2019届四川成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学(文)试题(解析版)

四川省成都石室中学2019届高三下学期 “三诊”模拟考试数学（文）试题
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上）
1.已知集合{
}
2
=10M x x -≤，1124,2x N x x Z +⎧⎫
=<<∈⎨⎬⎩⎭
，则M N =I （ ） A. {}1,0,1- B. {}1,0-
C. [)1,1-
D. []1,0-
【答案】B 【解析】 【分析】
解出集合M 、N ，利用交集的定义可得出集合M N ⋂. 【详解】∵集合{
}{
}
2
=1011M x x x x -≤=-≤≤，
{}
{}1112124,222,112,2x x N x x Z x x Z x x x Z +-+⎧⎫
=<<∈=<<∈=-<+<∈⎨⎬⎩⎭
{}{}21,1,0x x x Z =-<<∈=-，
因此，{}1,0M N ⋂=-， 故选：B.
【点睛】本题考查交集的
运算，涉及一元二次不等式与指数不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 2.设1z i =-（i 是虚数单位），则2
z z
+=（ ） A. 22i - B. 22i +
C. 3i -
D. 3i +
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出
2
z z
+的值. 【详解】1z i =-Q ，1z i =+，则()()()
()2122
112122111i z i i i i z i i i ++=++=++=+=+--+， 故选：B.
【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.
3.经过圆
22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 （）
A. 30x y -+=
B. 30x y --=
C. 10x y +-=
D. 30x y ++=
【答案】A 【解析】
依题意可得直线经过点(1,2)-且斜率为1，则其方程为21y x -=+，即30x y -+=，故选A 4. 一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )
A.
(4)3
π+ B.
(8)3
π+C.
(8)3
π+ D. (43π+【答案】B 【解析】
试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×
3
2
，所以几何体体积为(8)36π+B ．
考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算．
点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题． 5.设0x >，0y >，且
11
42x y
+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ） A. 4- B. 3-
C. 2log 6-
D. 2
32log 8
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值.
【详解】0x Q >，0y >，且1142x y +=
，11111422222x y x y xy ∴=+≥⋅=，1
22xy ∴≤， 1
8
xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.
422222
1
2log log log log log log 38
z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
6.若A 为不等式组0
{0
2
x y y x ≤≥-≤所示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a 扫过A 中的那
部分区域面积为（ ） A. 2 B. 1 C.
34 D.
74
【答案】D 【解析】
试题分析：如图，不等式组0
{0
2
x y y x ≤≥-≤表示的平面区域是
,动直线
在
轴上的截距从
变
化到1,知
是斜边为3等腰直角三角形，
是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积
,故选D.
考点：二元一次不等式（组）与平面区域
点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然
后结合有关面积公式求解．
7.函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )
A.
1665
B.
6365
C. 1665
-
D. 1663
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由周期公式可知函数周期为2，∴AB =2，过P 作P C ⊥AB 与C ，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC 与∠BPC 的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ． 【详解】. ,BAP a PBA β∠=∠=
()a θπβ=-+
P C ⊥AB 与C
115
||,||||142AC T AP PC ====
||255
sin ||PC a a AP =
==
3313
||,||42BC T PB ===
13313
sin ,cos 1313
ββ=
=
16
sin 22sin cos 2sin()cos()2(sin cos cos sin )(cos cos 65
=a a a θθθβαβαβββ=-++=-+=
, 故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.
8.下列命题中：①若“x y >”是“22x y >”的充要条件；
②若“x R ∃∈，2210x ax ++<”，则实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞U ； ③已知平面α、β、γ，直线m 、l ，若αγ⊥，m γα=I
，l γβ=I ，l m ⊥，则l α⊥；
④函数()13x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数a 的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误.
【详解】①由x y >，可知0x >，所以有22x y >，当0x y <<时，满足22
x y >，但x y >不成立，所
以①错误；
②要使“x R ∃∈，2210x ax ++<”成立，则有对应方程的判别式>0∆，即2440a ->，解得1a <-或
1a >，所以②正确；
③因为αγ⊥，m γα=I ，l γβ=I ，所以l γ⊂，又l m ⊥，所以根据面面垂直的性质定理知l α⊥，
所以③正确；
④因为1
113
3
2
111103333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，1112
22
111102332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-< ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，且函数()y f x =连续，
所以根据零点存在定理可知在区间11,32⎛⎫
⎪⎝⎭
上，函数()y f x =存在零点，所以④正确.
所以正确的是②③④，共有三个. 故选：C.
【点睛】本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.
9.已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a ＝1，那么10a ＝( )
A. 1
B. 9
C. 10
D. 55
【答案】A 【解析】
a 10＝S 10－S 9＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1，故选A.
10.已知函数()21log 3x
f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，设0a b c <<<，且满足()()()··0f a f b f c <，若实数0x 是方程()0f x =的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A. 0x a <
B. 0x c >
C. 0x c <
D. 0x b >
【答案】B 【解析】
由指数函数与对数函数的特点易得，f(x)=21 log 3x
x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
在（0，+∞）上是连续的减函数. 由f(a)·f(b)·f(c)＜0，得f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0， ∴x 0＜a 或b ＜x 0＜c. 故选B.
点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.
二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）
11.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，则()P A 等于______. 【答案】2
5
【解析】 【分析】
列举出所有的基本事件，并确定事件A 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出()P A . 【详解】由于从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、
()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5，共10种，
其中事件A 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()2,4、()3,5，共4种，
由古典概型的概率公式可得()42105
P A ==. 故答案为：
25
. 【点睛】本题属于简单的古典概型的问题，属于基础题．关键是找准基本事件以及所求事件包含的基本事件总数．
12.下图给出了一个程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值有________
个.
【答案】3 【解析】
试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑1x x
=
，224,x x x x -==所得x 值，有3个．
考点：本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．
点评：简单题，注意到应考虑1x x
=
，2
24,x x x x -==所得x 值，一一探讨． 13.已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，()1,3B ，O 为原点，且OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r
，（其中1αβ+=，
α，β均为实数），若()1,0N ，则MN
u u u u v 最小值是_____.
【答案】
32
2
【解析】 【分析】
根据OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r 可化简为BM BA α=u u u u r u u u r
，可得出A 、B 、M 三点共线，求出直线AB 的方程，然
后利用点到直线的距离公式可计算出MN u u u u v
的最小值.
【详解】OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r
Q （其中1αβ+=，α、β均为实数），
()1OM OA OB αα=+-u u u u v u u u v u u u v ，即()
OM OB OA OB α-=-u u u u v u u u v u u u v u u u v ，即BM BA α=u u u u r u u u r ，//BM BA ∴u u u u r u u u r ，
A ∴、
B 、M 三点共线，MN ∴u u u u v
的最小值即为点N 到直线AB 的距离， 直线AB 的方程为23012
y x +=-+，即20x y -+=， 因此，MN u u u u v
的最小值为
2d ==
. 故答案为：
2
【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
14.椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|
成等比数列，则此椭圆的离心率为___________ 【解析】
本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，
12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =
.故c e a ==
.即椭圆
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 15.给出下列五个命题：
①已知直线a 、b 和平面α，若//a b ，//b α，则//a α；
②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；
③双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有一个公共点；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；
⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2
212
x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，
设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12
-. 其中，正确命题的序号为_______. 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】
利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误. 【详解】①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误；
②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误； ③因为双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±
，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误；
④若αβ⊥，a αβ⋂=，l α⊂，且l 与a 不垂直，
假设l β⊥，由于a β⊂，则l a ⊥，这与已知条件矛盾，假设不成立，则l 与β不垂直，所以④正确；
⑤设()111,P x y 、()222,P x y ，中点()00,P x y ，则121
12
y y k x x -=-，012
2012y y y k x x x +==+，
把()111,P x y ，()222,P x y 分别代入椭圆方程2
212
x y +=， 得221122
222222
x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()2222121220x x y y -+-=， 整理得1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，即1212
k k =-，所以⑤正确. 所以正确命题的序号为④⑤. 故答案为：④⑤.
【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.
三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）；
16.已知向量()sin ,1a x =-r
，1,2b x ⎫
=-⎪⎭r ，函数()()
2f x a b a =+⋅-r r r .
（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间；
（2）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，其中A
为锐角，a =4c =，且()1f A =.求A 、b 的长和ABC ∆的面积.
【答案】（1）T π=，递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦；（2）3A π
=，2b =
，ABC S ∆=【解析】 【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出()()
2f x a b a =+⋅-v v v
，并利用三角恒等变换思想化简函数
()y f x =的解析式为()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数()y f x =的
最小正周期T 及单调减区间；
（2）利用（1）即可得到A ，再利用正弦定理即可得到C ，利用三角形内角和定理即可得到B ，利用直角三角形含
6
π
角的性质即可得出边b ，进而得到三角形的面积. 【详解】（1）()sin ,1a x =-v
Q
，1,2b x ⎫=-⎪⎭v ，
(
)
(
)233sin ,sin ,1sin cos 22a b a x x x x x x ⎛
⎫∴+⋅=-⋅-=++
⎪⎝
⎭v v
v 1cos 2312cos 22sin 222226x x x x π-⎛
⎫=
=-+=-+ ⎪⎝
⎭， ()()
2sin 26f x a b a x π⎛⎫∴=+⋅-=- ⎪⎝
⎭v v v ，所以，22T ππ==，
由
()32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤-
≤
+∈，解得536k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，
所以，函数()y f x =的单调递减区间是()5,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
； （2）()1f A =Q ，sin 216A π⎛
⎫
∴-
= ⎪⎝
⎭
，
A Q 为锐角，即02
A π
<<
，526
6
6A π
π
π∴-
<-
<
，262A ππ
∴-=，解得3
A π=. 由正弦定理得sin sin a c A C
=，4sin sin 3sin 123
c A C a π
⨯∴===， ()0,C π∈Q ，2
C π
∴=
，6
B A
C π
π∴=--=
，1
22
b c ∴=
=， 因此，ABC ∆的面积为1
223232
ABC S ∆=
⨯⨯=. 【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．
17.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.
（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）求三棱锥C OEF -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3
12
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥, 平面ABCD I 平面ABEF AB =，
CB ∴⊥平面ABEF ，
∵AF 在平面ABEF 内，∴AF CB ⊥， 又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF .
（Ⅱ）由（1）知CB ABEF ⊥面即CB OEF ⊥面， ∴三棱锥C OEF -的高是CB ， ∴1CB AD ==,
连结OE 、OF ，可知1OE OF EF === ∴OEF ∆为正三角形，∴正OEF ∆的高是
32
， ∴11133
11332212
C OEF OEF V CB S -∆=
⨯=⨯⨯⨯⨯=
， 18.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）.跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队队，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.
（1）求甲队队员跳高成绩的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少；
（3）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试求1X =的概率.
【答案】（1）177cm ；（2）“合格”有2人，“不合格”有3人；（3）16
33
. 【解析】 【分析】
（1）将数据从小到大排列，找到中间的两个数，再求平均数即得中位数；
（2）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，求出每个运动员被抽中概率，然后根据分层抽样可求得结果；
（3）根据茎叶图，确定甲队和乙队“合格”的人数，利用古典概型的概率公式可求出1X =的概率. 【详解】（1）甲队队员跳高的成绩由小到大依次为157、168、169、173、175、176、178、181、182、184、186、191（单位：cm ）
，中位数为176178
1772
cm +=； （2）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是
51306
=，
所以选中的“合格”有11226⨯
=人，“不合格”有1
1836
⨯=人； （3）由题意得，乙队“合格”有4人，分别记为A 、B 、C 、D ，甲队“合格”有8人，分别记为a 、b 、
c 、
d 、
e 、
f 、
g 、
h ，
从这12人中任意挑选2人，所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、
(),A e 、(),A f 、(),A g 、(),A h 、(),B C 、(),B D 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),B e 、(),B f 、(),B g 、(),B h 、(),C D 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),C e 、(),C f 、(),C g 、(),C h 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),D e 、(),D f 、(),D g 、(),D h 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),a f 、(),a g 、(),a h 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),b f 、().b g 、(),b h 、(),c d 、(),c e 、(),c f 、(),c g 、(),c h 、(),d e 、(),d f 、(),d g 、(),d h 、(),e f 、(),e g 、(),e h 、(),f g 、(),f h 、(),g h ，共66种，
其中，事件1X =包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),A e 、(),A f 、(),A g 、(),A h 、
(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),B e 、(),B f 、(),B g 、(),B h 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),C e 、(),C f 、(),C g 、(),C h 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),D e 、(),D f 、(),D g 、(),D h ，
共32个，因此，()3216
16633
P X ==
=
. 【点睛】本题考查统计知识：求中位数、分层抽样等，同时也考查了古典概型概率的计算，难度不大．
19.各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且2
421n n n S a a =++，n ∈+N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知公比为()q q N +∈的等比数列{}n b 满足11b a =，且存在m N +∈满足m m b a =，13m m b a ++=，求数列{}n b 的通项公式.
【答案】（1）21n a n =-；（2）1
7n n b -=或13n n b -=.
【解析】 【分析】
（1）令1n =，利用数列递推式求出1a 的值，由2421n n n S a a =++得出2
111421n n n S a a +++=++，两式相减，
结合数列{}n a 各项均为正数，可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{}n a 的通项公式；
（2）利用m m b a =，13m m b a ++=，求出公比q ，即可求得数列{}n b 的通项公式．
【详解】（1）当1n =时，2
11114421S a a a ==++，整理得()2
110a -=，11a ∴=. 2421n n n S a a =++Q ，2111421n n n S a a +++∴=++，
两式相减得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即22
11220n n n n a a a a ++---=，
即()()1120n n n n a a a a +++--=，
Q 数列{}n a 各项均为正数，10n n a a ++>∴，12n n a a +∴-=，
∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故()12121n a n n =+-=-；
（2）111b a ==Q ，1
11n n n b b q q --=∴=，
依题意得12125m m q m q m -⎧=-⎨=+⎩，相除得256
12121m q N m m ++=
=+∈-- 211m ∴-=或213m -=，所以17m q =⎧⎨
=⎩
或23m q =⎧⎨=⎩， 当1m =时，1
7n n b -=；当2m =时，13n n b -=. 综上所述，1
7n n b -=或13n n b -=.
【点睛】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.
【答案】(1)2
214
x y +=；(2) (0,1)．
【解析】
【详解】(1)
由已知得222
222{2
a b
c a c a b =⨯=
=-⇒2
{1a b ==∴C 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠
联立22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则△22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,
此时设11(,)M x y 、22(,)N x y ∴2
121222
84(1)
,1414km m x x x x k k
-+=-=++ 于是2212
121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++
又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，
∴2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒222
28014k m m k
-+=+ 由0m ≠得：2
1
4k =
⇒12
k =±.又由△0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）
设原点O 到直线l 的距离为d ,则
1212OMN S MN d x =
=-
V 12
== 故由m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1) 21.已知函数()2
2ln f x x x =-+．
（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()a
g x x x
=+有相同极值点． ①求实数a 的值；
②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
（e 为自然对数的底数），不等式()()1211
f x
g x k -≤-恒成立，
求实数k 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）()11f =-；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）()34 ,2ln31,3⎛⎤
-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦
． 【解析】
试题分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数()f x 的最大值；（2）（ⅰ）求导函数，利用函
数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点，可得1x =是函数()g x 的极值点，从而求解a 的值；（ⅱ）先求出1[,3]x e ∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，1
[,3]x e
∀∈，min ()(1)2g x g ==，
max 10()(3)3g x g ==，再将对于121
,[,3]x x e ∈，不等式12()()11
f x
g x k -≤-恒成立，等价变形，分类讨论，
即可求解实数k 的取值范围． 试题解析：（1）22(1)(1)
()2(0)x x f x x x x x
+-'=-+=->， 由()0{
0f x x >>'得01x <<，由()0
{0
f x x <>'得1x >，
∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x =+
，∴2()1a g x x
=-'， （Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()a
g x x x
=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；
（ⅱ）∵21
1()2f e
e =-
-，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2
1
92ln 321e
-+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1
[,3]x e
∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，
由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1
[,1)x e
∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，
故()g x 在1
[,1)e 减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，
而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e ∀∈，min max 10
()(1)2,()(3)3
g x g g x g ====，
①当10k ->，即1k >时，对于121
,[,3]x x e ∀∈，不等式
12()()11
f x
g x k -≤-恒成立 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，
∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式
12()()
11
f x
g x k -≤-，
12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，
∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-
=-+，∴34
2ln 33
k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34
(,2ln 3](1,)3
-∞-+⋃+∞．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的恒成问题的求解．
【方法点晴】本题主要考查了导数在求解函数的
最大值、最小值等问题中的应用积极函数的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的第2解答中，求出1
[,3]x e
∀∈，
min max ()92ln 3,()1f x f x =-+=-，min ()2g x =，max 10
()3g x =
，将对于121,[,3]x x e
∈，不等式12()()
11
f x
g x k -≤-恒成立，转化为1k >时，12max [()()]1k f x g x ≥-+；1k <时，
12min [()()]1k f x g x ≤-+，分别求解实数k 的取值范围．。