《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》

0, r a (V0 0) V (r ) V0 , r a
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n

n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p

r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n

2

2 2
n
ˆ n E n , H ˆ m E m ， En 与 Em 是能量本征值， 其中 为系统质量， 满足 H n m
ˆ A , ˆ 与B ˆ 具有共同本征态函数，即 A 二、若厄密算符 A na n na
ˆ B ，而且构成体系状 B na n na
Hale Waihona Puke ˆ, B ˆ 0。 态的完备函数组。试证明 A

ˆ 三、在一维谐振子的哈密顿量 H ˆ2 1 p 2 x 2 中引进 2 2
试题名称：1992 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
五、假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳，而不是点电荷，试用 一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。 六、一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个原子核与中 子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ， 其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量） 。试求高能下的中子 散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
ˆ和J ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和S ˆ, S ˆ 的矢量模型图。 (3) 确定（2）中 L 五、求在一维常虚势场 iV (V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并证明虚 势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示） 。
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1990—2010 年中科院 量子力学考研真题及答案详解
中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、在 t 0 ，氢原子波函数为 1 (r , 0) 2 100 210 2 211 3 211 10 其中右方函数下标表示量子数 nlm 。忽略自旋和辐射跃迁。 (1) 此系统的平均能量是多少？ (2) 这系统在任意时刻处于角动量投影 Lz 0 的几率是多少？ 二、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明
ˆ2 之间的一切对易关系； ˆ, L ˆ , L ˆ 及算符 L (1) 写出角动量算符 L x y z ˆ2 与 L ˆ 的本征态，求出本征值； 亦为 L z ˆ 与L ˆ 的本征态。 (3) 证明当 l 0 时，态 lm 也是 L x y
三、请根据不确定关系估计氢原子基态的能量。
ˆ2 与 L ˆ iL ˆ ˆ 的本征态，本征值分别为 l (l 1) 2 和 m ，证明 L (2) 设 lm 是 L z x y lm
(3) 一维谐振子的维里定理是 T V ，试利用这个定理证明： x p
x x 2 x 2 , p p 2 p 2 。
，其中 2
三、精确到微扰论的一级近似， 试计算由于不把原子核当作点电荷， 而作为是半径为 R ， 均匀带电荷 Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。已知球内静电势
是对 n 的完全求和。
试题名称：1991 量子力学（实验型）
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中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 N 个质量都是 m 的粒子可在一宽为 a 的无限深方势阱中运动， 忽略彼此间的相互作 用，请求出最低的 4 条能级，并写下相应的简并度。 二、
(1) 该体系的能量期待值是多少？ (2) 在 t 时刻体系处在 l 1, m 1 的态的几率是多少？（1997 年(实验型Ⅰ)第六题）
1 1 1 1 ˆ , a† ˆ , 。 xi p x i p 2 2 † a, a 1； (1) 证明 a
ˆ； a † 写出哈密顿量 H ˆ 的本征矢，本征值为 E 。证明 a n 为 H ˆ 的本征矢，本征值为 ( E ) 。 (3) 设 n 为 H n n
(2) 用 a,
ˆ, ˆ 的对角表象（用泡利矩阵的形式表示）中，求出自旋算符 S 四、在 S z x
量。 五、在 t 0 时，氢原子的波函数 (r , 0)
ˆ , S ˆ 的本征值和本征矢 S y z
1 2 100 210 2 211 3 211 10 式中波函数的下标分别是量子数 n, l , m 的值，忽略自旋和辐射跃迁。
Ze Z 3 Zr a Ze 3 r 2 , a为 e (r ) 2 ，球外电势为 ，类氢原子基态波函数 1s R 2 2R a3 r
玻尔半径。 四、 ˆ, J ˆ 的表达式。 ˆS ˆ S (1) 用 j , l , s 写出 L ˆ 的可能值。 ˆS (2) 对于 l 2, s 1 2 ，计算 L


四、有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动） ，受到均匀磁场的作用， eB ˆ ˆ eB ˆx S 。 磁场 B 指向正 x 方向， 相互作用势为 H 设 t 0 时电子自旋朝上， c x 2 c ˆ 的平均值。 即 s 2 ，求 t 0 时自旋 S
z
z z 2 , e x , ze x , sin z 。 (2) 算出基态能量值。
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试题名称：1991 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 电子双缝实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释，为什 么？ (2) 解释钠原子光谱主线系 np 3s 的精细结构。 (3) 量子力学角动量用矢量图表示时，和经典角动量有什么不同，为什么？ 二、一个质量为 的粒子，处于 0 x a 的无限深方势阱中， t 0 时，其归一化波函数 为 8 x x ( x, t 0) 1 cos sin 5a a a 求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。 三、精确到微扰的一级近似，试计算如图所示宽度 OB 为 a ， AO 为 V0 ， AOB 被切去的无限深方势阱（如图 CABD ）的 最低三个态的能量。 四、质量为 的粒子在势场 V (r ) 态能量。
五、一质量为 的粒子被势场 V (r ) V0 e
r a
(V0 a 0) 所散射，用一级玻恩近似计算微
分散射截面。
试题名称：1990 年 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1990 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、 (1) 光电效应实验指出：当光照射到金属上， a) 只有当光频率大于一定值 0 时，才有光电子发射出； b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何 在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。 (2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ b) 如 1 和 2 是几率波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？ (4) 如何知道电子存在自旋？ ˆ 二、一维谐振子的哈密顿量 H ˆ2 1 p m 2 x 2 ，基态波函数 2m 2 2 x2 2 m ( x) , e 。 设振子处于基态。 （1997 年（实验型Ⅰ）第五题） (1) 求 x 和 p ； (2) 写出本征能量 E ，并说明它反映微观粒子什么特征？
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中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。 一、一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率密度与几率 流密度的表达式。 二、当两个质量为 m 的粒子通过球对称势 V (r ) A ln r r0 ， （ A 0, r0 0 为常数）而束 缚在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为 E 。今有一个质量为 m 的粒子与 另一个质量为 1840m 的粒子通过同一位势形成束缚态，则这一系统的第一激发态与 基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。 三、一束极化的 s 波（ l 0 ）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同的两束，其 中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为 3 :1 ，求入射电子 自旋方向与磁场方向夹角的大小。 四、质量为 的粒子在一个三维球方势阱中运动，