北师大版九年级上册数学 第四章 相似三角形的判定和性质(解析版)

第四章 相似三角形的判定和性质
一、单选题
1．如图，在ABC 中，点D 在BC 上一点，下列条件中，能使ABC 与DAC △相似的是（ ）
A ．∠BAD ＝∠C
B ．∠BA
C ＝∠BDA C ．AB 2＝B
D ∙BC D ．AC 2＝CD ∙CB
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定即可．
【详解】 ABC 与DAC △有一个公共角，即ACB DCA ∠=∠，
要使ABC 与DAC △相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，
观察四个选项可知，选项D 中的2AC CD CB =⋅， 即AC CB CD AC
=，正好是ACB ∠与DCA ∠的两边对应成比例，符合相似三角形的判定， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
2．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）
A ．1111112.5,2,3;3,4,6A
B B
C AC A B B C AC ======
B ．11111192,3,4;3,6,2
AB BC AC A B B C AC ====== C
．11111110,8;AB BC AC A B BC AC ======D
．1111111,3;AB BC AC A B BC AC ===== 【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理进行判断．
【详解】
解：A 、
11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632
AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和∠111A B C 相似，正确；
C
、1111AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误； D
、1111
AB BC AC B C ==≠=，不能使ABC ∆和∠111A B C 相似，错误； 故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．
3．∠ABC 与∠DEF 的相似比为1:4，则∠ABC 与∠DEF 的面积比为（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:4
D ．1:16
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∠∠ABC∠∠DEF ，且∠ABC 与∠DEF 相似比为1：4， ∠∠ABC 与∠DEF 的面积比=（
14
）2=1：16， 故答案为D
【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 4．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∕∕，点,E F 分别是边,AD BC 上的点，AF 与BE 交于点O ，2,1AE BF ==，则AOE ∆与BOF ∆的面积之比为（ ）
A ．12
B ．14
C ．2
D ．4
【解析】
【分析】
由AD∠BC ，可得出∠AOE∠∠FOB ，再利用相似三角形的性质即可得出∠AOE 与∠BOF 的面积之比．
【详解】
：∠AD∠BC ，
∠∠OAE=∠OFB ，∠OEA=∠OBF ，
∠~AOE FOB ∆∆，
∠所以相似比为2AE BF
=， ∠224BOF
AOE S S ∆∆==． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．如图，,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，且DE AC ，,AE CD 相交于点O ，若
:1:25DOE COA S S =△△，则:DE AC 的值为（ ）
A ．1:3
B ．1:4
C ．1:5
D ．1:25
【答案】C
【分析】
根据题意可证明DOE COA，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值．
【详解】
解：∠DE AC
∠DOE COA
∠根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为1: 5．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有∠相似三角形周长的比等于相似比；∠相似三角形面积的比等于相似比的平方；∠相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
6．已知∠ABC和∠ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使∠ADC和∠ABC相似，CD可以等于（）．
A．
2
a
c
B．
2
b
a
C．
a b
c
D．
2
b
ac
【答案】B 【解析】【分析】
由∠ADC和∠ABC相似，可得到CD AC
AC BC
，从而完成求解．
【详解】
∠∠ADC和∠ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°
∠CD AC AC BC
∠CD b b a
=
∠
2
b CD
a
=
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．7．在∠ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截∠ABC，使截得的三角形与∠ABC相似，这样的直线可以作（）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】
满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过D作DE∠AC，则有∠BDE∠∠BAC；
如图2，过D作DE∠BC，则有∠ADE∠∠ABC；
如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有∠ADE∠∠ACB；
如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有∠BED∠∠BAC，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
8．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形边上的点，HF 过矩形的中心O ，且HF AD =．E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，则四边形EFGF 的周长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】B
【解析】
【分析】 连接EG ，证明四边形EHGF 是矩形，再证明AEH DHG △∽△，求得AH 与DH 的长度，由勾股定理求得EH 与HG ，再由矩形的周长公式求得结果．
【详解】
解：连接EG ，
四边形ABCD 是矩形，
AB CD ∴=，//AB CD ， E 为AB 的中点，G 为CD 的中点，
AE DG ∴=，//AE DG ，
∴四边形AEGD 是平行四边形，
AD EG ∴=，
矩形是中心对称图形，HF 过矩形的中心O ．
EG ∴过点O ，且OH OF =，OE OG =，
∴四边形EHGF 是平行四边形，
HF AD EG ==，
∴四边形EHGF 是矩形，
90EHG ∴∠=︒，
90A D ∠=∠=︒，
90AHE AEH AHE DHG ∴∠+∠=∠+∠=︒，
AEH DHG ∴∠=∠，
AEH DHG ∴△∽△， ∴AH AE DG DH
=， 设AH x =，则5DH x =-，
122
AE DG AB ===， ∴
225x x
=-，
解得，1x =或4，
1AH ∴=或4，
当1AH =时，4DH =，则HE ==
HG =
∴
四边形EFGH 的周长2=⨯=
同理，当4AH =时，四边形EFGH 的周长2=⨯=；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形EHGF 是矩形．
9．如图，ABC 中，4AB AC ==，
点D 在BC 边上，连接AD ，现将ACD △沿着AD 对折，得到AED ，DE 与AB 交于点F ，若DE AB ⊥，14
DF AF =，则BC 的长为（ ）
A ．3.8
B ．5013
C ．4
D ．6417
【答案】D
【解析】
【分析】 过点A 作AM ∠BC 于点M ，证出AM =AF ，DM =DF ，设DF k =，则4AM AF k ==，=DM DF k =，44BF AB AF k =-=-，求出()4441616k k BF AM BM k DF k
-===-，在Rt ABM ∆中，由勾股定理求出k 的值，进而求出BM 的值，从而得出BC 的长度．
【详解】
解：过点A 作AM ∠BC 于点M ，如图：
在∠ABC 中，AB =AC =4，
∠BC =2BM =2CM ，
由折叠可知：∠ADC ∠∠ADE ，
∠AE =AC =4，∠C =∠E ，
∠AM ∠BC ，DE ∠AB 于F 点，
∠∠ACM ∠∠AEF ，
∠AM =AF ， 又∠AD =AD ，
∠Rt ∠ADM ∠Rt ∠ADF ，
∠DM =DF ，
∠
14DF AF =，
设DF k =，则4AM AF k ==，=DM DF k =，44BF AB AF k =-=-，
在BDF ∆和BAM ∆中，
90B B BFD BMA ∠=∠∠=∠=︒，，
∠BDF
BAM ∆∆， ∠BF DF BM AM
=， ∠()4441616k k BF AM BM k DF k -=
==-， 在Rt ABM ∆中，由勾股定理得：
222AM BM AB +=，即：()()22
2416164k k +-=， 整理得：21732150k k -+=，
解得：11517
k =，21k =， ∠1k =时，44AM AF k AB ====，不合题意，故舍去，
∠1517
k =， ∠32161617BM k =-=
， ∠64217
BC BM ==
， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了折叠、勾股定理、相似三角形、全等三角形，牢记性质，灵活应用，合理的作出辅助线是解决此题的关键．
10．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点E、F，满足AB EF，点P是BC的中点，连接AF、PE，若AB＝8，则当AF+PE最小值时，线段AF的长度为( )
A．6B C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取CD的中点M，连接AM交CD于F，过P作//
PE AM交BD于E，此时，AF+PE的值最小，根据三角
形的中位线的性质得到PM=1
2
BD，//
PM BD，根据平行四边形的判定和性质得到EP=FM，根据勾股定
理得到AM
【详解】
解：取CD 的中点M ，连接AM 交CD 于F ，过P 作PE ∠AM 交BD 于E ，此时，AF +PE 的值最小，
在正方形ABCD 中，BD ==
∠P 是BC 的中点， M 为CD 的中点，
∠PM =12
BD =//PM BD ， 又∠//PE AM ，
∠四边形PEFM 是平行四边形，
∠PM =EF ，EP =FM ，
∠AB ==，
故点EF 为所求点．
∠AM ==．
∠//AB CD ，
∠∠ABF ∠MDF ， ∠AF FM =AB DM
，
2
=
∠AF．
故选B．
【点睛】
本题是四边形的综合题．考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确的作出E，F的位置是解题的关键．
二、填空题
11．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．
【答案】8或1 2
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】
解：∠∠ACB=∠CBD=90°，
∠要使∠ACB和∠CBD相似，
必须AC CB BC BD
= 或AC BC BD BC = ∠AC=8，CB=2代入上式，求出BD=
12或8． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是根据题意得出比例式，注意：此题有两种情况，题型较好，通过做此题培养了学生对定理的理解和掌握．
12．如图，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么DC BC
=_____．
【解析】
【分析】
根据已知条件判定∠ACD∠∠ACB 即可得到结果；
【详解】
∠∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，
∠∠ACD∠∠ACB ， ∠=BC DC AD AC AC AB
=， ∠2AC AD AB =⋅，
223
AC AB AB =
⋅，
2223
AC AB =，
3
AC AB =
∠=BC DC ． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．
13．两个相似三角形的面积比为1:2，则它们的对应角平分线的比为_______．
【答案】1:【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质进行解答
【详解】
解：两个相似三角形的面积比为1:2，
则它们的相似比为：1:
则它们的对应角平分线的比为1:
故答案为：1:【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方，相似三角形的对应角平分线的比等于相似比是解题的关键
14．已知：在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE=1
2
AD，连接CE交BD于点F，则
BF
FD
的
值是________．
【答案】2 3
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得出AD∠BC、AD=BC，进而可得出∠DFE∠∠BFC，再利用相似三角形的性质即
可求出BF
FD
的值．
【详解】
解：∠四边形ABCD为平行四边形，∠AD∠BC，AD=BC，
∠∠DFE∠∠BFC，
∠
2
13
2
BF BC BC BC
FD DE AD AE AD AD
====
++，
故答案为：2
3
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合相似三角形的判定定理找出∠DFE∠∠BFC是解题的关键．
15．在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF
，
则AC＝_____．
【解析】
【分析】
先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出∠AEF∠∠AFC，即可得出结论．
【详解】
如图，过点E作EG∠AD于G，连接CF，
∠AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∠∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，
∠∠ACB＝90°，
∠2（∠BAD+∠ABE）＝90°，
∠∠BAD+∠ABE＝45°，
∠∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，
在Rt∠EFG中，EF，
∠FG ＝EG ＝1，
∠AF ＝4，
∠AG ＝AF ﹣FG ＝3，根据勾股定理得，AE ∠AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，
∠CF 是∠ACB 的平分线，
∠∠ACF ＝45°＝∠AFE ，
∠∠CAF ＝∠FAE ，
∠∠AEF∠∠AFC ， ∠AE AF AF AC
=，
∠AC ＝2AF
AE ，
故答案为：
5． 【点睛】
此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键． 16．在ABC ∆中，10AB =，5AC =，点M 在边AB 上，且2AM =，点N 在AC 边上.当AN =______
时，AMN ∆与原三角形相似．
【答案】1或4
【解析】【分析】
注意到∠A是两个三角形的公共角，只要满足AM AN
AB AC
=或
AM AN
AC AB
=，∠AMN与原三角形相似，据此
代入数据计算即可．【详解】
解：当AM AN
AB AC
=时，∠AMN∠∠ABC，即
2
105
AN
=，解得：AN=1；
当AM AN
AC AB
=时，∠AMN∠∠ACB，即
2
510
AN
=，解得：AN=4；
所以当AN=1或4时，∠AMN与原三角形相似．
故答案为：1或4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，属于常考题型，合理分类、熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．17．如图，点D为∠ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使∠BDE∠∠ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．
【答案】15 4
.
【解析】
【分析】
根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当
BE DE
AE CE
=时，∠BDE∠∠ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【详解】
解：∠∠AEC＝∠BED，
∠当BE DE
AE CE
=时，∠BDE∠∠ACE，
即45 3CE =
∠CE＝15 4
故答案为15
4
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
18．如图，在等边∠ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则∠ABC 的边长为__________.
【答案】9
【解析】
【分析】
由∠ADE=60°，可证得∠ABD∠∠DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得∠ABC的边长．
【详解】
∠∠ABC是等边三角形，∠∠B=∠C=60°，AB=BC；∠CD=BC-BD=AB-3；
∠∠BAD+∠ADB=120°
∠∠ADE=60°，
∠∠ADB+∠EDC=120°，∠∠DAB=∠EDC，
又∠∠B=∠C=60°，
∠∠ABD∠∠DCE；
∠AB BD CD CE
＝，
即
3
2
3
AB
AB
＝；
解得AB=9．
故答案为9．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得∠ABD∠∠DCE是解答此题的关键．
19．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m∠
【答案】0.5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得∠1.7:0.85=x∠1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
20．如图，在边长为3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠∠AED，点A的对应点为点F，当点F落在等边三角形ABC 的边上时，AE的长为_______．
【答案】1或5
【解析】
【分析】
先判断F点只可能落在边AB或BC上，然后分两种情况：当F点落在边BC上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质，判断∠DFC∠∠FEB，得到对应边成比例，解比例式可求出AE；F点落在边AB上时，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出AE．
【详解】
解：分析可知，F点只可能落在边AB或BC上，
∠当F 点落在边BC 上时，
EFC B BEF ∠=∠+∠，即EFD DFC B BEF ∠+∠=∠+∠
60EFD A B ∠=∠=∠=︒，
DFC BEF ∴∠=∠，
DFC FEB ∴∆∆∽， ∴BE BF EF CF CD FD
==， 而3EF BE EA BE AB +=+==，2DF DA AC CD ==-=， ∴33
12
AE CF AE CF --==，解得5AE =-5AE =； ∠F 点落在边AB 上时，
60A DFE ∠=∠=︒，90DEA ∠=︒，
30ADE ∴∠=︒，
111()21222
AE AD AC CD ∴==-=⨯=．
∠AE 的长为1或5-
【点睛】
本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题时要考虑全面，难度中等．
三、解答题
21．如图，在ABC ∆与ADE ∆中，
AB AC AD AE =，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE ∆∆.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先证得DAE BAC ∠=∠，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
【详解】
∠EAC DAB ∠=∠，
∠EAC BAE DAB BAE ∠+∠=∠+∠，
即DAE BAC ∠=∠，
又AB AC AD AE
=，
∠ABC ADE
∆∆．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：∠有两个对应角相等的三角形相似；∠有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；∠三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
22．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD 是DF和DA的比例中项．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得∠DCE∠∠DBC，∠DEF∠∠DAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得．
【详解】
证明：（1）∠∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∠∠DEF∠∠DAB，
∠DE：DA=DF：DB，
∠DE•DB=DA•DF，
∠∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∠∠DEC∠∠DCB，
∠CD DB DE CD
＝，
∠DC2=DE•DB，
又∠DE•DB=DA•DF，
∠CD2=DF•DA．
∠CD是DF和DA的比例中项
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∠BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B∠
(1)求证：∠ADF∠∠DEC
(2)若AB＝4,AD＝＝3,求AF的长.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
【详解】
（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形
∠AD∠BC AB∠CD
∠∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∠∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B
∠∠AFD=∠C
∠∠ADF∠∠DEC
(2)解：∠四边形ABCD 是平行四边形
∠AD∠BC CD=AB=4
又∠AE∠BC ∠ AE∠AD
在Rt∠ADE 中，6==
∠∠ADF∠∠DEC
∠AD AF DE CD =4
AF =
∠AF=24．如图，平行四边形ABCD ，DE 交BC 于F ，交AB 的延长线于E ，且∠EDB ＝∠C ．
（1）求证：∠ADE ∠∠DBE ；
（2）若DC ＝7cm ，BE ＝9cm ，求DE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝12cm ．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的对角相等，可得A C ∠=∠，即可求得A EDB ∠=∠，又因公共角E E ∠=∠，从而可证得ADE DBE ∆∆；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
【详解】
（1）平行四边形ABCD 中，A C ∠=∠
EDB C ∠=∠
A ED
B ∴∠=∠
又E E ∠=∠
ADE DBE ∴∆~∆；
（2）平行四边形ABCD 中，DC AB =
7,9DC cm BE cm ==
7,16AB cm AE AB BE cm ∴==+=
由题（1）得ADE DBE ∆∆
AE BE DE DE ∴=，即169DE DE
= 解得：12DE cm =.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键.
25．小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度,AB 但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB 下的影长DF 为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB 下的影长EC 为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高1.55DM NE ==米，网长 6.1MN =米，同时测得1步1≈米，求路灯的高度(结果保留一位小数)
【答案】路灯的高度约为4.7米
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定可得,FMD FAB 设,AB x =BD y =，列出比例式，然后证出,CNE CAB 列出比例式，然后联立方程，运用等比性质即可求出结论．
【详解】
解：//,DM AB
,FMD
FAB ∴ MD FD AB FB
∴= 设,AB x =BD y =
1.5522x y
∴=+ //,NE AB
,CNE CAB ∴
NE CE AB CB
∴= 1.5555 6.1x y
∴=++
1.552525 6.1x y y
∴==+++ ()()1.55525 6.12x y y -∴
=++-+ 1.559.1 4.73
x ⨯∴=≈ 答：路灯的高度约为4.7米．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
26．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．
（1）求证：∠MFC ∠∠MCA ；
（2）求CF BE
的值， （3）若DM ＝1，CM ＝2，求正方形AEFG 的边长．
【答案】（1）见解析；（2；（3． 【解析】
【分析】 （1）由正方形的性质得∠ACD =∠AFG =45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM =∠ACM ，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得
AF AC AE AB
=，再证明其夹角相等，便可证明∠ACF ∠∠ABE ，由相似三角形的性质得出结果； （3）由已知条件求得正方形ABCD 的边长，进而由勾股定理求得AM 的长度，再由∠MFC ∠∠MCA ，求得FM ，进而求得正方形AEFG 的对角线长，便可求得其边长．
【详解】
（1）∠四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，
∠∠ACD =∠AFG =45°，
∠∠CFM =∠AFG ，
∠∠CFM =∠ACM =45°，
∠∠CMF =∠AMC ，
∠∠MFC ∠∠MCA ；
（2）∠四边形ABCD 是正方形，
∠∠ABC =90°，∠BAC =45°，
∠AC AB ，
同理可得AF ，
∠AF AC AE AB
== ∠∠EAF =∠BAC =45°，
∠∠CAF+∠CAE =∠BAE+∠CAE =45°，
∠∠CAF =∠BAE ，
∠∠ACF ∠∠ABE ，
∠CF AC BE AB
== （3）∠DM =1，CM =2，
∠AD =CD =1+2=3，
∠AM ==
∠∠MFC ∠∠MCA ， ∠CM FM
AM CM
=2FM =，
∠FM =
5，
∠AF =AM ﹣FM =5
，
∠AG 2
=AF ，
即正方形AEFG ． 【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．
27．如图1，在ABCD 中，60ABC ∠=︒，:7:8AB AD =，E 为CD 边上一点，4CE =，连接AE ，BE ，且AE AB =．
（1）求证：EB 平分AEC ∠；
（2）当:2:5CE ED =时，在AD 上找一点P ，使PB PE +的和最小，并求出最小值；
（3）如图2，过点E 作EF BE ⊥交AD 于点F ，求DF DE
的值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）
23
． 【解析】
【分析】 （1）利用平行线的性质等腰三角形的性质证明即可．
（2）如图1中，作的E 关于AD 的对称点M ，直线EM 交AD 于H ，交BC 的延长线于T ，连接BM ，
PM
．求出AB ，CD ，CT ，ET ，EH ，HM ，再求出BM ∴=
=根据PB PE PB PM BM +=+，即可解决问题． （3）如图2中，过点E 作EH AD ⊥于H 交BC 的延长线于T ．利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，
ABE BEC ∴∠=∠，
AB AE =，
ABE AEB ∴∠=∠，
BEC AEB ∴∠=∠，
BE ∴平分AEC ∠．
（2）解：如图1中，作点E 关于AD 的对称点M ，直线EM 交AD 于H ，交BC 的延长线于T ，连接BM ，PM ．
四边形ABCD 是平行四边形，:7:8AB AD =，
:2:5CE DE =，4CE =，
10DE ∴=，
14AB DC ∴==，
60ABC ∠=︒，
60D DCT ∴∠=∠=︒，
4CE ∴=
，ET =
16BC AD ∴==，EH EM ==
16218BT ∴=+=，TM ==
BM ∴==
PE PM =，
PB PE PB PM BM ∴+=+， 621PB PE ∴+，
PB PE ∴+
的最小值为．
（3）解：如图2中，过点E 作EH AD ⊥于H 交BC 的延长线于T ．
由（2）可知，10DE =，5=DH ，EH =，2ET CT ==，18BT =．
90T EHF BEF ∠=∠=∠=︒，
90BET FEH ∴∠+∠=︒，90FEH EFH ，
BET EFH ∴∠=∠，
BTE EHF ∴∆∆∽， ∴BT ET EH FH
=，
∴
=
53
FH ∴=， 203
DF FH DH ∴=+=
， ∴20
23103DF DE ==．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意添加辅助线，构造直角三角形，属于中考压轴题．。