新北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》章末练习题含答案解析 (19)

第二章《一元二次方程》章末练习题-6
一、选择题
1.在《代数学》中记载了求方程x2+8x=33正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为x2
的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+ 16=49，则该方程的正数解为7−4=3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时，构造出如图②所示正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为( )
A．2√3B．2C．3D．4√5
2.下列多项式在实数范围内能分解因式的是( )
A．x2+5B．2x2−4x−1
C．x2−2xy+3y2D．x2−xy+y2
3.如图，在等边三角形ABC中，点D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边三角形
EDC．若BC，CD的长为方程x2−15x+7m=0的两根，当m取符合题意的最大整数时，不同位置的点D共有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设有x
队参加比赛，根据题意，可列方程为( )
A．1
2x(x−1)=15B．1
2
x(x+1)=15
C．x(x+1)=15D．x(x−1)=15
5.已知m，n是方程x2−2x−1=0的两根，则(m2−2m+1)(n2−2n−3)的值等于( )
A．0B．−4C．4D．2
6.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子
的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
7.已知一元二次方程的两个根分别是x1=2和x2=−3，则这个一元二次方程可以是( )
A．x2−6x+8=0B．x2+2x−3=0C．x2−x−6=0D．x2+x−6=0
8.用配方法解一元二次方程x2+2x−1=0，配方后得到的方程是( )
A．(x−1)2=2B．(x+1)2=2
C．(x+2)2=2D．(x−2)2=2
9.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂
直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2．设道路宽为x m，则以下方程正确的是( )
A．32x+4x2=40B．32x+8x2=40
C．64x−4x2=40D．64x−8x2=40
10.下列方程中，有实数根的是( )
A．√x−1=−x B．(x+2)2−1=0
C．x2+1=0D．√x−4+√x−3=0
二、填空题
11.百货大厦某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决
定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售岀2件．商场要平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？若设每件童装应降价x元，则可列方程（方程不需化简）．
12.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所
表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”．以下“关于2的等距方程”的说法，正确的为．（填空序号）
①方程x2−4x=0是关于2的等距方程；
②当5m=−n时，关于x的方程(x+1)(mx+n)=0一定是关于2的等距方程；
③若方程ax2+bx+c=0是关于2的等距方程，则必有b=−4a(a≠0)；
=0是关于2的等距方程．
④当两根满足x1=3x2时，关于x的方程px2−x+3
4
13.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下，a∗b=a(a+b)，如：3∗2=3×(3+
2)=15．若x∗4=12，则x的值是．
14.定义新运算“⋇”如下：当a≥b时，a⋇b=ab+b；当a<b时，a⋇b=ab−a．若(2x−
1)⋇(x+2)=0，则x=．
15.某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相等，设每次提价
的百分率为x，依题意可列方程．
16.不解方程，判断方程x2+2√2x+2=0的根的情况．
17.某工程队在靠墙处，用100米的铁栅栏围一个占地面积为1200平方米的仓库，铁栅栏只围三边，
则仓库的长和宽分别是．
三、解答题
18.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订
了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以
4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
(1) 当t为何值，DF=DA？
(2) 当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．
(3) 是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，
请说明理由．
(4) 请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△
ABC面积的1
9
，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
20.请阅读下列材料：已知方程x2+x−3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的
根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
所以x=y
2
．
把x=y
2代入已知方程，得(y
2
)
2
+y
2
−3=0，
化简，得y2+2y−12=0．
故所求方程为y2+2y−12=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的3倍．
21.“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不
愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入
7.2亿元资金用于保障性住房建设．
(1) 求该市这两年投入资金的年平均增长率．
(2) 2020年该市计划保持相同的年平均増长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到
保障房补助款3万元，则2020年该市能够帮助多少户建设保障性住房？
22.选择适当的方法解下列方程．
(1) (2x−1)2−4=0．
(2) 3
2
x2−x−2=0．
23.解方程：x2−x=3−x2．
24.关于x的一元二次方程m
4
x2−(m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若m为正整数，求此方程的根．
25.在信息技术飞速发展的今天，智能手机的使用呈现出低龄化的趋势，中小学生使用智能手机成为
十分普遍的现象，但智能手机给生活带来便利的同时，也对中小学生的身心发展带来一些不利影响，比如手机屏幕对视力的伤害、关注各种“垃圾新闻”对时间的浪费、沉迷手机游戏缺少运动、人际交往等等，这些现象引起了家长、学校、社会的广泛关注．对此，成都某中学学生会发出了“中
小学生使用非智能手机”的倡议，鼓励同学们全面发展，追逐梦想，把更多时间用在将来能够成就自我的地方．据统计，今年9月该中学使用非智能手机的同学有128人，倡议发出后，11月使用非智能手机的同学上升到了200人．
(1) 若从9月到11月使用非智能手机的同学平均增长率相同，那么按此增长率增长到12月份
该校使用非智能手机的同学将有多少人？
(2) 某于机制造商发现当下市场上售卖的非智能手机大多品质不佳、外观设计陈旧，难以满足市
场的需要，所以该厂决定投入12万元全部用于生产A型、B型两款精美的“学生专用手机”投入市场，一部A型手机生产成本为400元，售价为600元；一部B型手机生产成本为600元，售价为930元，该厂计划生产B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，求生产这批手机并全部售卖后可获得的最大利润．
答案
一、选择题 1. 【答案】C
【解析】题图②中大正方的面积为 39+(52)2
×4=39+25=64， ∴ 该方程的正数解为 √64−5
2×2=3．
【知识点】几何问题
2. 【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
3. 【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式
4. 【答案】A
【知识点】循环赛
5. 【答案】B
【解析】 ∵m ，n 是方程 x 2−2x −1=0 的两根， ∴m 2−2m −1=0，n 2−2n −1=0， ∴m 2−2m =1，n 2−2n =1，
∴原式=(1+1)×(1−3)=2×(−2)=−4． 【知识点】一元二次方程的根
6. 【答案】D
【解析】设原铁皮的边长为 x cm ， 则盒子的底面边长为 (x −6)cm ， 由题意得 3(x −6)2=300， 解得 x =16（负值舍去）． 【知识点】几何问题
7. 【答案】D
【知识点】因式分解法
8. 【答案】B
【知识点】配方法
9. 【答案】B
【知识点】几何问题
10. 【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
二、填空题
11. 【答案】(40−x)(20+2x)=1200
【解析】设每件童装应降价x元，依题意可列方程为(40−x)(20+2x)=1200．
【知识点】销售问题
12. 【答案】①④
【解析】① ∵x2−4x=0，
∴x(x−4)=0，
∴x1=0，x2=4，则∣x2−2∣∣=∣x1−2∣∣，①正确．
②当m≠0，n≠0时，(x+1)(mx+n)=0，则x1=−1，x2=−n
m
，∵5m=−n，
∴x2=5，
∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，
此时，(x+1)(mx+n)=0是关于2的等距方程；
当m=n=0时，原方程不是一元二次方程，故②错误．
③由题意知方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个实数根，
由根与系数的关系得x1+x2=−b
a
，
∵方程是关于2的等距方程，
∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，则x1−2=x2−2或x1−2=2−x2，
∴x1=x2或x1+x2=4．
当x1=x2时，x1=x2=−b
2a
，不能判断a与b之间的关系；
当x1+x2=4时，即−b
a
=4，
∴b=−4a．
故ax2+bx+c=0(a≠0)是关于2的等距方程时，b不一定等于−4a，故③错误．
④当方程px2−x+3
4
=0的两根满足x1=3x2时，
∵x1x2=3
4p ，x1+x2=1
p
，
∴x1x2=3
4×1
p
=3
4
(x1+x2)，
∴3x22=3
4
(3x2+x2)=3x2，
∴x 22−x 2=0，
∴x 2=1 或 x 2=0（舍去）， ∴x 1=3x 2=3， ∴∣x 1−2∣
∣=∣x 2−2∣∣， 即 px 2−x +3
4=0 是关于 2 的等距方程，故④正确．
故正确的为①④．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、因式分解法
13. 【答案】 −6 或 2
【解析】根据题意，得 x (x +4)=12，即 x 2+4x −12=0， ∴(x +6)⋅(x −2)=0， ∴x +6=0 或 x −2=0， 解得 x =−6 或 x =2． 【知识点】因式分解法
14. 【答案】 −1 或 1
2
【解析】①当 2x −1≥x +2，即 x ≥3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)+(x +2)， 由题意得 (2x −1)(x +2)+(x +2)=0， 解得 x =0 或 x =−2， ∵x ≥3，
∴x =0 或 x =−2 均舍去；
②当 2x −1<x +2，即 x <3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)−(2x −1)， 由题意得 (2x −1)(x +2)−(2x −1)=0， 解得 x =−1 或 x =1
2，均符合题意．
【知识点】因式分解法
15. 【答案】 180(1+x%)2=300
【知识点】平均增长率
16. 【答案】有两个相等实根
【解析】判断根的情况需看 Δ 的正负性． Δ>0，有两个不相等实根； Δ=0 时，有两个相等实根； Δ<0 时，无实根．
此题 Δ=(2√2)2
−4×2=0， ∴ 有两个相等实根．
【知识点】一元二次方程根的判别式
17. 【答案】60米和20米或40米和30米
【知识点】几何问题
三、解答题
18. 【答案】设有x家公司出席了这次交易会，
x(x−1)=78,解得：x1=13,x2=−12(舍去).答：有13家公司出席了这次交易会．根据题意，得1
2
【知识点】循环赛
19. 【答案】
(1) ∵∠A=60∘，∠B=90∘，
∴∠C=30∘，
在△DFC中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=4t，
∴DF=2t
∵AC=60，
∴AD=60−4t，
∵DF=DA，
∴2t=60−4t，t=10，
∴当t为10秒时，DF=DA．
(2) 当△ADE为直角三角形时，有两种情况：
①当∠AED=90∘时，则DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=30∘，
∴AD=2AE，
∴60−4t=2×2t，t=7.5；
②当∠ADE=90∘时，∠AED=30∘，
∴AE=2AD，
∴2t=2(60−4t)，t=12．
综上，当t=7.5秒或12秒时，△ADE为直角三角形．
(3) 如图1，连接AF，
∵FG是AC的中垂线，
∴AF=CF，
∴∠C=∠FAC=30∘，
∴∠BAF=30∘，
∴AF=2BF=2CF，
∴BC=3BF，
Rt△ABC中，AC=60，
∴AB=30，BC=30√3，
∴CF=20√3，
Rt△CDF中，∠C=30∘，
∴DF=20，CD=40，
∴4t=40，t=10．
(4) 如图2，
由（3）知：BC=30√3，
Rt△CDF中，CD=4t，∠C=30∘，∴DF=2t，CF=2√3t，
由题意，S△DEF=1
2DF⋅BF=1
2
⋅2t⋅(30√3−2√3t)=−2√3t2+30√3t，
当S△DEF=1
9S△ABC时，−2√3t2+30√3t=1
2
×30×30√3×1
9
，解得t=15±5√5
2
，
∵0<t≤15，
∴△DEF的面积是△ABC面积的1
9时，t为15±5√5
2
秒．
【知识点】直角三角形的判定、30度所对的直角边等于斜边的一半、几何问题、垂直平分线的性质
20. 【答案】设所求方程的根为y，则y=3x，
所以x=y
3
．
把x=y
3
代入已知方程，得
(y 3)
2
+y
3
−1=0，
化简，得y2+3y−9=0，
故所求方程为y2+3y−9=0．
【知识点】一元二次方程的根
21. 【答案】
(1) 设年平均增长率为x，5(1+x)2=7.2.解得x1=−2.2(舍去),x2=0.2.∴x=0.2=20%．
答：年平均增长率为20%．
(2) 7.2×(1+20%)=8.64（亿元）=86400（万元），
86400÷3=28800（户）．
答：2020年能帮助28800户建设保障性住房．
【知识点】平均增长率
22. 【答案】
(1) (2x−1)2−4=0. (2x−1)2=4.
2x−1=±2.
x1=3
2
,x2=−1
2
.
(2) 32x 2−x −2=0.
a =32,
b =−1,
c =−2.b 2−4ac =(−1)2−4×32×(−2)=13.x =1±√13
2×32.
x 1=
1+√133,x 2=1−√133.
【知识点】公式法、直接开平方法
23. 【答案】方法一：
整理，得2x 2−x −3=0,
∵a =2,b =−1,c =−3,∴Δ=(−1)2−4×2×(−3)=25>0,x =−b±√b 2−4ac 2a =1±√254=1±54,
解得x 1=32,x 2=−1.
【解析】方法二：
原方程化为 2x 2−x −3=0，
∴(2x −3)(x +1)=0，
∴x 1=32 或 x 2=−1．
【知识点】公式法、因式分解法
24. 【答案】
(1) ∵Δ=[−(m −3)]2−4×m 4(m −1)=−5m +9，
依题意，得 {m ≠0,Δ=−5m +9≥0,
解得 m ≤95 且 m ≠0．
(2) ∵m 为正整数，
∴m =1．
∴ 原方程为 14x 2+2x =0，解得 x 1=0，x 2=−8．
【知识点】因式分解法、一元二次方程根的判别式
25. 【答案】
(1) 设从 9 月到 11 月使用非智能手机的同学平均增长率为 x ，依题意得：128(1+x )2=200.解得，x 1=0.25=25%,x 2=−2.25(舍去).∴ 按此增长率增长，到 12 月份该校使用非智能手机的同学 =200(1+25%)=250（人）．
答：到 12 月份该校使用非智能手机的同学有 250 人．
(2) 设生产 A 型手机 x 只，则 B 型手机 y 只，依题意得：
400x +600y =12000，
∴y=200−2
3
x，
∵x，y均为整数，
∴x为3的倍数，
又∵B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，即：2x≤y≤2.3x，
∴2x≤200−2
3x≤2.3x，解得：75≥x≥6737
89
，
∴x=75,72,69．
设总利润为W．
W=(600−400)x+(930−600)y=200x+330y
∴W=200x+330(200−2
3
x)=−20x+66000．
∵W随x增大而减小，
∴当x=69时，最大利润W=64620．
答：生产这批手机A型69台，B型152台，全部售卖后可获得的最大利润为64620元．【知识点】分段计费(D)、平均增长率。