2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）
月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）（2017秋•上杭县期末）把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为( )
A ．21y x =+
B ．21y x =-
C ．21y x =-+
D ．21y x =--
2．（3分）（2014秋•朝阳区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的三个点，若35C ∠=︒，则AOB ∠的度数为( )
A ．35︒
B ．55︒
C ．65︒
D ．70︒
3．（3分）（2018•西城区校级模拟）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
4．（3分）（2015•武汉模拟）二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )
A ．3k <
B ．3k <且0k ≠
C ．3k …
D ．3k …且0k ≠
5．（3分）（2017•涿州市一模）如图，ODC ∆是由OAB ∆绕点O 顺时针旋转30︒后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100︒，则DOB ∠的度数是( )
A．40︒B．30︒C．38︒D．15︒
6．（3分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为()
A ．
B ．
C
D ．2
7．（3分）（2019秋•朝阳区校级月考）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米)与旋转时间x（分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是()
A．8分B．7分C．6分D．5分
8．（3分）（2014•缙云县模拟）如图，在O中，直径4
AB=，CD=，AB CD
⊥于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，PMC
∆的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()
A．B．
C．D．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）（2013•泰州一模）点(1,2)
P-关于原点的对称点的坐标是．
10．（2分）写出一个图象开口向上，过点(0,0)的二次函数的表达式：．11．（2分）（2019•岳池县模拟）如图，四边形ABCD内接于O，E为CD延长线上一点．若∠的度数为．
110
∠=︒，则ADE
B
12．（2分）（2018秋•沙洋县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为(0,2)，(1,0)
-，将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A'的坐标为(2,0)，则点B的对应点B'的坐标为．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则O的半径是．
14．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．
已知：ABC
∆．求作：BC边上的高AD．
作法：如图2，
（1）分别以点A和点C为圆心，大于1
2
AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AC于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．
请回答：该尺规作图的依据是．
15．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，O的动弦AB，CD相交于点E，且A B C D
=，
(090)
BEDαα
∠=︒<<︒．在①BODα
∠=，②90
OABα
∠=︒-，③
1
2
ABCα
∠=中，一定成
立的是（填序号）．
16．（2分）（2014秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，(,0)
A m
-，(,0)
B m（其中
0)
m>，点P在以点(3,4)
C为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足90
APB
∠=︒，（1）线段OP的长等于（用含m的代数式表示）；
（2）m的最小值为．
三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）
17．（5分）（2012秋•东城区期末）画图：
（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，OAB
∆的顶点都在格点上，请将OAB
∆
绕点O顺时针旋转90︒，画出旋转后的△OA B''；
（2）在44
⨯的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．
18．（5分）（2015秋•朝阳区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②)，其中BO CD
⊥于点A，求间径就是要求O的直径．
再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出O的直径．
19．（5分）（2015秋•海淀区期中）如图，AC是O的直径，PA，PB是O的切线，A，
∠的度数．
B为切点，25
∠=︒．求P
BAC
20．（5分）（2016•仪征市一模）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设
AB 边的长度为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米．
（1）y 与x 之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；
（2）求矩形ABCD 的最大面积．
21．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．
（1）求证：DE 与O 相切；
（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长．
22．（5分）（2018•朝阳区一模）如图，AB 是O 的直径，4AB cm =，C 为AB 上一动点，过点C 的直线交O 于D 、E 两点，且60ACD ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF xcm =，DE ycm =（当x 的值为0或3时，y 的值为2)，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律．
（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图
象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F 与点O 重合时，DE 长度约为 cm （结果
保留一位小数）．
23．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，旋转角为α，且0180α︒<<︒．在旋转过程中，点B '可以恰好落在AB 的中点处，如图②．
（1）求A ∠的度数；
（2）当点C 到AA '的距离等于AC 的一半时，求α的度数．
24．（6分）（2015秋•朝阳区期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图
形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）；
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区E ，F ，G ，H （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
25．（2019秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，直线23y x =-与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线23y x =-交于点C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）如果抛物线245(0)y nx nx n n =-+>与线段BC 有唯一公共点，
①求抛物线245y nx nx n =-+的对称轴；
②求n 的取值范围．
26．（6分）（2017•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于半径为(0)r r >的O 和点P ，给出如下定义： 若32
r PO r 剟，则称P 为O 的“近外点”．
（1）当O的半径为2时，点(4,0)
A，B
5
(
2
-，0)，(0,3)
C，D(1,1)
-中，O的“近
外点”是；
（2）若点(3,4)
E是O的“近外点”，求O的半径r的取值范围；
（3）当O的半径为2时，直线(0)
y b b
=+≠与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在O的“近外点”，直接写出b的取值范围．
27．（7分）（2017秋•海淀区期中）在Rt ABC
∆中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将ABC
∆绕点O顺时针旋转至DCE
∆，连接BD，BE，如图所示．
（1）在①BOE
∠，②ACD
∠，③COE
∠中，等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）；
（2）若Aα
∠=，求BEC
∠的大小（用含α的式子表示）；
（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．
2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月
考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）（2017秋•上杭县期末）把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的
表达式为( )
A ．21y x =+
B ．21y x =-
C ．21y x =-+
D ．21y x =--
【解答】解：把抛物线2y x =向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是21y x =+． 故选：A ．
2．（3分）（2014秋•朝阳区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的三个点，若35C ∠=︒，
则AOB ∠的度数为( )
A ．35︒
B ．55︒
C ．65︒
D ．70︒ 【解答】解：A ，B ，C 是O 上的三个点，35C ∠=︒，
270AOB C ∴∠=∠=︒．
故选：D ．
3．（3分）（2018•西城区校级模拟）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、不是中心对称图形；
B 、是中心对称图形；
C 、不是中心对称图形；
D 、不是中心对称图形．
故选：B ．
4．（3分）（2015•武汉模拟）二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值
范围是( )
A ．3k <
B ．3k <且0k ≠
C ．3k …
D ．3k …且0k ≠
【解答】解：二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，
∴方程2630(0)kx x k -+=≠有实数根，
即△36120k =-…，3k …，由于是二次函数，故0k ≠，则k 的取值范围是3k …且0k ≠． 故选：D ．
5．（3分）（2017•涿州市一模）如图，ODC ∆是由OAB ∆绕点O 顺时针旋转30︒后得到的
图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100︒，则DOB ∠的度数是( )
A ．40︒
B ．30︒
C ．38︒
D ．15︒
【解答】解：由题意得，30AOD ∠=︒，30BOC ∠=︒，
又100AOC ∠=︒，
100303040DOB ∴∠=︒-︒-︒=︒，
故选：A ．
6．（3分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为( )
A ．
B ．
C
D ． 2
【解答】解： 如图： 连接OP ，AO
AB 是O 切线
OP AB ∴⊥，
12
AP PB AB ∴==
在Rt APO ∆中，AP ==
AB ∴=故选：A ．
7．（3分）（2019秋•朝阳区校级月考）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米)与旋转时间x （分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是( )
A ．8分
B ．7分
C ．6分
D ．5分
【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选：C ．
8．（3分）（2014•缙云县模拟）如图，在O 中，直径4AB =，CD =，AB CD ⊥于点E ，点M 为线段EA 上一个动点，连接CM 、DM ，并延长DM 与弦AC 交于点P ，设线段CM 的长为x ，PMC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：如图所示：当2CM =时，点M 与圆心O 重合．
在直角CEO ∆中，90CEO ∠=︒，CE 2OC =，则由勾股定理得到：
OE ==
所以，11222
OCD S CD OE ∆=⨯=⨯．
1OCE S ∆∴=，OAC S ∆=
PMC OAC S S ∆∆∴<，即1PMC S ∆<．
观察选项，只有A 符合题意．
故选：A ．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）（2013•泰州一模）点(1,2)P -关于原点的对称点的坐标是 (1,2)- ．
【解答】解：点(1,2)P -，
∴关于原点的对称点的坐标是：(1,2)-
故答案为：(1,2)-．
10．（2分）（2017秋•海淀区期中）写出一个图象开口向上，过点(0,0)的二次函数的表达
式： 2y x =（答案不唯一） ．
【解答】解：设二次函数的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠，
图象为开口向上，且经过(0,0)，
0a ∴>，0c =，
∴二次函数表达式可以为：2y x =（答案不唯一）．
故答案为：2y x =（答案不唯一）．
11．（2分）（2019•岳池县模拟）如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为CD 延长线上一点．若
110B ∠=︒，则ADE ∠的度数为 110︒ ．
【解答】解：110B ∠=︒，
110ADE ∴∠=︒．
故答案为：110︒．
12．（2分）（2018秋•沙洋县期中） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为(0,2)，(1,0)-，将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，则点B 的对应点B '的坐标为 (0,1) ．
【解答】解：将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)， 90AOA ∴∠'=︒，
90BOB AOA ∴∠'=∠'=︒，
(0,1)B ∴'，
故答案为：(0,1)．
13．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，正六边形的周长是12，则O 的半径是 2 ．
【解答】解：连接OB ，OC ，
多边形ABCDEF 是正六边形，
60BOC ∴∠=︒，
OB OC =，
OBC ∴∆是等边三角形，
OB BC ∴=，
正六边形的周长是12，
2BC ∴=，
O ∴的半径是2，
故答案为：2．
14．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程． 已知：ABC ∆．求作：BC 边上的高AD ．
作法：如图2，
（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12
AC 的长为单位作弧，两弧相交于P ，Q 两点； （2）作直线PQ ，交AC 于点O ；
（3）以O为圆心，OA为半径作O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．
请回答：该尺规作图的依据是①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
②直径所对得圆周角是直角；
③两点确定一条直线．．
【解答】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
②直径所对得圆周角是直角；
③两点确定一条直线．
故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
②直径所对得圆周角是直角；
③两点确定一条直线．
15．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，O的动弦AB，CD相交于点E，且A B C D
=，
(090)
BEDαα
∠=︒<<︒．在①BODα
∠=，②90
OABα
∠=︒-，③
1
2
ABCα
∠=中，一定成
立的是①③（填序号）．
【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．
AB CD
=，OD OC OB OA
===，
()
AOB COD SSS
∴∆≅∆，
CDO OBA
∴∠=∠，
DKO BKE
∠=∠，
DOK BEKα
∴∠=∠=，
即BOD α∠=，故①正确，
不妨设，90OAB α∠=︒-，
OA OB =，
OAB OBA ∴∠=∠，
90OBE BEK ∴∠+∠=︒，
90BKE ∴∠=︒，
OB CD ∴⊥，显然不可能成立，故②错误，
CD AB =，
∴CB CD =，
∴BD AC =，
1122
ABC DOB α∴∠=∠=，故③正确． 故答案为①③．
16．（2分）（2014秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0)m >，点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，
（1）线段OP 的长等于 m （用含m 的代数式表示）；
（2）m 的最小值为 ．
【解答】解：（1）90APB ∠=︒，(,0)A m -，(,0)B m ，
OP ∴为Rt ABP ∆斜边上的中线，
12
OP ∴= AB OB m ==； 故答案为：m ；
（2）当P 为OC 与C 的交点时，OP 最小；
作CM x ⊥轴于M ，如图所示：
则90
∠=︒，
OMC
∴==，
OC
5
∴=-=；
OP
523
故答案为：3．
三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）
17．（5分）（2012秋•东城区期末）画图：
（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，OAB
∆
∆的顶点都在格点上，请将OAB 绕点O顺时针旋转90︒，画出旋转后的△OA B''；
（2）在44
⨯的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图所示：
18．（5分）（2015秋•朝阳区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO CD
⊥于点A，求间径就是要求O的直径．
再次阅读后，发现AB=1寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出O的直径．
【解答】解：根据题意得：1
AB=寸，10
CD=寸；
故答案为：1，10；
（2）连接CO，如图所示：
⊥，
BO CD
∴1
52
CA CD ==． 设CO OB x ==寸，则(1)AO x =-寸，
在Rt CAO ∆中，90CAO ∠=︒，
222AO CA CO ∴+=．
222(1)5x x ∴-+=．
解得：13x =，
O ∴的直径为26寸．
19．（5分）（2015秋•海淀区期中）如图，AC 是O 的直径，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，25BAC ∠=︒．求P ∠的度数．
【解答】解：PA ，PB 是O 的切线，
PA PB ∴=，
PAB PBA ∴∠=∠， PA 为切线，
CA PA ∴⊥．
90CAP ∴∠=︒，
25BAC ∠=︒，
9065PAB BAC ∴∠=︒-∠=︒，
180250P PAB ∴∠=︒-∠=︒．
20．（5分）（2016•仪征市一模）如图，矩形ABCD 为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设
AB 边的长度为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米．
（1）y 与x 之间的函数关系式为 216y x x =-+ （不要求写自变量的取值范围）； （2）求矩形ABCD 的最大面积．
【解答】解：（1）2(16)16y x x x x =-=-+； （2）
216y x x =-+，
2(8)64y x ∴=--+． 016x <<，
∴当8x =时，y 的最大值为64．
答：矩形ABCD 的最大面积为64平方米．
21．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．
（1）求证：DE 与O 相切；
（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长．
【解答】（1）证明：连接OD ，
AB 是O 的直径，
90ADB ∴∠=︒， AD BC ∴⊥，
又AB AC =，
12∴∠=∠，
OA OD =， 2ADO ∴∠=∠， 1ADO ∴∠=∠， //OD AC ∴， DE AC ⊥，
90ODF AED ∴∠=∠=︒， OD ED ∴⊥， OD 过0，
DE ∴与O 相切；
（2）解：
AB AC =，AD BC ⊥，
12∴∠=∠，CD BD =，
CD BF =，
BF BD ∴=，
3F ∴∠=∠，
4323F ∴∠=∠+∠=∠， OB OD =， 423ODB ∴∠=∠=∠， 90ODF ∠=︒，
330F ∴∠=∠=︒，460ODB ∠=∠=︒， 90ADB ∠=︒， 2130∴∠=∠=︒，
2F ∴∠=∠， DF AD ∴=，
130∠=︒，90AED ∠=︒，
2AD ED ∴=，
222AE DE AD +=，3AE =，
AD ∴=，
DF ∴=
22．（5分）（2018•朝阳区一模）如图，AB 是O 的直径，4AB cm =，C 为AB 上一动点，过点C 的直线交O 于D 、E 两点，且60ACD ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF xcm =，DE ycm =（当x 的值为0或3时，y 的值为2)，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律．
（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F 与点O 重合时，DE 长度约为 cm （结果保留一位小数）．
【解答】解：（1）如图1，（为了说明点C 和点O 重合，DE 没画成过点)O 连接OD ，当1x =时，1AF =， 2OA =，
1OF OA AF ∴=-=，
DF AB ⊥，
90DFO ∴∠=︒，
在Rt OFD ∆中，2OD =，1OF =，根据勾股定理得，DF =，
tan
OF ODF DF ∴∠=
==， 30ODF ∴∠=︒，
在Rt CFD ∆中，60ACD ∠=︒， 30CDF ∴∠=︒， CDF ODF ∴∠=∠，
DE ∴过点O ， DE ∴是O 的直径，
24DE OD ∴==，
4y ∴=，
故答案为4.00；
（2）描点，连线，得出函数图形如右图所示，
（3）如图2， 点F 和点O 重合，
2OD OA ∴==，
过点O 作OM DE ⊥于M ，
2DE DM ∴=，
60ACD ∠=︒，
9030ODE ACD ∴∠=︒-∠=︒，
在Rt OMD ∆中，cos DM
ODE OD
∠=
，
cos 2cos30DM OD ODE ∴=∠=⨯︒=，
2 3.5DE DM ∴==≈，
故答案为：3.5．
23．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，旋转角为α，且0180α︒<<︒．在旋转过程中，点B '可以恰好落在AB 的中点处，如图②．
（1）求A ∠的度数；
（2）当点C 到AA '的距离等于AC 的一半时，求α的度数．
【解答】解：（1）将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，旋转角为α， CB CB ∴='
点B '可以恰好落在AB 的中点处，
∴点B '是AB 的中点．
90ACB ∠=︒， 1
2
CB AB BB ∴'=
='， CB CB BB ∴='='，
即CBB ∆'是等边三角形． 60B ∴∠=︒． 90ACB ∠=︒， 30A ∴∠=︒；
（2）如图，过点C 作CD AA ⊥'于点D ， 点C 到AA '的距离等于AC 的一半，即1
2
CD AC =． 在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，1
sin 2
CD CAD AC ∠==， 30CAD ∴∠=︒， CA CA ='， 30A CAD ∴∠'=∠=︒． 120ACA ∴∠'=︒，即120α=︒．
24．（6分）（2015秋•朝阳区期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．
（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；
（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
（3）此中转站应建在EFH
∆的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．
理由如下:
∠=∠+∠=︒+︒=︒，
HEF HEG GEF
4833.8881.88
EFB
∠=︒，
∠=︒，48.12
50
EHF
∴∆是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为EFH
EFH
∆的外接圆，
设此外接圆为O，直线EG与O交于点E，M，
故点G 在O 内，从而O 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆． 所以中转站建在EFH ∆的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
25．（6分）（2019秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，直线23y x =-与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线23y x =-交于点C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）如果抛物线245(0)y nx nx n n =-+>与线段BC 有唯一公共点， ①求抛物线245y nx nx n =-+的对称轴； ②求n 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可求(0,3)A -， (0,3)B ∴， l ∴为3y =，
(3,3)C ∴；
（2）2245(2)y nx nx n n x n =-+=-+，
∴对称轴为2x =，顶点为(2,)n ，
①当3n >时，抛物线最小值为3n >，与线段BC 无交点；
②当3n =时，抛物线顶点为(2,3)，在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点； ③当03n <<时，抛物线最小值为n ，与直线BC 有两个交点， 若抛物线经过点(0,3)B ，则35
n =， 抛物线对称轴2x =，
∴抛物线经过点(4,3)，
点(4,3)不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；
若抛物线经过点(3,3)，则
3
2
n=，
抛物线对称轴2
x=，
∴抛物线经过点(1,3)，
点(1,3)在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；
综上所述：当33
52
n<
…时，抛物线与线段BC有一个公共点．
26．（6分）（2017•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为(0)
r r>的O和点P，给出如下定义：
若
3
2
r PO r
剟，则称P为O的“近外点”．
（1）当O的半径为2时，点(4,0)
A，B
5
(
2
-，0)，(0,3)
C，D(1,1)
-中，O的“近
外点”是B，C；
（2）若点(3,4)
E是O的“近外点”，求O的半径r的取值范围；
（3）当O的半径为2时，直线(0)
y b b
=+≠与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在O的“近外点”，直接写出b的取值范围．
【解答】解：（1）O的半径为2，
∴3
3
2
r=，(4,0) A，
43 OA
∴=>，
∴点A不是O的“近外点”，
B
5
(
2
-，0)，
52OB ∴=
，而5
232
<<， B ∴是O 的“近外点”，
(0,3)C ， 3OC ∴=，
∴点C 是
O 的“近外点”，
D (1,1)-，
2OD ∴=，
∴点D 不是
O 的“近外点”，
故答案为：B ，C ； （2）(3,4)E ，
5OE ∴=， 点E 是O 的“近外点”， ∴5352
r r ⎧⎪⎨⎪⎩……，
∴
1053
r 剟；
（3）如图，
直线MN
的解析式为y x b =+， OM ON ∴>，
①点N 在y 轴坐标轴时，
当点M 是O 的“近外点”，此时，点(2,0)M -， 将(2,0)M -代入直线MN
的解析式y b =+
中，解得，b =
， 即：b
过点O 作OG M N ''⊥于G ，
当点G 是O 的“近外点”时，此时3OG =， 在Rt △ON G '中，60ON G '∠=︒，
sin 60OC
ON '∴=
=︒
b的最大值为
∴b
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，b
--
--．
b b
27．（7分）（2017秋•海淀区期中）在Rt ABC
∆中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将ABC
∆绕点O顺时针旋转至DCE
∆，连接BD，BE，如图所示．
（1）在①BOE
∠中，等于旋转角的是③（填出满足条件的角的
∠，③COE
∠，②ACD
序号）；
（2）若Aα
∠的大小（用含α的式子表示）；
∠=，求BEC
（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，OC，OD，OD，
由旋转知，旋转角为BOC AOD COE
∠=∠=∠，
故答案为③；
（2）如图2，连接BM，OB，OC，OE，
在Rt ABC ∆中，点M 是AC 中点， 12
MA MB MC AC ∴===， A ABM α∴∠=∠=，
2BMC A ABM α∴∠=∠+∠=， 点M 和点O 关于直线BC 对称，
2BOC BMC α∴∠=∠=， OC OB OE ==，
∴点C ，B ，E 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上，
12
BEC BOC α∴∠=∠=；
（3）12
MN BE =， 理由：如图3，连接BM 并延长至点F ，使BM MF =，连接FD ， A α∠=，90ABC ∠=︒， 9090ACB A α∴∠=︒-∠=︒-， 90DEC ACB α∴∠=∠=︒-，
由（2）知，BEC α∠=，
90BED BEC DEC ∴∠=∠+∠=︒， BC CE =，
CBE CEB α∴∠=∠=， MB MC =，
90MBC ACB α∴∠=∠=︒-， 90MBE MBC CBE ∴∠=∠+∠=︒， 180MBE BED ∴∠+∠=︒， //BF DE ∴，
2BF BM =，2AC BM =， BF AC ∴=，
AC DE =，
BF DE ∴=，
∴四边形BFDE 是平行四边形，
DF BE ∴=， BM MF =，BN ND =， 12MN DF ∴=
， 12MN BE ∴=．。