高等数学公式大全及常见函数图像

高
等数
学公式
导数公式：
三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：
a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx x x ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22
='⋅-='⋅='-='='2
22
11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arctgx x x x x +=
'--
='-=
'⎰⎰++-=-+-+--=-C a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x arcsin 22ln 2222
2222
222222
αctg tg ((sin(
·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：
定积分的近似计算： 定积分应用相关公式：
30
21,(x F M 曲面在点方向
上的投影。

在是单位向量。

：函数为其中函数l y x f l
f
l
z z ),(grad ∂∂∴∂==ϕ值及其求法：
重积分及其应用：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰====
=
=
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+==='
x D
y D
x D
D
y D
x D
D D
f F d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M
x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 22D
2
2
),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和
⎰⎰⎰Ω
f (
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P zx
yz
xy
D D D )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正
号；，取曲面的上侧时取正
，其中：
对坐标的曲面积分：高斯公式：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα
12++x x 级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展
开成幂级数：
欧拉公式： 三角级数：
傅立叶级数：
周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念：
，
代替分离变量，积分后将，，设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u y du dx u du u du x u dy y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y =∴=++====+====+='⎰⎰)(),(),()()()()()()(0
),(),(),(ϕϕ一阶线性微
五类基本初等函数及图形
----------------------------------- (1)?幂函数----------------------------------
μ
x y =，μ是常数；
----------------------------------- (2)?指数函数 ----------------------------------
x
a y =?(a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；
----------------------------------- (3) 对数函数 ---------------------------------- ?
x y a log =(a
是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；
----------------------------------- (4) 三角函数 ---------------------------------- ?正弦 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y 余弦? x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y 正切 x y tan =,
2π
π+
≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y 余切 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y
----------------------------------- (5) 反三角函数 ----------------------------------
反正弦
x y arcsin =,
1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的
图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。

且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；
2. 当u 为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数。

3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），
n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。

函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于
y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原
点对称.
4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一
切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数. 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单
调减.
2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.
1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)
2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域
反余弦 x y arccos =,
]1,1[-∈x , ],0[π∈y ,
]1,1[-∈x ,
反正切 x y arctan =,),(+∞-∞∈x ,
)
2,2(π
π-
∈y 反余切 x y cot arc =,),(+∞-∞∈x ,),0(π∈y。