 求幂级数n
n x n n ∑∞
=+0!
1的收敛域与与函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .
证明 ()()x x f dx x f d 1032
1
0⎰⎰≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 2004年1月
一、解以下各题
1、1
0lim ,(0,0)2
x
x
x
x a b a b →⎛⎫
+>>
⎪⎝
⎭
其中
2、设22(sin )x x y x e x -=+,求y '
3、求不定积分arctan x xdx ⎰
4、求不定积分21(1)
dx x x +⎰
5
、求定积分4
⎰
6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e
===与x 轴围成的图形的面积。

7、判定级数54
1
ln n n n
∞
=∑的敛散性
8、将2
()x
t f x e dt -=⎰展开为x 的幂级数，并求收敛域。

9、求幂级数1
1
12n n
n x n ∞
-=∑
的收敛域与与函数。

10、曲线61,(0)3
y x x =>上哪一点的法线在y 轴上的截距最小
二、证明：当02
x π<<时，2sin x x π
>
三、设某产品的本钱函数为2C aq bq c =++，需求函数为1()q d p e
=-，
其中C 为本钱，q 为需求量(也是产量)，p 为单价，,,,,a b c d e 都是正
常数，且d b >。

求(1)
利润最大时的产量与最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。

四、曲线y =
x 轴旋转一周，得一旋转体，假设把它在0x =与之间局部的体积记为()V ξ，试求lim ()V ξξ→+∞
五、设()f x 为[,}a b 上连续，且()0f x >，求证：在(,)a b 内存在一点ξ，在4()()5b
a
a
f x dx f x dx ξ
=⎰⎰
2003年1月
一、解以下各题
1、011lim 1
x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝
⎭
2、设()y y x =由方程cos()y xy x =+确定，求y '
3
、设020
x y x ≠=⎪=⎩
在0x =点连续，试确定,a b 的值
4、判定级数12!
n n n n n
∞
=∑的敛散性
5、设曲线方程为2sin cos x t t
y t t
=++⎧⎨=+⎩，求此曲线在2x =点处的切线方程
6、设()f x 在点0x 处有00()()0f x f x '==，而()x ϕ在0x 点与其邻域有定义
且有界，试证明函数()()()F x f x x ϕ=在点0x 处可导，并求0()F x '
7、将
02
()02
x f x x π
ππ
π
⎧≤≤
⎪=⎨
⎪<<⎩
展开成周期为2π的付立叶正弦级数
8、计算不定积分2
2
12x
x xe dx e
-⎰
9
、计算定积分4
0⎰
10、求由ln ,02y x y x ===和所围成的平面图形绕y 轴旋转所成的立体的体积
二、证明：当02
x π<<时，sin tan 2x x x +>
三、A ，B 两厂在直河岸的同侧，A 沿河岸，B 离岸4公里，A 与B 相距5公里，今在河岸边建一水厂C ，从水厂C 到B 厂每公里水管材料费是A
水厂C 设在离A 厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费最省？ 四、试求幂级数02n
n
n n x ∞
=∑
的收敛域与与函数 五、设()f x 为[,)a +∞上单减连续函数，有1()()x
a
F x f t dt x a =-⎰，证明当
x a >时，()F x 为单调减函数
六、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1
0()0f t dt =⎰，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得2()()0f f ξξξ'+=
七、可导函数()f x 满足0()cos 2()sin 1x
f x x f t tdt x +=+⎰，求()f x 2002年1月
一、试解以下各题(每题5分，共25分)
1．求极限()12lim +-+∞
→n n n n 。

2．设⎪⎩
⎪⎨
⎧=≠+=0
0011)(1
x x e x f x ，研究)(x f 在点0=x 处的左连续性与右连
续性。

3．设1sin arctan(ln )x
y e x =+，求y '。

4．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

5．计算定积分dx e e x x 125
ln 0-⎰。

二、解以下各题(每题5分，共25分)。

1．求极限1
ln 10)
(sin lim +→+
x x x ；
2．设函数)(x y y =由方程y
xe y +=1所确定，求22
d d x y
x
=。

3．求积分x x
x
x d cos 1cos sin 23
⎰
+；
4．求极限dt
)sin (dt
sin lim
2
20
2⎰
⎰-→x x x t t t t ；
5．试判定级数1
1
1
2
)1(-∞
=-∑-n n n n 的敛散性，假设收敛，是绝对收敛还
是条件收敛？
三、(7分)求积分2(arccos )d x x ⎰。

四、(7分)将函数
||2
()0||2
H x f x x π
ππ
π
⎧≤
⎪⎪
=⎨
⎪<≤⎪⎩
，展开成以π2为周期的傅里
叶级数，其中H 为常数。

五、(7分)将函数6
1
)(2--=x x x f 展开成1-x 的幂级数，并指出收敛区
间。

六、(7分)试证明不等式36
1
sin x x x ->，其中2
0π
<<x 。

七、(8分)一容器由抛物线2x y =绕y 轴旋转而成，其容积为3m 72π，其中盛满水，水的比重为1，现将水沉着器中抽出3m 64π，问需作多少功？
八、(8分)设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。

1) 画出水位高度随时间变化的函数)(t y y =的图形(不要求准确图形，但应画出曲线凹凸性并表示出拐点)
2) )(t y y =何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。

九、(6分)设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且满足13
(1)3()d 0f xf x x -=⎰，试证存在一点)1,0(∈ξ，使ξ
ξξ)
()(f f -
='。

2000年1月
一、求解以下各题：〔每题6分，共60分〕
1．设2336)2()1(++=x x x y ，求y '。

2．求极限⎪⎭
⎫
⎝⎛
--→x e x
x 111lim 0。

3．将⎩⎨
⎧≤<≤=2
|||1||,
0,
1)(x x x f 展开成以4为周期的傅里叶级数。

4．试求过点)1,1(0-M 且与曲线01cos 22=--y e x 上点⎪⎭
⎫
⎝
⎛3,0π的切线相垂直的直线方程。

5．设
x
x t x t x t t f ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=∞
→lim )(，求)(t f '。

6．将)
1(1
)(+=
x x x f 展开为1
-x 的幂级数。

7．设D 是由曲线x y sin 1+=与三条直线0=x ，π=x ，0=y 所围成的曲线梯形，求D 绕ox 轴旋转一周所得旋转体积。

8．求极限20
cos 1dt
)(lim
2x e e x t t x --⎰-→。

9
．求不定积分。

10．判别级数1
tan 2n n n π
+∞
=∑的敛散性。

二、〔8分〕求不定积分2(ln )d x x x ⎰。

三、〔8
分〕求定积分
20
a x ⎰。

)0(>a
四、〔8分〕设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0,0
0,)()(x x x
e x g x
f x
，其中)(x g 有二阶连续导数。

且1)0(=g ，1)0(-='g 。

1)求)(x f '； 2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连
续性。

五、〔8分〕试确定a 的值，使曲线)1(2x a y -=与该曲线在)0,1(-与)0,1(两点处的法线所围成图形面积最小。

〔其中)0(>a 〕。

六、〔8分〕设0|sin |d n n a x x x π
=⎰，),2,1( =n
求极限⎪⎭
⎫
⎝⎛
+++∞
→n n n a a a 222lim 22
1 98年1月
一、填空题
1．=+→x
x x sin 20
)31(lim
2．x x y sin 2-=在]2
,0[π
上的最小
值为
3．设⎩
⎨
⎧≠'-=-=0)0()1()(3f e f y t f x t
π，那么==0
d d t x y
4．设⎰++=2
2d )32()(x t t t x f ，那么=--→α
α)
()(lim
x f x f a
5．设∑∞
=0
n n
n x a 在1-=x 条件收敛，那么∑∞
=-0
)1(n n n x a 的敛区为 二、选择题
1．当0→x 时，变量
2
21
sin 1x x 是〔 〕
A) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界但不是无穷小 D)
无界但不是无穷大
2．0=x 是12sin ()||
1x
x
f x x e
=
+
+的〔 〕连续点 A) 跳跃 B) 可去 C) 无穷 D) 振荡
3．假设)(x f 是导函数是x sin ，那么)(x f 有一个原函数为〔 〕 A) x sin 1+ B) x sin 1- C) x cos 1+ D) x cos 1- 4．设
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=1
1|
1|)1()(22x x x x x f ，那么在1=x 处)(x f 〔 〕
A) 不连续 B) 连续但不可导 C)可导但导数不连续 D)
可导且导数连续
5．设)(x s 是
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤<+≤
≤=π
π
π
x x x x f 2
12
01)(的以π2为周期的傅里叶正弦级
数的与函数，那么)2
(π
-
s 等于〔 〕
A) 4
1π+ B) 1 C) )4
1(π
+
- D) -1
三、设)(x y y =由1=-y xe y 所确定，求0
22d d =x x y 。

四、计算⎰-π0d sin 1x x 。

五、计算x 。

六、计算3+∞⎰。

七、证明：当1>x 时，
1
ln )1ln(+>+x x x x 。

八、讨论∑∞=>1
)0(!n n n a n n a 的敛散性。

九、求∑∞=-12)1(21n n n 。

十、求由x y x 222≤+与x y ≥所围图形绕直线2=x 旋转一周所得旋转体的体积。

十一、设)(x f 在],[b a 上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，
证明：存在),(b a ∈ξ与),(b a ∈η使0)(=ξf 与0)(=''ηf 。

99年1月
一、填空题
1．=-∞
→x e x x arctan lim 2．设)1ln(2x x x y ++=，那么='y
3．设)(x y y =由0sin =+x
ye y x 确定，那么=')0(y 4．∑∞=1
1n x n 的收敛域为 。

5．21sin d 2x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
⎰ 。

二、选择题
1．设)(t f y =，)(x g t =都可微，那么=y d 〔 〕
A) t t f d )(' B) x x g d )(' C) t x g t f d )()('' D) t t f d )(' 2．1=x 是11arctan
)(2-+=x x x f 的〔 〕型连续点 A) 可去 B) 跳跃 C) 无穷 D) 振荡
3．以下命题中哪一个是正确的？〔 〕
A) )(x f 在),(b a 中的极值点，必定是使0)(='x f 。

B) 0)(='x f 的点必定是)(x f 的极值点。

C) )(x f 在),(b a 内取得极值的点处，其导数)(x f '必不存在。

D) 0)(='x f 的点是)(x f 可能取得极值的点。

4．设⎰=202d sin )(x t t x x f ，那么=')(x f 〔 〕
A) 4sin x x B) 42sin 2x x C) 4202sin 2d sin 2x x t t x x +⎰ D) 402sin d sin 2
x x t t x +⎰ 5．曲线x y -=42与y 轴所围局部的面积为〔 〕 A) ⎰-40d 4x x B) ⎰-202d )4(y y C) ⎰--222d )4(y y D) ⎰--44d 4x x
三、求不定积分⎰x x x d sin 2。

四、求不定积分⎰+22-1)(1d x x x 。

五、将⎪⎩
⎪⎨⎧≤<≤=ππππ||202||)(x x H x f 展开成以π2为周期的傅里叶级数。

六、将)32ln()(2x x x f +-=展开成x 的幂级数。

七、求31
020sin 1lim x x x dt t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰→。

八、计算⎰∞+12
arctan dx x x 九、设)(x f 在],0(a 上二阶可导，且0)(>''x f ，0)0(=f 。

证 x x f x g )()(=
在],0(a 上单调增。

十、求曲线x x y 22-=，0=y ，1=x ，3=x 所围成的平面图形的面积，并求该图形绕y 轴旋转一周所得立体的体积。

十一、设)(x f 在0=x 某邻域内具有连续的二阶导数且0)(lim 0
=→x x f x ， 证明：级数∑∞=⎪⎭
⎫
⎝⎛11n n f 绝对收敛。