2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第七章 复数(压轴题专练解析版)

第七章 复数（压轴题专项训练）
一、选择题
1．在复平面内，复数
2334i i ++的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【详解】 2334i i ++=()()()
3349121612113434252525i i i i i ---=-=--+-， 其共轭复数为1612+2525i -，在复平面内对应点的坐标为1612,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限， 故选：B.
2．已知i 为虚数单位，复数32i 2i z +=
-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为
74i 55- B ．z 的虚部为75- C ．3z =
D ．z 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】D
【详解】 ()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55
z +++===+--+， z ∴的共扼复数为4
7i 55-
，z 的虚部为75，
5z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D.
3．已知a 为实数，若
1232i a i +>+（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1
B ．2-
C ．13
D ．12
【答案】D
【详解】
解：2212(12)()221()()11
i i a i a a i a i a i a i a a ++-+-==+++-++， 22210,123,12
a a a a -⎧=⎪⎪+∴⎨+⎪>⎪+⎩ 12
a ∴=. 故选：D
4．定义运算a c ad bc b d =-，则21i i
(i 是虚数单位)为 A ．3
B ．3-
C ．21i -
D ．22i +
【答案】B
【详解】 因为运算a c ad bc b d =-，所以21i i
212123i =-⨯=--=-，故选B. 5．下列命题中,正确的命题是（ ）
A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >
B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立
C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =
D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =
【答案】C
【详解】
A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；
B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z
z ⋅=成立，故错误；
C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；
D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误. 故选：C.
6．若复数()234sin
12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ= A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23
π 【答案】B
【详解】
分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数()2
3412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 2
34sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈
，可知：sin 1
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.
7．在复平面内与复数21i z i =
+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i +
B ．1i -
C ．1i --
D ．1i -+ 【答案】B
【详解】
∵复数()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，∵复数的共轭复数是1i -，就是复数21i z i
=+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，
故选：B
8．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12,2,0i i +-+，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A ．3i +
B ．3i -
C ．13i -
D ．13i -+
【答案】D
【详解】
∵ O C OA OB +＝ ， ∵ O C 对应的复数为：12213i i i +-+=-+，
∵点C 对应的复数为13i -+．
故选D ．
9．如图，若向量OZ 对应的复数为z ，则4z z
+表示的复数为（ ）
A ．1＋3i
B ．－3－i
C ．3－i
D ．3＋i
【答案】D
【详解】 由题图可得Z （1，－1），即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41i -＝1－i ＋4(1)(1)(1)i i i +-+＝1－i ＋442
i +＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i .
故选：D.
10．已知i 为虚数单位，且
11ai R i +∈+，则实数a =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2
D ．2- 【答案】B
【详解】
解：因为
111(1)(1)122
ai a a i i +=++-+， 所以当1a =时，11ai R i +∈+. 故选：B.
11．已知复数2z i i =-，则||z =（ ）
A ．1
B C ．12 D ．2
【答案】B
【详解】
1z i =+，||z =
故选：B
12．在复平面内，向量OA （O 为坐标原点）表示的复数为1i +，将OA 向右平移一个单位长度后得到向量O A ''，则向量O A ''与点A '对应的复数分别为
A ．1i +，1i +
B ．2i +，2i +
C ．1i +，2i +
D ．2i +，1i +
【答案】C
【详解】
向量OA 向右平移一个单位长度后得到向量O A ''，则()1,0O '， ()()()1,01,12,1OA OO O A OO OA '''''=+=+=+=，∴点A '对应的复数为2i +，
又O A OA ''=，O A ''∴对应的复数为1i +.
故选：C.
13．下面关于复数12z i =-+（i 为虚数单位）的四个命题： ∵z 在复平面内对应的点在第二象限；∵3z z ⋅=；∵复数z 在复平面内对应的向量()1,2OZ =-；∵z z <. 其中假命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【详解】
已知复数12z i =-+，则12z i =--，所以z 对应的点()1,2--在第三象限，故∵不正确；
因为()()12125z z i i ⋅=-+--=，故∵不正确；
根据复数与平面向量一一对应，故∵正确；
因为复数不能比较大小，故∵不正确．
故选：C ．
14．设121i z i i -=
++，则z =（ ） A ．0 B ．12 C ．i D ．1
【答案】D
【详解】
()()()
2
11222111i i z i i i i i i i i --=+=+=-+=++-，因此，1z =. 故选：D.
15．复数sin 40cos 40i -的辐角主值是（ ）.
A ．40
B ．140
C ．220
D ．310
【答案】D
【详解】 sin 40cos 40cos310sin 310i i -=+，该复数的辐角主值是310.
故选：D.
16．已知x 、y ∈R ，i 为虚数单位，且1yi x i -=-+，则()
1x y i +-=（ ） A ．2
B ．2i -
C ．4-
D ．2i
【答案】B
【详解】 1yi x i -=-+，11x y -=-⎧∴⎨=⎩，解得11
x y =⎧⎨=⎩，因此，()()2121x y i i i +-=--=. 故选：B.
17．已知复数21z i =
-，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为i
B ．2z =
C ．2z 为纯虚数
D ．1z i =-+
【答案】C
【详解】
()
()()()2121211112
i i z i i i i ++====+--+，z ∴的虚部为1，z == ()2221122z i i i i =+=++=为纯虚数，1z i =-，故选C.
18．已知(12)z i i -=，则下列说法正确的是（ ）
A ．复数z 的虚部为5i
B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限
C ．复数z 的共轭复数255i z =
- D ．15z = 【答案】B
【详解】
由已知得1(121)212(12)(12)55i i z i i i +===-+--+，所以复数z 的虚部为15，而不是5
i ，A 错误； 在复平面内，复数z 对应的点为21,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭，在第二象限，B 正确.
255
i z =--，C 错误；
||z ==，D 错误； 故选：B ．
19．已知复数21(4),()z m m i m R =+-∈，22cos (3sin )(,)z i R θλθλθ=++∈，并且12z z =
，则λ的取值范围为（ ）
A ．9716λ-≤≤
B ．9716
λ≤≤ C ．11λ-≤≤
D ．9716
λ-≤≤ 【答案】D
【详解】
由12z z =，得22cos 43sin m m θλθ=⎧⎨-=+⎩
， 消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝2
394sin 816θ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， 由于－1≤sin θ≤1， 所以当3sin 8
θ=时，λ有最小值为916-， 所以当sin 1θ=-时，λ有最大值为7， 所以9716
λ-≤≤， 故选：D
20．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为
A
．12 B
1 C ．1 D
．12
【答案】A
【详解】
∵(
)11z i i i i -=-+=，
∵)()()(
)11111122i i i z i i
i i +===+--+，则z
的实部为12，故选A.
二、填空题
21．若复数72ai z i +=
-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______. 【答案】6
【详解】 解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++==--+(14)(72)1472555
a a i a a i -++-+==+. 由题意知
1435a -=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+，
2z ∴的虚部为6.
故答案为：6.
22．已知i 为虚数单位，则
（1）(23i)(32i)-+-+=________________；
（2）(4i)(23i)+--+=________________；
（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；
（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．
【答案】1i -- 62i - (,5)-∞ 四
【详解】
（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．
（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．
（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，
又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩
，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．
（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-， 又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限
23．定义运算a c ad bc b d =-，复数z 满足i 1i 1i
z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________. 【答案】2＋i
【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.
故答案为2＋i.
24．已知复数34z i =+所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是________．
【答案】5i
【详解】
34z i =+，对应的点为()3,4在第一象限，
逆时针旋转最小正角时，对应的点在y 轴的正半轴上，5z ==，故纯虚数为5i .
故答案为：5i .
三、解答题
25．如图，分别以ABC 的两边AC BC ，为边向外作正三角形ACE 及BCD △，设AD BE ，交于F 用复数证明：AD BE =且60AFE ︒∠=.
【答案】证明见解析
【详解】
证明：设向量CB 对应复数为()1cos sin z a i θθ=+，则向量CD 对应的复数为
()()
cos 60sin 60a i θθ︒︒⎡⎤+++⎣⎦； 设向量CE 对应复数为()2cos sin z b i αα=+，
则向量CA 对应的复数为()()
cos 60sin 60b a i a ︒︒⎡⎤+++⎣⎦； ∴向量BE CE CB =-对应复数为
()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin b i a i b a b a i ααθθαθαθ+-+=-+-， ()cos cos BE b a αθ∴=-
=
=同理，2
AD a ==AD BE ∴=.
由BE 对应的复数为()()cos cos sin sin b a b a i αθαθ-+-，DA 对应的复数为
()()()()60cos 6060sin 60bcos a a bsin a a i θθ︒︒︒︒⎤⎡⎤+-+++-+⎦⎣⎦，且两复数模相等，易知DA 对应复数是由BE 对应复数逆时针旋转60︒得到的，
又由图可知BE 对应复数逆时针旋转AFE ∠可得DA 对应复数， 60AFE ︒∴∠=. 26．求证：
（1）22()z z =； （2）2
||z z z
=； （3）1212z z z z =⋅；
（4）1122
z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析，(3)证明见解析，(4)证明见解析，
【详解】 证明：对于（1）（2），设(,)z a bi a b R =+∈，则z a b =-i .
（1）()()
222222()22z a bi a b abi a b abi =+=-+=--， ()222222()()2,()z a bi a b abi z z =-=--∴=.
（2）()()222222222()()||()()a b a bi a b a bi z a b a bi z z a bi a bi a bi a b
+++++====+=--++. 对于（3）（4），设1(,)z a bi a b =+∈R ，2(,)z c di c d =+∈R ，则1z a bi =-，2z c di =-. （3）12()()()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc i =++=-++=--+，
12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i ⋅=--=--+，∵1212z z z z =. （4）∵122
2()()()()()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i z c di c di c di c d ++-++-===++-+， ∵122222z ac bd bc ad z c d
c d ⎛⎫+-=- ⎪++⎝⎭， 又1222()()()()()()
z a bi a bi c di ac bd ad bc i c di c di c di c d z --+++-===--++， ∵1122
z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
27．已知复数z 满足1z =，且()2220z az a a a -+-=∈R ，求负实数a 的值. 【答案】152a
【详解】 设cos isin ,z ααα=+∈R .因为2220z az a a -+-=，所以
22(cos sin )2(cos sin )0i a i a a αααα+-++-=，
则22(cos )sin ,{(cos )sin 0.
a a a αααα--=-= 当cos a α=时，2sin a α=-，由22sin cos 1αα+=，解得152a
； 当sin 0α=时，则()21a a -=或()21+a a =，因为0a <，所以此时a 无解. 综上所述，152a . 28．计算下列各题．
（1）2(1)1i i +-＋2(1)1i i
-+－3
(34)(22)43i i i -++；
（2
）4)i
＋(1i
+2＋1()1i i +-7． 【答案】（1）16i -；（2）14i ．
【详解】
（1）原式()()()()()()2
33228341111111134i i i i i i i i i i i -+++-⎡⎤⎡⎤=++--⎣⎦⎣⎦-+- ()()()()3382122i i i i i i i ⨯+=+--- 88161616i i =+--=-
（2）原式()274211614i i i i i i i i =++=--=。