加强教学内容启发性、关联性和有序性的思考--基于章建跃先生对《等式性质与不等式性质》一节的教材分析

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5-11 [100章建跃，李增沪.人教社第十一套普通高中教科书介
《等式性质与不等式性质》内容的教学重点是 要求学生掌握不等式性质及其应用，教材中由如何 解不等式引出不等式性质的教学.如前所述,不等式 性质的最终导出分三个步骤，首先就是明确两个实 数大小关系的基本事实，它为研究不等式的性质奠 定了基础.但是在一般情况下，仅仅提出实数大小关 系的基本事实还不足以让学生理解知识的本质,大 多数学生甚至教师并不明白将实数大小的比较转化 为“数与式的大小关系”比较的真正目的.于是教材 呈现出：比较两个实数的大小,可以转化为比较它们 的差与0的大小.这句话是对基本事实的进一步解 释说明，是在逐步启发引导师生理解代数的本质即 运算.而在日常的教学中,多数教师并不重视这一内 容的教学.对这一事实背后的原理讲不清、道不明， 并且认为上述基本事实是理所当然的，对其认识停 留在运用基本事实比较两个实数大小的层面这 显然与我们的教学理念背道而驰.教师在教学过程 中，应利用好教材,深刻解读教材中的每一句话，在
“思考”栏目引导学生
等式的基本性质;最
后，使用“探究”栏目引导学生根据等式的基本性
质，
不等式的性质并进行证明•通过章先生
对教材的分析，教
对这
作了精心
的 ，使之具有严谨的内在
，
的启
、关 和有序性•但在实际教学 中，大部
教师并
教
的意图，这导
教学不深刻、不 、不有序•数学是一门严谨的
学科，它对 学生的
、数学抽象、数学运
清晰的讲解,而性质5 7则留给学生自主探究、独
立思考的空间，从而使学生的数学运算、数学抽象、
等 在不等式 质的
中
发展.
4 结语 加强教学内容的启发性、关联性和有序性对教
师的教和学生的学都具有积极的影响.加强教学内
容的启发性，能有效引导师生对内容本质的理解;加
强教学内容的关联性，可以促进师生对数学思想方
•此次数学新教材的 在
“思
”等 下，综合考虑了
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中学数学月刊
2021年第7期
教师的教和学生的学两个方面，加强了知识呈现的 启发性，既便于教师把握数学知识的本质，也便于学 生阅读、理解，但最终都指向促进学生数学思维及数 学能力的发展，从而达到培养学生数学核心素养的 目的.那么在启发性的教学内容下，教师如何能抓住 内容本质，促进自身的教学呢？
的 经过前面一系列知识的铺垫，教材最终呈现出 7条不等式的性质，它们并不是无序的，而是有其内 在的 教师在教学 中*不 要明 具 的
质内容，更为重要的是要明白这7条性质呈现出来 的结
教材内容:不等式7个性质的呈现
性质1 如果a〉b，那么b%a，如果b %a，那
么 a〉b ;
性质2 如果a〉b,b〉c,那么a〉/; 性质3 如果a & b，那么a+c〉b+c;
关键词：等式与不等式；数学教学内容;启发性；关联性;有序性
建跃先生是人民教育出版社中学数学室主
任，主要
织 中学数学教材•他曾在中学从
教十余年,在担任教研员、编审
入中学
，与一线教师 教学，积累了丰富的中学数学
教学经验，在
刊杂志
了 余篇关于
中学数学教学的高水平文章• 1在2019年“国培”计
划一一
队高级研
性.其中性质1和性质2反映的是实数自身的性质；
质3 和 质4 是基本 质; 质5、6、7 是 前面不
等式性质2、3、4推导出来的性质.因此可以看出不 等式性质的呈现严谨有序、层层递进,它们构成一个
有序的整体.教师若能领悟到这样的思想内涵，对不
等式7 基本 质的
的，
就能有效指导自身的教学:对基本的性质1〜4进行
最后,教师应有意识地训练自己的析题、解题能 力,在解题和析题活动中强化对知识的理解和掌握. 相比于机械刻板地做题，这是一种以知识理解、思维 训练、素养提升为基础和目的的解题活动.波利亚曾 在《怎样解题》中指出：“一个重大的发现可以解决 一个重大的难题,而在解答任何一道题目的过程中， 也会有点滴的发现.&60教师的数学素养也正是在 这“点滴的发现”之中逐渐培养和提升的.
算等能力具有不
的作用•然而这
需
要教师首先深刻领悟教
，然后进行有效教学，
逐步 学生数学思维和数学能力的 •
目前,针对数学教学 的研究较多•如曹广福
针对 结合地方高校生源的特点以及地方 建
对不同层次人才的要求，探索了分析类数学 :
的教学 及 的改革与实践「20;徐
算法
化的 对中学数学教学
作深入的 ｛分
析3 ;汪丽香基于知识连续性、知识学习规律、知识
中感受数学与实际生活的联系，体会数学的应用价
值，体悟数学的模型思想.在学习方法的指导上，教
材内容特别注意以数学概念、结论的形成过程为载
体,引导学生开展“观察、实验、比较、归纳、猜想、推
理、反思”等理性思维活动，促进学生对数学思想方
法的掌握，逐步引导学生会用数学眼光观察世界，会
用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.9
法的掌握;加强教学内容的有序性，可以增强师生对
数学整体的认识.教师作为学生学业路上的“引路
人”，在实际的教学过程中，应深刻理解教材,在此基
础上设计具有启发性、关联性、有序性的教学内容,
让自己的教学更深刻、更灵动、更有序，致力于激发
学生的学习兴趣,启发学生思考，从而更好地培养学
生的“四基四能”，发展其数学核心素养.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
讲解具体知识点的基础之上注重对知识背后原理的
教学.在这里体现为应有让学生理解实数大小关系
的基本事实是使实数的运算参与其中的意识，从而
实现代数教学从“知其然”到“知其所以然”再到“何
由以知其所以然”的跨越.
2 加强内容的关联性，促进师生对思想方法的 掌握
章建跃先生指出：数学思想方法体现在知识的
相互联系中，即“联系出思想”80.加强教学内容的关 联性,也即通过类比、比较等逻辑思维活动沟通各部
性质4 如果a〉b,c〉0,那么ac〉bc;如果
a 〉b *c %0 * ac %bc ;
性质5 如果a〉b，〉2，那么a+c〉b+2;
性质6
ac 〉b2;
性质7 n $ 2).
如果a & b & 0，& 2 & 0,那么 如果—>b>0,那么a"〉b”(” 0 N，
以上不等式的7条基本性质的呈现不仅与等式 的基本性质相对应，而且具有内在的层次性和有序
要• &教 ”的明晰度决定了“怎样教”的效度.5
毋庸 ，数学教材作为数学教学最基础的 ，同
是最重要的 •教师研究“教什么”的问题就
应
研读教材，在研读教
中抓住 本
质•而
的教学 是师生 数学、抓住 ，
本质的关键•加强 的
，即利用科学、
的语言
能揭示数学本质 以及具有逻
的教学 ，促使学生 思考、积极探索，
而深刻
对于教材中的“思考”栏目：“类比等式的基本
性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明
吗？ ”在教学过程中，教师首先应引导学生归纳等
式性质的共性（相等关系的对称性和传递性以及等
式在运算中保持的不变性），获得其中的数学思想+
其次让学生通过类比，自主探究，从具体到抽象地归
纳出不等式的性质，从而发展学生数学抽象、逻辑推
《等式 质与不等式 质》 教 中 不
等式 质的第 步是 “思考” 目
等式的
基本性质，由于等式与不等式有许多共同之处，学生
在学习不等式 质 前 学习
的等式基本
质，所以等式的基本性质是研究不等式性质时的类
比对象.通过呈现学生熟悉的知识引出即将学习的
新知识，加强知识之间的关联性，使学生联想到运用
类比的方法探究新知识.
等
3 加强内容的有序性，增强师生对数学整体的 认识
章建跃先生认为:数学教材安排的学习内容必
须是系统的、连贯的，后续学习需要的知识在前面必
须出现过，不能有知识链条的断裂./00这在一定程
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度上也说明教学内容必须是有序的，有序的教学内 容是培养师生清晰的数学思维的基础.加强内容的 有序性，即教学内容的呈现必须反映学生的认知规 律，体现“学生是如何学数学的”，同时必须体现数学 的学科特征,反映数学的内在逻辑，做到内容的逻辑 连贯性和思想方法的前后一致性.[110由此利于教师 系统有序地教学，利于学生螺旋上升地学习.2004 年《普通高中数学课程标准(实验稿)》提出教材内 容编排的模块化结构，但此结构容易造成教材中知 识不连贯、无序，其实任何模块顺序都存在知识不连 贯的问题，所以《普通高中数学课程标准(2017年 版)》改变了课程结构，由“主题一主线一核心内 容”的教学模式代替“模块化”教学，由此建立起高 中数学内容的四条主线(函数、几何与代数、概率与 统计、数学建模活动与数学探究活动)之间的联系. 因此教材的编写也具有良好的逻辑结构，使重要的 数学思想得到螺旋上升的体现，可加强师生对学习
化、知识核心 的
方面谈教学
内容的调整⑷•但是，已有文献大多是
教
学 的改革，或基于
教学 的调整，鲜
本身 ，研究教学 的
、关
和序
强教学 的
、关 和 序
性，有利于教师的教学和学生的学习，关 图1. 结合章建跃先生对《等式性质与不等式性质》一节
教
的分析，对加强 “三性”的意 行初
步探
图1
1 加强内容的启发性，引导师生对内容本质的 理解 奠宙先生认为，“教什么永远比怎样教 :
绍-数学A版[M0.北京:人民教育出版社,2019. [110章建跃核心素养导向的高中数学教材变革
分内容,建立起新知识与旧知识之间的联系，便于
教师深入理解教学，便于学生观察比较学习，也有利
于学生在学习过程中形成正向迁移.在教学过程中，
教师如果能注意到知识之间的联系并有意引导学生
去发现这些知识的联系，可以有效促进学生的学习
动机和兴趣，使得其学习更有效.此次新教材的编写
注重真实背景问题的引入，让学生在问题解决过程
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!"教学内容启发）、* + ）和有序）的思考
——基于章建跃先生对《等式性质与不等式性质》一节的教材分析
高炼（天津师范大学教育学部300387）
摘要：章建跃先生对《等式性质与不等式性质》一节的教材分析,使我们认识到加强教学内容启发性、关 联性和有序性对教师教学和学生学习的重要性.加强教学内容的启发性，可以引导师生对内容本质的理解;加 强内容的关联性，可以促进师生对思想方法的掌握;加强内容的有序性，可以增强师生对数学整体的认识.
首先,教师应具有扎实的数学知识.拥有扎实深 厚的数学知识是一名数学教师进行有效教学的基 础，也是一名数学教师应该具备的基本素养.数学知 识在教学实践中起着“载体”的作用，没有这个“载 体”，启发性的教学内容对教师而言没有任何意义， 数学教师的有效教学也无从谈起.
其次,教师应仔细阅读教材，对教材中的每一句 话都应认真思考、琢磨，细品教材编写者设计此内容 的意图.不能只注重具体知识点的教学，而忽略了具 有关键作用的启发性教学内容.尤其是2019年在全 国范围内逐步展开使用的数学新教材，相比于旧教 材在结构和内容上都有较大的调整，教师更应该领 会其精神，熟悉教材内容.
目天津师范大学数学
，章建跃先生 讲 化教改要求的数学课
教学，深度 了高中数学教材中《等式性质与不
等式性质》一节的 ，
数学教材
含的育
，并
强教学
、关 和有序性对教师教学和学生学习的重要
意
2019年人教A版高一年级上册将不等式的性
质分三个步骤引出•首先，提出两个实数大小关系的 基本事实是研究不等式性质的前提条件;其次，使用