初中数学三角形专题训练50题-含答案

初中数学三角形专题训练50题含答案
(单选、填空、解答题)
一、单选题
1．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形 （ ）
A ．①和①
B ．①和①
C ．①和①
D ．①和① 2．在ABC 中，作BC 边上的高，以下作图正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．在ABCD 中，①ABC ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，则ABCD 的周长是( )
A ．11+
B ．10+
C ．11++5
D ．2210++4．如图，在ABC ∆中，=30A ∠，=50ABC ∠，若EDC ABC ∆≅∆，且,,A C D 在同一条直线上，则=BC
E ∠（ ）
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50 5．如图，在ABC 中，90,70C B ∠=∠=︒︒，点D 、
E 分别在AB AC 、上，将ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点
F 处．则BDF CEF ∠-∠=（ ）
A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒
6．，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
7．如图，在四边形ABCD中，90
⊥，
A
∠=︒，4
AD，连接BD，BD CD
=
∠=∠．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）
ADB C
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在四边形ABCD中①A＝①C＝90°，AB＝CD＜AD，则下列说法中不正确的是()
A．AD①BC B．BC＝CD C．AD＝BC D．AB①CD 9．已知：如图，①ABC中，BD为①ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF①AB，F为垂足．下列结论：①①ABD①①EBC；①BE平分①FEC；①AE＝AD＝EC；①S四边形ABCE＝BF×EF．其中正确的个数是（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．如图，已知①ABC①①DEF ，若AC ＝22，CF ＝4，则CD 的长是（ ）
A ．22
B ．18
C ．16
D ．4
11．已知Rt △ABC 的周长是4+，斜边上的中线长是2，则S △ABC 为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．12 12．下列结论中，正确的有（ ）
①①ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2＝a 2，则①ABC 是直角三角形； ①在Rt①ABC 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10；
①在①ABC 中，若①A ：①B ：①C ＝1：5：6，则①ABC 是直角三角形；
①若三角形的三边长之比为1：2
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个 13．如图，AC 与BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =，则下列结论错误的是()
A ．A
B CD = B ．A
C ∠=∠ C ．//AB C
D D ．OA OD = 14．下列说法正确的是（ ）
A ．所有的等边三角形是全等形
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点
D ．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点
15．如图：在①ABC 中，G 是它的重心，AG ①CG ，如果32BG AC ⋅=，则①AGC 的面
积的最大值是（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．6
16．如图，在ABC 中，AB AC =，AF 是①BAC 的角平分线，DE 是边AB 上的中垂线．连接BE 、EF ，若BE AC ⊥，EF FC =，则①BEF 的度数是（ ）
A ．30°
B ．20°
C ．22.5°
D ．15° 17．如图，正方形ABCD 中，
E 为BC 的中点，CG DE ⊥于G ，延长BG 交CD 于点
F ，延长C
G 交BD 于点
H ，交AB 于N 下列结论：①DE CN =；①13BH BD =；①3
DEC BNH S S ∆∆=；①45BGN ∠=︒；①GN EG +=；其中正确结论的个数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
18．如图，在①ABC 中，①ABC ＝①ACB ，AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点N ．连接MB ，若AB ＝8，①MBC 的周长是14，则BC 的长为____．
19．如图，①ABC中，①ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分①ACD，若BC=2，则AC的长为_______.
20．用同样粗细、同种材料的金属线，制作两个全等的①ABC和①DEF．已知
①B=①E，若AC边的质量为20千克，则DF边的质量为________千克．
21．等边ΔABC的高为3cm，则以AB为边的正方形面积为__________.
22．如图所示，AD①BC，BD平分①ABC．若①ABD=30°，①BDC=90°，CD=2，则BC=_______．
23．小敏设计了一种挂衣架，在挂衣服的时候可以任意角度收扰两个挂衣杆OA和OB，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB.如图2，若衣架收拢时衣服领口宽AB=22cm，且①AOB=60°，那么这个衣架杆的长OA=OB=______cm.
24．如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠F AC＝72°，∠ACD ＝58°，点D在H上，则∠BDC的度数为____．
25．两根长度分别为3，5的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是________．（写一个值即可）
26．如图，点C 是线段AB 的中点，DA EC ∥．请你只添加一个条件，使得DAC △①ECB ．
（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定DAC △与ECB 全等的理由是______．
27．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．
28．在①ABC 中，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的点，把①ABC 沿EF 翻折，翻折后的图形如图所示．若1+2110∠∠=︒，则A ∠的度数为___________．
29．如图，G 为ABC 的重心，AG =12，则AD =__________．
30．如图，将月牙①绕点A 按逆时针方向旋转得到月牙①，线段AB 与线段AC 重合，
连接BC，过B点作BD①AC于点D，若CD长为3，BC长为AD的长为
_____．
31．如图，在①ABC中，中线AD、BE交于O，若S△BOD=5，则S△BOA=_____．
32．已知一个菱形的周长为24cm，有一个内角为60︒，则较长的一条对角线长为
_________cm．
33．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，①PEF=35°，则①PFE的度数是_____．
34．如图，在△ABC中，AD平分△BAC，AD△BD于点D，DE△AC交AB于点E，若
AB=8，则DE=_______
35．如图，在平行四边形ABCD中，45
∠=︒，
A
AD AB与CD之间的距离为______．
36．在直角坐标系中有过点(3,4)A 的反比例函数(0)k y x x
=>，在x 轴上有一点(1,0)P ，在反比例函数图象上有一个动点Q ，以PQ 为一边作一个正方形PQRS ，当正方形PQRS 有两个顶点在坐标轴上时，点S 坐标为__________． 37．如图，在①ABC 中，AB=AC ，BC=6，AF①BC 于点F ，BE①AC 于点E ，且点D 是AB 的中点，①DEF 的周长是11，则AB=______．
三、解答题
38．如图，在①ABC 中，①ACB=90°，①A=30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D ，E.
(1)求证:AE=2CE ;
(2)连接CD ，请判断①BCD 的形状，并说明理由.
39．已知：如图，在①ABC 中，AD 平分①BAC ，CE①AD 于点E ，EF①AB 交AC 于点F ．求证：①FEC 是等腰三角形．
40．如图，已知ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 与点E 都在射线AP 上，且CD CE =，90DCE ∠=︒．
(1)说明AD BE =的理由；
(2)说明BE AE ⊥的理由．
41．如图，在△ABC 中，AB BC =，点D 在边AB 上，AE CD ∥，CA 平分①BCE ，连接DE ，交AC 于点F ．
(1)求证：四边形ADCE 是平行四边形；
(2)当DE BC ∥，10AC =，13BC =时，sin AFD ∠的值为 ．
42．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边ABD ∆，连接DC ，以DC 当
边作等边DCE ∆，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB BE 的长．
43．已知：如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在一条直线上，AD 与BE 相交于点P ，AD 与BC 相交于点M ，BE 与CD 相交于点N ．
求证：()1APB 60∠=︒；
()2CM CN =．
44．已知，如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上的一点（不与
点B ，C 重合），连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转60︒到AE ，连接DE ，过点E 作//EF BC 交直线AB 于点F ．
（1）如图1，点D 在线段BC 上，
①猜想线段AC ，DC ，CE 之间的数量关系，并说明理由．
①求出EF 的长度．
（2）如图2，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论．
45．如图1，在边长为4cm 的等边①ABC 中，点P 从点A 出发沿着AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，点Q 从B 点出发沿着BC 以相同的速度向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒．
(1)当t =1时，试判断①PBQ 的形状，并说明理由；
(2)当PQ ①BC 时，求t 的值；
(3)如图2，过点P 作PH ①BC ，垂足为H ，连接PQ ，以PQ 为边向左作等边①PQE ，连接BE ．
①用含t 的代数式表示QH 的长；
①当0≤t ≤23
时，BE 的长度能否为2cm ？若能，求出此时QH 的长；若不能，请说明理由．
46．如图，在正方形ABCD 中，1AB =，延长BC 至M ，使5BM =．以,BD BM 为邻边作DBMN ．动点P 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DN 向终点N 运动，过点 P 作PQ ⊥BM 交BM 或BM 的延长线于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQRS ．设正方形PQRS ．设正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分的面积为y ，点P 运动的时间为x （0x >．单位：秒）．
（1）用含x 的代数式表示线段PN 为 ；
（2）当点S 与点N 重合时，求x 的值；
（3）当正方形PQRS 与DBMN 的重叠部分不是正方形时，求y 与x 之间的函数关系式；
（4）当DQS △或PRN △是直角三角形时，直接写出x 的值．
47．在ABC 中，90BAC ∠=︒，点O 是斜边BC 上的一点，连接AO ，点D 是AO 上一点，过点D 分别作//DE AB ，//DF AC ，交BC 于点E 、F ．
（1）如图1，若点O 为斜边BC 的中点，求证：点O 是线段EF 的中点．
（2）如图2，在（1）的条件下，将DEF 绕点O 顺时针旋转任意一个角度，连接AD ，CF ，请写出线段AD 和线段CF 的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，若点O 是斜边BC 的三等分点，且靠近点B ，当30ABC ∠=︒时，将DEF 绕点O 顺时针旋转任意一个角度，连接AD 、BE 、CF ，请求出BE AD
的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据三角形全等的判定定理，结合已知条件，判断条件与定理相一致的即可．
【详解】①①和①符合了SAS ，
①①和①两个三角形全等；
故选D ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键． 2．A
【分析】根据三角形高的定义，即可求解．
【详解】解：解：在ABC 中，画出边BC 上的高，即是过点A 作BC 边的垂线段，正确的是A ．
故选A ．
【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．
3．D
【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：作BC 边上的高AE①BC 于E ，分两种情况：AE 在平行四边形的内部和外部.．
① 如图所示：AE 在平行四边形的内部，
①在ABCD 中，①ABC ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，AE①BC
①AE=1
2AB=4，3 ，
=
①▱ABCD 的周长等于：()()2222AB BC AB BE EC +=++=+；
①如图所示：AE 在平行四边形的外部，
①在ABCD 中，①ABC ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，AE①BC
①AE=1
2
AB=4，3 ，
=
①▱ABCD 的周长等于：()()2210AB BC AB BE EC +=+-=+．
故选D ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质，利用分类讨论得出是解题的关键．
4．A
【分析】根据三角形内角和定理求出①ACB 的度数，根据全等三角形的性质得到①DCE =①ACB =100°，由A 、C 、D 在同一条直线上，得到①ACD =180°，根据角的和差即可得到结论.
【详解】①①A =30°，①ABC =50°，
①①ACB =180°－30°－50°=100°.
①①EDC ①①ABC ，
①①DCE =①ACB =100°.
①A 、C 、D 在同一条直线上，
①①ACD =180°，
①①BCE =①ACB +①DCE ﹣①ACD =20°.
故选：A.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，平角的定义，熟记全等三角形的性质是解题的关键.
5．C
【分析】先利用平角用①1表示出①BDF ，再利用三角形的内角和定理及推论用①1表示出①CEF ，两式相减可得结论．
【详解】如图，
①①DEF是由①DEA折叠成的，
①①1=①2，①3=①DEF．
①①BDF+①1+①2=180°，
①①BDF=180°-2①1．
①①CEF+①CED=①DEF，①CED=①1+①A，①3+①1+①A=180°，
①①CEF=①3-①CED
=180°-①1-①A-①1-①A
=180°-2①1-40°
=140°-2①1．
①①BDF-①CEF=180°-2①1-（140°-2①1）
=180°-2①1-140°+2①1
=40°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和等于180°”、折叠的性质是解决本题的关键．
6．A
【详解】试题分析：由AB=AC，根据等边对等角，即可得①B=①C，又由BF=CD，
BD=CE，可证得①BDF①①CED（SAS），根据全等三角形的性质，即可求得①B=①C=α，根据三角形的内角和定理，即可求得答案．
①AB=AC，
①①B=①C，
①BF=CD，BD=CE，
①①BDF①①CED（SAS），
①①BFD=①EDC ，
①α+①BDF+①EDC=180°，
①α+①BDF+①BFD=180°，
①①B+①BDF+①BFD=180°，
①①B=α，
①①C=①B=α，
①①A+①B+①C=180°，
①2α+①A=180°．
故选A ．
考点：等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
7．B
【分析】当DP BC ⊥时，DP 最短，通过等角的余角相等，得出ABD CBD ∠=∠，即可得出BD 平分ABC ∠，再根据角平分线的性质即可进行解答．
【详解】解：过点D 作DP BC ⊥于点P ，此时DP 最短．
①90A ∠=︒，BD CD ⊥，
①90,90ABD ADB CBD C ∠+∠=︒∠+∠=︒，
①ADB C ∠=∠，
①ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，
①90A ∠=︒，DP BC ⊥，4=AD ，
①4DP AD ==，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握“垂线段最短”，“等角的余角相等”，“角平分线上的点到两边距离相等”．
8．B
【分析】先根据HL 证明Rt①ABD ①Rt①CDB ，再根据全等三角形的性质即可进一步判断各项.
【详解】解：在Rt①ABD 和Rt①CDB 中，BD DB AB CD =⎧⎨=⎩
， ①Rt①ABD ①Rt①CDB (HL)，
①AD ＝BC ，①ABD =①CDB ，①ADB =①CBD ，
①AB ①CD ，AD ①BC ；所以A 、C 、D 三项是正确的，错误的是B 项.
故选B.
【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和性质、平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握直角三角形的判定和性质是关键.
9．C
【分析】过点E 作EG ①BC ，通过证明①ABD ①①EBC 和①AFE ①①CGE ，结合割补法求面积即可求解；
【详解】解：在①ABD 和①EBC 中，
AB BE ABD EBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
(角平分线定义) ①①ABD ①①EBC ；
故①正确；
①BE ＝BA ，BD ＝BC ，
①①AEB =1(180)2
ABE ︒-∠， 1(180)2ADE BDC CBE ∠=∠=︒-∠, 又①=ABE CBE ∠∠，
①=AEB ADE ∠∠，
①AE ＝AD ，
又①ABD ①①EBC ，
①AD ＝EC
①AE ＝AD ＝EC ；
故①正确；
过点E 作EG ①BC ，交BC 于点G ，
①BD 平分ABC ∠，
在Rt ①AFE 和Rt ①CGE 中，
AE EC EF EG =⎧⎨=⎩
, ①Rt ①AFE ①Rt ①CGE (HL )，
同理可证：Rt ①BFE ①Rt ①BGE
S 四边形ABCE ＝2AEF CGE BEF EFBC EFBC S
S S S S EF BF +=+==⨯四边形四边形，
故①正确，
由Rt ①BFE ①Rt ①BGE ，
①=FEB BEG ∠∠,
①FEB BEC ∠≠∠，
①BE 不 平分①FEC ，
故①不正确；
综上，正确的个数为3个，
故选择：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，证明线段AE =AD =CE 是解题的关键．
10．B
【分析】根据全等三角形的性质得AC ＝DF ，则依据CF ＝4可得CD 的长．
【详解】△ABC①①DEF ，①A 与①D 是对应角，AB 与DE 是对应边，
①AC ＝DF ＝22，
又①CF ＝4，
①CD ＝DF ﹣CF ＝22﹣4＝18，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
11．C
【分析】由斜边上的中线长是2，可以得到斜边长为4，设两个直角边的长为x ，y 则
x y +=x 2+y 2=16，解这个方程组求出xy 的值即可求出三角形的面积．
【详解】解：①Rt ①ABC 的周长是4+，斜边上的中线长是2，
①斜边长为4，
设两个直角边的长为x ，y ，则x +y =x 2+y 2=16，
解得：xy =8，
①S △ABC =12
xy =4．
故选：C ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还考查了勾股定理．解题时要注意方程思想与整体思想的应用．
12．A
【分析】根据勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形内角和逐个判断即可．
【详解】解：①①ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2＝a 2，则①ABC 是直角三角形，选项说法正确；
①在Rt①ABC 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10或，选项说法错误； ①在①ABC 中，若①A ：①B ：①C ＝1：5：6，根据三角形内角和是180︒可得
11801512A ∠=︒⨯=︒，51807512B ∠=︒⨯=︒，61809012C ∠=︒⨯=︒，则①ABC 是直角三角形，选项说法正确；
①若三角形的三边长之比为1：2
x ，2x ，根据勾股定理的逆定理即可得到该三角形是直角三角形，选项说法正确；
故选：A ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形内角和，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
13．D
【分析】由SAS 证明①AOB①①COD ，得出AB=CD ，①A=①C ，OA=OC ，再由内错角相等，即可得出AB①CD ，即可判断.
【详解】在①AOB 和①COD 中，
OA OC AOB COD OB OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
①①AOB①①COD （SAS ）
①AB=CD ，①A=①C ，OA=OC ，
①AB①CD ．
故答案为：D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
14．D
【分析】根据全等三角形的判定知两个等边三角形不一定全等即可判定A 错误；面积相等的三角形不一定是全等三角形可判定B 错误； 根据到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，可判定C 错误； 根据到三角形三个顶点距离相等的点是三边中垂线的交点即可判定D 正确．
【详解】解：A 、两个等边三角形不一定全等，故此选项不符合题意；
B 、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此选项不符合题意；
C 、到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点， 故此选项不符合题意；
D 、到三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点，故此选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定的判定定理，等边三角形的性质，三角形三边垂直平分线的交点的性质，三角形内角平分线的交点性质是解题的关键．
15．B
【分析】延长BG 交AC 于D ．由重心的性质得到 BG =2GD ，D 为AC 的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC =2GD ，即有BG =AC ，从而得到AC 、GD 的
长．当GD ①AC 时，①AGC 的面积的最大，最大值为：12
AC •GD ，即可得出结论． 【详解】解：延长BG 交AC 于D ．
①G 是①ABC 的重心，
①BG =2GD ，D 为AC 的中点．
①AG ①CG ，
①①AGC 是直角三角形，
①AC =2GD ，
①BG =AC ．
①BG •AC =32，
①AC GD =
当GD ①AC 时，①AGC 的面积的最大，
最大值为：12
AC •GD =12⨯． 故选：B ．
【点睛】本题考查了重心的性质和直角三角形的性质．解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．
16．C
【分析】由垂直平分线的性质得出AE ＝BE ，由等腰三角形的性质得出①BAE ＝①ABE ＝45°，求出①F AC ＝1
2
①BAC ＝22.5°，AF ①BC ，由直角三角形的性质可求出答案． 【详解】解：①BE ①AC ，
①①BEC ＝①AEB ＝90°，
①DE 是边AB 上的中垂线，
①AE ＝BE ，
①①BAE ＝①ABE ＝45°，
①AB ＝AC ，AF 平分①BAC ，
①①F AC ＝12①BAC ＝22.5°，AF ①BC ，
①①C ＝90°−①F AC ＝67.5°，
①EF ＝FC ，
①①FEC ＝①C ＝67.5°，
①①BEF ＝①BEC −①FEC ＝90°−67.5°＝22.5°，
故选：C ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．D
【分析】由四边形ABCD 是正方形得90CD BC DCE CBN =∠=∠=︒，，因为CG DE ⊥于G ，90CDE BCN DCG ∠=∠=︒-∠，即可证明DEC CNB ≌，得DE CN =，可判断①正确；
由E 为BC 的中点得111222BN CE BC CD AB ====，则12
BN CD =，由AB CD ∥证明BHN DHC ∽，据此计算，可判断①正确； 求得13NH CN =，则13BNH CNB
S S ∆∆=，所以3DEC CNB BNH S S S ∆∆∆==，可判断①正确； 先证明BNT BER ≌，得BT BR =，再证明Rt Rt BTG BRG ≌，得
45BGN BGR ∠=∠=︒，可判断①正确；
由TN ER GT GR ==，可推导出2GN EG GT TN EG GT GR GT +=++=+=，而
45TBG BGN ∠=∠=︒，则BT GT =，由勾股定理得22222GT GT BT BG =+=
，所以2GT =
，则GN EG +，可判断①正确．
【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，
①90CD BC DCE CBN =∠=∠=︒，，
①CG DE ⊥于G ，
①90CGD ∠=︒，
①90CDE BCN DCG ∠=∠=︒-∠，
在△DCE 和△CBN 中，
CDE BCN CD BC
DCE BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ①()SAS DEC CNB ≌，
①DE CN =，故①正确；
①E 为BC 的中点，BC CD AB ==，
①111222
BN CE BC CD AB ====， ①1122
AB BN CD AB ==， ①AB CD ∥，
①BHN DHC ∽， ①
12BH BN DN CD ==，即13BH BD =，故①正确； ①
12NH BN CH CD ==， ①13
NH CN =， ①13
BNH CNB S S ∆∆=， ①3DEC CNB BNH S S S ∆∆∆==，故①正确；
如图，作BT DN ⊥于点T ，BR DE ⊥交DE 的延长线于点R ，
则90BTN R BTG ∠=∠=∠=︒，
①CE BN CE BE ==，，
①BN BE =，
①BNT CED BER CED ∠=∠∠=∠，，
①BNT BER ∠=∠，
在BNT 和BER △中，BTN R BNT BER BN BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
①()AAS BNT BER ≌，
①BT BR =，
在Rt BTG 和Rt BRG 中，BG BG BT BR
=⎧⎨=⎩， ①()Rt Rt HL BTG BRG ≌，
①BGN BGR ∠=∠，
①90RGN ∠=︒， ①1452
BGN RGN ∠=∠=︒，故①正确； ①TN ER GT GR ==，，
①2GN EG GT TN EG GT ER EG GT GR GT +=++=++=+=，
①45TBG BGN ∠=∠=︒，
①BT GT =，
①22222GT GT BT BG =+=，
BG =，
①2GT =，
①GN EG +=，故①正确，
综上，①①①①①均正确，
故选：D ．
【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．6
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM ，然后求出△MBC 的周长=AC+BC ，再代入数据进行计算即可得解．
【详解】①M 、N 是AB 的垂直平分线
①AM=BM ，
①△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，
①AB ＝8，①MBC 的周长是14，
①BC=14-8=6．
故答案为6．
【点睛】线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质．
19．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到CE=CB，①BDC=90°，再根据等腰三角形的性
质和角平分线的定义得到①BCD=1
3
①ACB=30°，则①A=30°，然后可得答案．
【详解】解：①CD垂直平分BE，
①CE=CB，①BDC=90°，
①CD平分①BCE，即①BCD=①ECD，①CE平分①ACD，
①①ECD=①ACE，而①ACB=90°，
①①BCD=1
3
①ACB=30°，
①①B=60°，
①①A=30°，
①2
BC=，
①AB=4，
①AC=．
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．20
【详解】①①ABC①①DEF，
①AC=DF，
①AC边的质量为20千克，
①DF边的质量为20千克.
21．12
【分析】首先作出图形，利用等边三角形的性质以及解直角三角形的知识求出BC的长，以AB为边的正方形面积．
【详解】如图，过A作AD①BC，
①AB=AC=BC，
①BD=CD=1
2BC=1
2
AB，①BAD=30°，
①AD=3，222
AB AD BD
=+，
①AB=
①以AB为边的正方形面积为212
=cm2．
22．4．
【详解】试题分析：如图，①BD平分①ABC．①ABD=30°，①①DBC=30°．①①BDC=90°，CD=2，①BC=2CD=4．故答案是：4．
考点：含30度角的直角三角形．
23．22
【分析】图一、图二①AOB的度数发生变化，但是OA、OB的长度没有改变，在通过
①AOB=60°，OA=OB，得到三角形AOB为等边三角形求解．
【详解】图一、图二①AOB的度数发生变化，但是OA、OB的长度没有改变,仍然有
OA=OB．
①OA=OB，①AOB=60°，
①①AOB为等边三角形，
①OA=OB=AB=22cm.
【点睛】本题比较简单，主要是对三角形中等腰、等边三角形的考查，熟练掌握这块的基础知识是解答本题的关键．
24．50°
【分析】利用平行线的性质求出①DBC，再根据三角形内角和定理求出①BDC即可．
【详解】解：①EF①GH，
①①FAC=①DBC=72°，
①①C+①DBC+①BDC=180°，
①①BDC=180°−72°−58°=50°，
故答案为50°.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.
25．4（答案不唯一）
【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即532-=；而小于两边之和，即538+=，
即2<第三边8<，
故第三根木棒的长度可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
26． AD =CE （或①D =①E 或①ACD =①B ）（答案不唯一） SAS
【分析】（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；
（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．
【详解】解：（1）添加的条件是：AD =CE （或①D =①E 或①ACD =①B ）
故答案为：AD =CE （或①D =①E 或①ACD =①B ）
（2）若添加：AD =CE
①点C 是线段AB 的中点，
①AC =BC
①DA EC ∥
①A BCE ∠=∠
①DAC △①ECB (SAS )
故答案为：SAS
【点睛】本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．
27．65︒
【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．
【详解】解：如图，
①AB AC BD ==
①C B ∠=∠,13∠=∠，
23180B C ∠+∠+∠+∠=︒
1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠
又12C ∠=∠+∠
218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠
318022C ∴∠=︒-∠
18030503
C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒
故答案为：65︒
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．
28．55︒
【分析】如图，延长B ′E 交C ′F 的延长线于点A ′，连接AA ′．证明①1+①2=2①EAF ，可得结论．
【详解】解：如图，延长B ′E 交C ′F 的延长线于点A ′，连接AA ′．
①①1=①EAA ′+①EA ′A ，①2=①F AA ′+①F A ′A ,
①①1+①2=①EAF +①EA ′F ，
①①EAF =①EA ′F ，
①①1+①2=2①EAF =110°，
①①A =55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明
①1+①2=2①EAF．
29．18
【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时①ABC的中
位线，从而可以得到DE①AC且DE=1
2
AC，然后即可得到①DEG①①ACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，
①点G是①ABC的重心，
①点E和点D分别是AB和BC的中点，
①DE是①ABC的中位线，
①DE①AC且DE=1
2
AC，
①①DEG①①ACG，
①
1
2 DE DG
AC AG
==，
①AG=12，
①DG=6，
①AD=AG+GD=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确
题意，利用数形结合的思想解答．
30．12．
【分析】由旋转的性质可求AB AC =，由勾股定理可求BD 的长，AD 的长.
【详解】①线段AB 与线段AC 重合
AB AC ∴=
3,CD BC BD AD ==⊥
9BD ∴==
222,3AB AC CD AD A D D A BD AB ===+=++
2281(3)AD AD ∴+=+
12AD ∴=
故答案为：12.
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，根据旋转的性质得出AB AC =是解题关键. 31．10
【详解】试题分析：根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得OD=12AO ，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出①AOB 的面积为
22510AOB BOD S S ==⨯=．
考点：三角形的重心，三角形的面积（等高，等底同高）
32．【分析】根据菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；利用30°直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可．
【详解】解：由题意得作图如下：菱形ABCD 中，①DAB =60°，
①ABCD 是菱形，
①AC 、BD 互相垂直平分，AC 平分①DAB ，
①①CAB=30°，①AOB=90°，
①菱形周长为24cm，
①AB=24÷4=6cm，
①OB=1
2
AB=3cm，AO=，
①BD=2OB=6cm，AC=2AO=，
①较长的一条对角线长，
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，30°直角三角形，勾股定理；掌握菱形的性质是解题关键．
33．35°
【详解】①四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，
①PE是①ABD的中位线，PF是①BDC的中位线，
①PE=1
2AD，PF=1
2
BC，
又①AD=BC，
①PE=PF，
①①PFE=①PEF=35°.
故答案为35°.
34．4
【详解】试题分析：根据角平分线的定义可得①CAD=①BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得①CAD=①ADE，然后求出①ADE=①BAD，根据等角对等边可得AE=DE，然后根据等角的余角相等求出①ABD=①BDE，根据等角对等边可得DE=BE，从而得到DE= AB．
解：①AD是①BAC的平分线，
①①CAD=①BAD，
①DE①AC，
①①CAD=①ADE，
①①ADE=①BAD，
①AE=DE ，
①BD①AD ，
①①ADE+①BDE=①BAD+①ABD=90°，
①①ABD=①BDE ，
①DE=BE ，
①DE=AB ，
①AB=8，
①DE=×8=4．
故答案为4．
考点：等腰三角形的判定与性质．
35
【分析】作DE AB ⊥，在Rt ADE 中根据勾股定理求出DE 的长即可．
【详解】解：作DE AB ⊥，则90AED ∠=︒，
又①45A ∠=︒，
45ADE ∴∠=︒，
AE DE ∴=，
222AE DE AD +=，
222DE ∴=，
23DE =，
DE ∴=，
①AB 与CD
【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离和勾股定理，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义并能用勾股定理计算时解题的关键．
36
．(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)-
【分析】利用待定系数法求出反比例函数表达式，再分情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：反比例函数(0)k
y x x
=>，过点(3,4)A ， 12k ∴=，
12
y x ∴=，
①如图1中，
四边形PQRS 是正方形，
PS PQ ∴=，
(1,0)P ，
(1,12)Q ∴，
12PQ ∴=，
12PS ∴=，
13OS ∴=，
(13,0)S ∴．
则当S 在负半轴时，(11,0)S -．
①如图2中，
四边形PQRS 是正方形，
Q ∴、S 关于x 轴对称，
设(1,)Q m m +代入12y x
=中，(1)12m m +=， 3m ∴=或4-（舍弃），
(4,3)Q ∴，
(4,3)S ∴-．
①如图3中，作QE x ⊥轴于E ．
四边形PQRS 是正方形，
PS PQ ∴=，①SPQ=90°，
①①SPO+①QPE=90°，又①SPO+①PSO=90°，
①①QPE=①PSO ，又①POS=①PEQ ，
①PQE SPO ∆≅∆（AAS ），
1EQ OP ∴==，
(12,1)Q ∴，
11PE SO ∴==，
(0,11)S ∴，
①如图4中，作QE x ⊥轴于E ，QF y ⊥轴于F ．
四边形PQRS 是正方形，
①PQ=RQ ，①PQR=90°，
①①FQR+①FQP=90°，①EQP+①FQP=90°，
①①FQR=①EQP ，又①QFR=①QEP=90°，
①PQE RQF ∆≅∆（AAS ），
QE QF ∴=，RF PE =，
设(,)Q n n ，则Q ，
(0R ∴
，1)，设(,)S a b ，
102+=，
1a ∴=-1b =，
(1S ∴-1)．
综上：点S 的坐标为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)-，
故答案为：(13,0)或(11,0)-或(4,3)-或(0,11)或(11)-．
【点睛】本题考查反比例函数综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
37．8
【详解】①AB=AC，AF①BC，①①AFB=90°，BF=CF，又①BE①AC，
①①BEC=①BEA=90°，①EF=1
2BC=3，又①D为AB中点，①DE=DF=1
2
AB，
①DE+DF+EF=11，①DE+DF=8，①AB=8.
38．见解析
【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得①ABE=①A；结合三角形外角的性质可得①BEC的度数，再在Rt①BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到①ABC=60°，至此不难判断①BCD的形状
【详解】（1）证明：连结BE，如图．
①DE是AB的垂直平分线，
①AE＝BE，
①①ABE＝①A＝30°，
①①CBE＝①ABC－①ABE＝30°，
在Rt①BCE中，BE＝2CE，
①AE＝2CE.
（2）解：①BCD是等边三角形．
理由如下：
①DE垂直平分AB，
①D为AB的中点．
①①ACB＝90°，
①CD＝BD.
又①①ABC＝60°，
①①BCD是等边三角形．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键，
39．见解析.
【分析】利用平行线以及角平分线的定义证明①2=①3，再根据等角的余角相等证明①4=①5即可解决问题.
【详解】证明：如图，
①AD平分①BAC，
①①1=①2，
①EF①AB，
①①1=①3，
①①2=①3，
①CE①AD 于点E，
①①AEC=90°，
①①3+①4=90°，
①①2+①5=90°，
①①4=①5，
①FE=FC，
①①FEC是等腰三角形．
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
40．(1)见解析
(2)见解析。