复数问题典例精讲

复数
一、基础知识：
复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠例如：5i ，i 等
（2）实数：0
b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z
c di a b c
d R =+=+∈（1）2
1
i =-（2）()()12z z a c b d i
±=+++（3）()()()()2
12z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i
⋅=+⋅+=+++=-++注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。

只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算2
1
i =-（4）
()()()()()()122
2a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及2
1i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。

4、共轭复数：z a bi =-，对于z 而言，实部相同，虚部相反5
、复数的模：z =
2
z z z
=⋅(2
2
z z ≠)
6、两个复数相等：实部虚部对应相等
7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。

横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

8、处理复数要注意的几点：
（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。

例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等
二、典型例题例1：若复数2
21z
i i
=+
+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（）
A.
B.
22
C.
D.2
思路：需要求复数的模，那首先要化成标准形式z a bi =+，进行化简，目前需要处理的就是分式，化简再求模即可解：()()()
212
22211111i z i i i i i i i i -=+
=+=+-=+++-z ∴=
答案：A
例2：已知复数1z i =-，则221
z z
z -=-（
）A.
2i
B.
2i - C.
2 D.2
-思路：本题可直接带入计算，也可考虑先化简再求值
解：2222111112111z z z z z i i
z z z i
--+-==--=--=-----答案：B
例3：设i 是虚数单位，且2014
1
i k
i ki -=-，则实数k 等于（）
A.
2
B.
C.
1
D.1
-思路：等号左边2014
21i i ==-，若化简等号右边则比较麻烦。

所以考虑利用等式性质两边
同乘()1ki -,然后利用复数相等的性质求出k 值解：2014
1111
i k i k
i
ki k i ki ki --=
⇔-=⇔-=-+--1
k ∴=-答案：D 小炼有话说：
（1）i 的指数幂呈周期性变化（周期为4)即41
42434,1,,1n n n n i
i i i i i +++==-=-=.故可依照
周期性的想法，将i 的较高指数幂进行降次。

（2）对于呈分式形式的复数等式，一般两种处理方法：一是对分式本身进行化简，二是利
用等式性质进行“去分母”（尤其是分母形式较复杂时）例4：复数321i
z i i
=-+，在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
思路：将复数化为标准形式后再进行判断。

解：2(1)121i
z i i i i i
=--
=--+=--+在复平面上对应的点为()1,2--，所以在第三象限答案：C
例5：（2013天津河东一模，1）若1a i
z i
+=-是纯虚数，则实数a 的值是（）A.
1
- B.
0 C.
1
D.
2
思路：涉及到纯虚数的概念，所以首先把z 化成标准形式，再根据纯虚数的定义即可求出a 解：()()()()()11111
111222
a i i a a i a i a a z i i i i ++-+++-+=
===+--+由纯虚数可得1
012
a a -=⇒=答案：C
例6：若复数(
)
()2
321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值是（）A.
1
B.
2 C.1或2
D.1
-思路：纯虚数：实部为零且虚部不为零，所以要将a 满足的条件写全解： 复数(
)
()2
321a a a i -++-是纯虚数
2320210
a a a a ⎧-+=∴⇒=⎨-≠⎩答案：B
例7：
已知复数()
2
1i
z +=
-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（
）
A.
14
B.
12
C.
1
D.
2
思路：想到2
z z z =⋅，进而只需将z 化为标准形式后求模即可
解：()
2
32
1i
i z +=
=--，2
14z ∴=
答案：A
例8：设117,,12i
a b R a bi i
-∈+=
-（i 是虚数单位），则a b +的值是____________
思路：利用等式性质两边同时乘以()12i -，进而可对照实部虚部求出,a b 解：()()1171211712i
a bi a bi i i i
-+=
⇔+-=--()()211
522117273
a b a a b b a i i b a b +==⎧⎧∴++-=-⇒⇒
⎨⎨
-=-=⎩⎩8
a b ∴+=答案：8
a b +=例9：设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部是___________
思路：2z 要通过1z 来确定，所以考虑用待定系数法设1z a bi =+，再参与运算解：设1z a bi =+()()211z z iz a bi i a bi a b b a i
∴=+=+--=-+-1
a b ∴-=-2z ∴的虚部是1
答案：1
例10：已知复数1z 满足()()1211z i i -+=-（i 是虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，则2z =____________
解：设22z a i =+，12z x yi =++（目的：为了更加便于计算）()()1211z i i
-+=- ()()()()111x yi i i x y x y i i ∴++=-⇔-++=-0,1
x y ∴==-12z i
∴=-()()()1222224z z i a i a a i ∴⋅=-⋅+=++-由于12z z ⋅是实数，所以4
a =242z i
∴=+答案：242z i
=+。