2024河南中考数学复习 研究函数变量之间的关系 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习
研究函数变量之间的关系强化精练
问题一分析判断函数图象
1.(2023广元)向高为10的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是()
第1题图
2.(2023青海省卷)生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响．实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是()
第2题图
A.酒精浓度越大，心率越高
B.酒精对这种鱼类的心率没有影响
C.当酒精浓度是10%时，心率是168次/分
D.心率与酒精浓度是反比例函数关系
3.如图①，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，AC 的弧长l与时间t(秒)的函数关系如图②所示，则点C运动至5秒时，∠AOC的度数为()
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
4.(2023甘肃省卷)如图①，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y 与x的函数图象如图②所示，则点M的坐标为()
第4题图
A.(4，23)
B.(4，4)
C.(4，25)
D.(4，5)
5.已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C′与点B重合，如图①所示，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移，直到点B′移动到与点C重合时停止，设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是()
图①图②
第5题图
A.42
B.4
C.32
D.3
6.如图①，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，动点P从点A出发，沿着A→O→B 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止，过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC 于点F.在此过程中四边形BEPF的面积y与运动时间x的函数关系如图②所示，则AC的长为()
A.4
B.22
C.2
D.
2
7.如图①，在矩形ABCD 中，AB ＜AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB →BC →CD 向点D 运动．设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为(
)
第7题图
A.3
B.4
C.5
D.6
8.如图①，在△ABC 中，∠B ＝36°，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →C 匀速运动至点C 停止．若点P 的运动速度为1cm/s ，设点P 的运动时间为t (s )，AP 的长度为y (cm)，y 与t 的函数图象如图②所示．当AP 恰好平分∠BAC 时，t 的值为(
)
图①
图②
第8题图
A.25－2
B.35－1
C.25
D.25＋2
9.(2023周口二模)如图①，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ACB ＝60°，AM ＝AN ＝
1
3
AB ＝1，点P 沿BD 从点B 匀速运动到点 D.设点P 的运动时间为x ，
PM ＋PN ＝y ，图②是点P 运动时y 随x 变化的函数关系图象，则图②中最低点的纵坐标a 的值为(
)
第9题图
A.23
B.7
C.7
D.3
2
10.(2023烟台)如图①，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图②是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为________．
图①图②
第10题图
11.如图①，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点P从顶点A出发在△ABC边上运动，设点P的运动时间为x，△APD的面积为y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB的长为________.
第11题图
问题二研究新函数
1.若一个函数的自变量在不同的取值范围内，有着不同的函数表达式，我们把这样的函数
叫做分段函数．李华在学习过程中，遇到了分段函数y |＋1（x＜1），
（x≥1），
为研究这个函数
的图象与性质，进行了如下探究，请将下列探究过程补充完整：
(1)当x≥1时，函数的图象位于第______象限，此时y随x的增大而________；
(2)已知y与x的几组对应值如下表，补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描点、连线，画出该分段函数的图象；
x…－2－1－1
20
1
2
1
3
2
2
5
2
3…
y (323)
2__
3
2
2
4
3
1__
2
3…
第1题图
(3)研究函数并回答问题：
①已知点A(－2，y1)，B(7
2，y2
)，C(x1，5
2
)，D(x2，2
3
)在该函数图象上，则y1____y2，
x1________x2(填“＜”“＞”或“＝”)；
②根据函数图象，直接写出2
x
(x≥1)<1时x的取值范围．
2.德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如下表：天数t…2021222324252627282930…波动值s…0.300.31 2.2
3.8 5.77.81012.31
4.3…
第2题图
(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点，连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当t＝14时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？
(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论；
(3)数学应用：根据研究，当s＞10时处于情绪高潮期，心情愉快；s＜10时处于情绪低潮期，心情烦躁；s＝10时处于临界日，心情平稳，若小海从出生到今天的天数为5501天，则今天他心情如何？
3.如图①，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm，P是线段AB上由点A向点B移动的一动点(不与点A，B重合)，连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D.设AP＝x cm，BD＝y1cm.
第3题图
(1)求y1与x的函数关系式以及对应的x的取值范围；
(2)x与y1的几组对应值如下表所示：
x/cm12345
y1/cm104210.4
请你根据表中的数据，在如图②所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出y1与x 的函数图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)若正比例函数y2＝2x与y1交于点M，画出正比例函数y2的图象，并直接写出y1＜y2时，x的取值范围．
4.如图①，AB是⊙O的直径，C是直径AB上的一个动点，P是圆弧上一点，且
APB＝3 BP，AB＝8cm，连接PC并延长，交⊙O于点D，连接AP，AD，BD.
小浩根据学习函数的经验，对AC，PD，BD的长度之间的关系进行了探究．下面是小浩的探究过程，请补充完整：
【收集数据】对于点C在直径AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PD，BD 的长度的几组对应值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9 AC0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.007.008.00 PD 6.937.237.567.86m7.77 6.93 5.55 4.00 BD8.007.977.867.56n 5.76 4.00 1.920.00【整理数据】
图①图②
第4题图
(1)在整理数据时，小浩不小心将一滴墨水掉在了表格上，盖住了一组数据，若不再测量，请你用所学的圆的知识以及表格中数据的特征，帮助小浩恢复数据，m＝________，n＝________；
(2)将线段AC的长度作为自变量x，PD和BD的长度都是x的函数，分别记为y1，y2，并在平面直角坐标系xOy中画出了y2的图象如图②所示，请在同一坐标系中画出函数y1的图象；
(3)连接BP，根据函数图象及表格数据，完成下列问题(结果均保留一位小数).
①当△BPD为直角三角形时，AC的长约为________cm；
②当△BPD为等腰三角形时，PD的长约为________cm.
参考答案与解析
问题一分析判断函数图象
1.D【解析】依据题意，从容器的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v随水深h的变化关系为：先逐渐变快，再逐渐变慢，从函数的图象上看，D符合条件．
2.C【解析】由题图可知，酒精浓度越大，心率越低，A选项错误；酒精对这种鱼类的心率是有影响的，B选项错误；当酒精浓度为10%时，心率为168次/分，C选项正确；心率与酒精浓度不是反比例函数关系，D选项错误．
3.C【解析】根据题图②可知，当点C从点A开始向终点B运动的整个过程中所用时间
为20秒，转过的圆心角为180°，∴点C1秒转过的圆心角为180°
20＝9°，∴点C5秒转过的
圆心角为5×9°＝45°，即∠AOC＝45°.
4.C【解析】由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC 上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，∵AB＝4，
EC＝ED＝1
2AB＝1
2×4＝2，∴BE＝BC
2＋CE2＝42＋22＝25，∴M(4，25).
5.C【解析】由函数图象可知，当x＝m时，点B′到达点B，如解图①，当x＝m＋4时，
点C′到达点C，如解图②，∴B′C′＝m，BC＝m＋4，∴A′B′＝A′C′＝2
2
B′C′＝2
2
m，AB＝2
2
BC，
BB′＝4，由函数图象可知当m<x<m＋4时，重合部分的面积为1，∴S△A′B′C′＝1
2
A′B′·A′C′＝
1 2·2
2
m·2
2
m＝1，∴m＝2，∴BC＝2＋4＝6，∴AB＝2
2×6＝32，∴△ABC的直角边
长为32.
图①图②
第5题解图
6.A【解析】∵四边形ABCD是正方形，PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠ABC＝∠BEP＝∠BFP ＝90°，∴四边形BEPF是矩形，EP∥BC，PF∥AB，当点P从A→O运动时，对应函数图象的第一段，此时四边形BEPF的面积y随着运动时间x的增大而增大，当点P从O→B运动时，对应函数图象的第二段，此时四边形BEPF的面积y随着运动时间x的增大而减小，
∴当点P 运动到点O 处时，四边形BEPF 的面积y 有最大值2，设AC ＝a .∵四边形ABCD 是正方形，∴AO ＝CO ＝BO ＝12AC ＝12a ，AB ＝BC ＝22AC ＝2
2a ，∵点O 是AC 的中点，
EP ∥BC ，当点P 运动到点O 处时，EP ＝12BC ＝24a ，同理PF ＝12AB ＝2
4a ，∴S 矩形BEPF
＝EP ·PF ＝(
24
a )2
＝2，解得a ＝4(负值已舍去)，∴AC ＝4.7.A 【解析】当点P 在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当点P 到达点B 时，△AOP 面积最大为3.∴12AB ·1
2BC ＝3，即AB ·BC ＝12.当点P 在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减
小，当点P 到达点C 时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知点P 运动路径长为7，∴AB ＋BC ＝7.则BC ＝7－AB ，代入AB ·BC ＝12，得AB 2－7AB ＋12＝0，解得AB ＝4或3，∵AB <AD ，即AB <BC ，∴AB ＝3，BC ＝4.8.D
【解析】如解图，连接AP ，由题图②可得AB ＝BC ＝4cm ，∵∠B ＝36°，AB ＝BC ，
∴∠BAC ＝∠C ＝72°，∵AP 平分∠BAC ，∴∠BAP ＝∠PAC ＝∠B ＝36°，∴AP ＝BP ，∠APC ＝72°＝∠C ，∴AP ＝AC ＝BP ，∵∠PAC ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△APC ∽△BAC ，∴
AP BA ＝PC
AC
，∴AP 2＝AB ·PC ＝4(4－AP )，∴AP ＝25－2(负值已舍去)＝BP ，∴t ＝(4＋25－2)÷1＝25＋2.
第8题解图
9.C
【解析】如解图，作点N 关于BD 的对称点N ′，连接MN ′交BD 于点P ，连接NN ′，
PN ′，MN ，∵四边形ABCD 为菱形，∴点N ′在CD 上，AC ⊥BD ，∴BD 垂直平分NN ′，∴PN ＝PN ′，NN ′∥AC ，∴PM ＋PN ＝PM ＋PN ′，∴当M ，P ，N ′三点共线时，PM ＋PN 取最小值，最小值为MN ′的长，在Rt △BCO 中，BO ＝BC ·sin ∠OCB ＝3×
32＝33
2
，OC ＝BC ·cos ∠OCB ＝3×12＝32，∴BD ＝2BO ＝33，AC ＝2OC ＝3，∵AM ＝AN ＝13AB ＝1，∴AM
AB ＝
AN AD ＝13，DN AD ＝23，∵∠MAN ＝∠BAD ，∴△AMN ∽△ABD ，∴AM AB ＝MN BD ＝1
3，即MN 33＝
13，∴MN ＝3，∵NN ′∥AC ，∴△DNN ′∽△DAC ，∴DN DA ＝NN ′AC ＝23，即NN ′3＝2
3
，∴NN ′＝2，∵MN ∥BD ，NN ′⊥BD ，∴MN ⊥NN ′，即∠MNN ′＝90°，∴在Rt △MNN ′中，MN ′＝MN 2＋NN ′2＝（3）2＋22＝7，∴PM ＋PN 的最小值为7，即a ＝7.
第9题解图
10.73
2【解析】如解图，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，由题图②可知，当点P 运动至点B 时，AB ＝AP ＝8，当点P 运动至点Q 时，AB ＋BQ ＝12，当点P 运动至点C 时，AB ＋BC ＝15，∴BQ ＝4，BC ＝7.在Rt △ABQ 中，AB ＝8，BQ ＝4，∴AQ ＝AB 2－BQ 2＝82－42＝43，∵S △ABC ＝12AB ·CG ＝12BC ·AQ ，∴CG ＝BC ·AQ AB ＝7×438
＝732.
第10题解图
11.4【解析】由题图②得，若点P 沿AC 运动，则此时不能形成三角形ADP ，三角形ADP 的面积不存在，当点P 在AB 上运动时，S △ADP 的面积随着点P 的运动而增大，∵△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝60°，如解图，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则y ＝12AP ·DH ＝12x ·AD ·sin A ＝12x ·AD ·sin 60°＝34
AD ·x ，由题图②可得，当点P 在点B 处，y 取得最大值为23，此时，x ＝AB ＝AC ，∵AD ＝12AC ，∴34×12
(AC )2＝23，解得AC ＝4＝AB (负值已舍去).
第11题解图
问题二研究新函数
1.解：(1)一，减小；
【解法提示】当x ≥1时，分段函数的解析式为y ＝2x
(x ≥1)，∴此时函数图象经过第一象限，
且y 随x 的增大而减小．
(2)1，45；函数图象如解图；
第1题解图
【解法提示】当x ＝0时，∵0＜1，∴此时y ＝|x |＋1＝1，当x ＝52时，∵52
＞1，∴此时y ＝2x ＝45
.(3)①＞，＜；
②x >2.
2.解：(1)①补全该函数的图象如解图；
第2题解图
②根据图象以及周期性易知当t ＝14时，s ＝10；
当s 的值最大时，t ＝7；
(2)当0≤t ≤7时，s 随t 的增大而增大；当7<t ≤21时，s 随t 的增大而减小；当s 的值最大时，t ＝7；当s 的值最小时，t ＝21；变化周期是28(答案不唯一)；
(3)观察发现，情绪变化周期为28天，5501÷28＝196……13，
当t ＝13时，s >10，所以小海属于情绪高潮期，心情愉快．
3.解：(1)∵BD ∥AC ，
∴△PDB ∽△PCA ，
∴BD AC ＝BP AP
，∵AC ＝2cm ，AB ＝6cm ，AP ＝x cm ，BD ＝y 1cm ，
∴BP ＝AB －AP ＝6－x ，
∴y 12＝6－x x
，解得y 1＝12x －2，∵x ＞0，AB ＝6cm ，P 是线段AB 上由点A 向点B 移动的一动点(不与点A ，B 重合)，
∴0＜x ＜6；
(2)根据表格数据画出y 1的函数图象如解图①，
性质：y 1随x 的增大而减小(答案不唯一，写出一条即可)；
第3题解图①
(3)画出图象如解图②，当y 1<y 2时，x 的取值范围为2＜x ＜6.
【解法提示】如解图②，作正比例函数y 2＝2x 交y 1于点M ，可得M (2，4)，∴当y 1＜y 2时，x 的取值范围为2＜x ＜6.
第3题解图②
4.解：(1)8.00，6.93；
【解法提示】如解图①，当AC ＝4时，点C 与圆心O 重合，∴PD 为⊙O 的直径，∴∠DAP
＝90°，PD ＝AB ＝8，∴m ＝8.00，∵ APB ＝3 BP
，∴ BP 所对应的圆心角∠BOP ＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴在Rt △ADB 中，BD ＝AB ·sin ∠BAD ＝8×32＝43≈6.93，∴n ≈6.93.
第4题解图①
(2)画出函数y 1的图象如解图②；
第4题解图②
(3)①0.0或4.0；
【解法提示】当△BPD为直角三角形时，PD＝8或BD＝8，当PD＝8时，AC＝4.0，当BD ＝8时，AC＝0.
②7.7或6.9.
【解法提示】△BPD为等腰三角形，若PD＝BD，则由函数图象可知y1＝y2≈7.7cm；若BP ＝BD，则y2＝4，则此时由表格数据知y1≈6.9cm.BP＝DP不存在．∴PD＝7.7或6.9.。