2020新课标高考数学(文)二轮总复习课件：1-2-2 数列递推关系综合应用

15，n≥7.
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
类型三 递推关系的实际应用 突破数列在生活实际中的应用 [例 3] 2018 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40%，从 2019 年开始，计划每 年将非绿化面积的 8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的 2%被非绿 化．
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所以 Tn＝1132－64n×＋33n.(11 分) 经检验，n＝1 时也适合．综上可得 Tn＝1132－64n×＋33n.
(12 分)
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【知规则·规范解答】 缺少一步，则扣该步相应分数．
——采点得分说明
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(2)设 cn＝4n2－bn 12n，求数列{cn}的前 n 项和 Sn. [解析] (2)由(1)知 bn＝1×2n－1＝2n－1. 因为 cn＝4n2－bn 12n， 所以 cn＝22n＋112n－1＝142n1－1－2n1＋1.
所以 an＝33， n－1n，＝n1≥，2.
(4 分)
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(2)若数列{bn}满足 anbn＝log3an，求{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (2)因为 anbn＝log3an，所以 b1＝13.(5 分) 当 n≥2 时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n， 所以 T1＝b1＝13.(6 分) 当 n≥2 时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，(7 分)
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【悟方法·善于总结】 给出 Sn 与 an 的递推关系求 an 的常用思路 (1)先用 a1＝S1，求出 a1. (2)用 n－1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，便可求出 n≥2 时 an 的表达式． (3)检验 n＝1 时，表达式是否可以与 n≥2 的表达式合并．
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(2)求数列{an}的第 n＋1 项 an＋1； [解析] (2)由(1)得 an＋1＝190an＋225，an＋1－45＝190an－45. 所以数列an－45是公比为190，首项为 a1－45＝－25的等比数列．所以 an＋1＝45＋－25 190n.
专题二 数 列 第二讲 数列递推关系综合应用
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1．等差数列、等比数列的定义与递推关系 (1)an－an－1＝d⇔{an}为等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1. (2)aan－n 1＝q(q≠0)⇔{an}为等比数列⇔a2n＝an－1·an＋1.
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又因为 a1＝11，a2＝5＋15a1＝356， 所以 an＝356×65n－2＝6×65n－1(n≥2)． 又因为 an≤15，所以 6×1.2n－1≤15，所以 n－1≤5，所以 n≤6. 所以 an＝161×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
an＝ Sn－Sn－1 n≥2 .
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4．构造法 (1)递推关系形如 an＋1＝pan＋q(p，q 为常数)可化为 an＋1＋p－q 1＝pan＋p－q 1(p≠1) 的形式，利用an＋p－q 1是以 p 为公比的等比数列求解； (2)递推关系形如 an＋1＝apn＋anp(p 为非零常数)可化为an1＋1－a1n＝1p的形式．
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3．某企业为了适应市场需求，计划从 2020 年元月起，在每月固定投资 5 万元的 基础上，元月份追加投资 6 万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额 总和的 20%，但每月追加部分最高限额为 10 万元．记第 n 个月的投资额为 an 万元．
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2．数列的单调性与递推关系
对于数列{an}，若 an＋1>an，则{an}为_递__增____数列； 若 an＋1<an，则{an}为__递__减___数列；
若 an＋1＝an，则{an}为常数列．
3．Sn 与 an 的递推关系
S1
n＝1
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(1)求 an 关于 n 的关系式； 解析：(1)设前 n 个月投资总额为 Sn. 则当 n≥2 时，an＝5＋15Sn－1， ① 所以 an＋1＝5＋15Sn. ② ①②两式相减，得 an＋1－an＝15(Sn－Sn－1)＝15an， 所以 an＋1＝65an.
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(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 解析：(2){bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． 由条件可得na＋n＋11＝2nan，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1， 所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
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(3)求数列{an}的通项公式． 解析：(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以 an＝n·2n－1.
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【悟方法·善于总结】 已知 an 与 an＋1 的关系式求通项 an 时，常有以下几种类型 (1)形如 an＋1＝an＋f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法． (2)形如 an＋1＝an·f(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法． (3)形如 an＋1＝pan＋q(p，q 均为常数且 p≠1，q≠0)解决方法是将其构造成一个新 的等比数列． (4)形如 an＋1＝pan＋qn(p，q 均为常数，pq(p－1)≠0)解决方法是在递推公式两边同 除以 qn＋1.
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(3)至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过 60%？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) [解析] (3)因为 an＋1>0.6， 即45＋－25190n>35，190n<12， 所以 n(lg 9－1)<－lg 2，n>1－lg2l2g 3≈6.572 1. 所以至少需要 7 年的努力，才能使绿化率超过 60%.
解析：(1)因为点 Ann，Snn在函数 f(x)＝－x＋c 的图象上运动，所以Snn＝－n＋c，
所以 Sn＝－n2＋cn.
因为 a1＝3，所以 c＝4，所以 Sn＝－n2＋4n.
所以 an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5(n≥2)．
当 n＝1 时，a1＝3 满足上式，所以 an＝－2n＋5.
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(2)记 bn＝aan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最小值．
解析：(2)由(1)知，bn＝aan＝－2an＋5＝－2(－2n＋5)＋5＝4n－5. 所以数列{bn}为等差数列． 所以 Tn＝nb12＋bn＝2n2－3n. 所以当 n＝1 时，Tn 取最小值，最小值是 T1＝－1.
某一步出错，且该步以上各步都正确，只得该步以上的分数，该步以下都不得分． 有三处需写明“n≥2”，只要有任何一处写“n≥2”，则不扣分，否则扣 1
分 “Tn”的结果形式，只要是比较简明，则不扣分．
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1．(2019·长沙模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若点 Ann，Snn在函数 f(x)＝－x＋ c 的图象上运动，其中 c 是与 x 无关的常数，且 a1＝3. (1)求数列{an}的通项公式；
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[自我总结] _______________________________ _______________________________
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类型二 数列相邻项间的递推关系及应用 突破 an 与 an＋1 关系式的变形 [例 2] (2019·福州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n ∈N*)．设 bn＝an＋1－an. (1)证明：数列{bn}是等比数列； [解析] (1)证明：因为 an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)， bn＝an＋1－an，
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(1)设该县的总面积为 1,2018 年底绿化面积 a1＝25，经过 n 年后绿化面积为 an＋1，试 用 an 表示 an＋1； [解析] (1)设现有非绿化面积为 b1，经过 n 年后非绿化面积为 bn＋1. 于是 a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1 是由两部分组成，一部分是原有的绿化面 积 an 减去被非绿化部分1020an 后剩余的面积为19080an，另一部分是新绿化的面积1800 bn， 于是 an＋1＝19080an＋1800bn＝19080an＋1800(1－an)＝190an＋225.
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所以 Sn＝c1＋c2＋…＋cn ＝141－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝141－2n1＋1＝4nn＋2.
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2．(2018·全国新课标卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝ann. (1)求 b1，b2，b3； 解析：(1)由条件可得 an＋1＝2nn＋1an. 将 n＝1 代入得，a2＝4a1，而 a1＝1，所以 a2＝4. 将 n＝2 代入得，a3＝3a2，所以 a3＝12. 从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4.
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[自我总结] _______________________________ _______________________________ _______________________________ _______________________________
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所以bbn＋n 1＝aan＋n＋2－1－aan＋n 1＝3an＋a1－n＋12－ana－n an＋1＝2aann＋＋11－－aann＝2. 又 b1＝a2－a1＝2－1＝1， 所以数列{bn}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．
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所以 3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]， 两式相减得 2Tn＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n(9 分) ＝23＋11－－331－－1n－(n－1)×31－n(10 分) ＝163－62n×＋33n ，
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类型一 数列 Sn 与 an 的递推关系与应用 突破 an＝Sn－Sn－1(n≥2)的理解 [例 1] (本题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
[解析] (1)因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3.(1 分) 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3，(2 分) 此时 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即 an＝3n－1.(3 分)