同底数幂的乘法-七年级数学下册课件(北师大版)

周长＝2(长＋宽)＝2×(4.2×104＋2×104) ＝1.24×105(cm)．
综上可得长方形的面积为8.4×108cm2， 周长为1.24×105cm.
8 已知2x＝5，2y＝7，2z＝35.试说明：x＋y＝z.
解：因为2x＝5，2y＝7，2z＝35， 所以2x·2y＝5×7＝35＝2z. 又因为2x ·2y＝2x＋y，所以2x＋y＝2z.
所以x＋y＝z.
请分析以下解答过程是否正确，如不正确，请写出 正确的解答过程．
计算：(1) x • x3；(2)(－x)2 • (－x)4；(3) x4 • x3 . 解：(1) x • x 3＝x0＋3＝x 3 . (2)(－x)2 • (－x)4＝(－x)6＝－x6 . (3) x4 • x 3＝x43＝x12 .
所以比邻星与地球的距离约为3.798×1016 m.
3 若a m＝2，a n＝8，则a m＋n＝___1__6___.
4 计算(a＋b)3·(a＋b)2m·(a＋b)n 的结果为( B )
A．(a＋b)6m＋n
B．(a＋b)2m＋n＋3
C．(a＋b)2mn＋3
D．(a＋b)6mn
5 x 3m＋3可以写成( D )
2 下列各式中是同底数幂的是( C ) A．23与32
B．a 3与(－a)3 C．(m－n)5与(m－n)6 D．(a－b)2与(b－a)3
3 计算a ·a 2的结果是( D )
A．a
B．a 2
C．2a 2
D．a 3
4 化简(－x )3(－x )2，结果正确的是( D )
A．－x 6
B．x 6
C．x 5
A．a 4＋a 2
B．a 2＋a 2＋a 2
C．a 2·a 3
D．a 2·a 2·a 2
8 若a ·a 3·a m＝a 8，则m＝____4____.
9 用幂的形式表示结果：(x－y )2·(y－x )3＝ __－__(x__－__y__)5_(_或__(_y_－__x__)_5_)_．
10 按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，
即：a m·a n·a p＝a m＋n＋p (m，n，p 都是正整数)．
(2)同底数幂的乘法法则可逆用，即a m＋n＝a m·a n(m，n
都是正整数)．
(3)底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式；在
幂的运算中常用到下面两种变形：
①(－a)n＝
a n (n 为偶数) －a n(n 为奇数)
②(a－b)n＝
易错点：对法则理解不透导致错误
解：(1)(2)(3)的解答过程均不正确，正确的解答过程 如下：
(1)x •x 3＝x 1＋3＝x 4. (2)(－x )2•(－x )4＝(－x )2＋4＝(－x )6＝x 6. (3)x 4•x 3＝x 4＋3＝x 7.
1 某市2016年底机动车的数量是2×106辆，
2017年新增3×105辆，用科学记数法表示该市
2017年底机动车的数量是( C )
A．2.3×105辆
B．3.2×105辆
C．2.3×106辆
D．3.2×106辆
2 计算：
(1)x •(－x )2•(－x )2n＋1－x 2n＋2•x 2(n 为正整数)； (2)(y－x )2(x－y )＋(x－y )3＋2(x－y )2(y－x )．
＝－(－2)n＋1＋(－2)n＋1＝0，
故2M (n)与M (n＋1)互为相反数．
7 阅读材料： 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017＋22 018的值．
解：设S＝ 1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017＋22 018 ①，
将等式两边同时乘2，
得2S＝ 2＋22＋23＋24＋…＋22 018＋22 019 ②， ②－①，得2S－S＝22 019－1，即S＝22 019－1，
(-3)7×(-3)6；(2)
( 1 )3 111
1; 111
(3) –x 3 • x 5；
(4) b 2m • b 2m+1
解：(1) (-3)7×(-3)6 = (-3)7+6 = (-3)13;
(2)
(
1 111
)3
1 111
( 1 )31 111
( 1 )4; 111
(3) –x 3 • x 5= -x 3+5 = -x 8 ;
例4 已知a m＝2，a n＝5，求a m＋n 的值． 导引：分将同底数幂的乘法法则逆用，可求出a m＋n 的值． 解：a m＋n＝a m·a n＝2×5＝10.
总结
当幂的指数是和的形式时，可逆向运用同底数幂 的乘法法则，将幂指数和转化为同底数幂相乘，然后 把幂作为一个整体代入变形后的幂的运算式中求解．
28，213，…，若x，y，z 表示这列数中的连续 三个数，猜想x，y，z 满足的关系式是 __x_y_＝__z__．
知识点 2 同底数幂的乘法法则的应用
同底数幂的乘法法则既可以正用，也
可以逆用. 当其逆用时a m+n =a m • a n .
(1)同底数幂的乘法法则对于三个同底数幂相乘同样适用．
6 已知M (2)＝(－2) (－2)，M(3)＝(－2) (－2) (－2)，， M (n)＝(－2) (－2) (－2)(n为正整数)．
n个－2相乘
(1)计算：M (5)＋M (6)； (2)求2M (2 017)＋M (2 018)的值； (3)试说明2M (n)与M (n＋1)互为相反数．
(b－a)n(n 为偶数) －(b－a)n(n 为奇数)
例3 光在真空中的速度约为3×108 m/s，太阳光照射 到地球上大约需要 5×102s．地球距离太阳大约 有多远？
解：3×108×5×102 =15×1010 = 1.5×1011(m). 地球距离太阳大约有1.5×1011m.
总结
用科学记数法表示两个数相乘时，常把10n 看作底数 相同的幂参与运算，而把其他部分看作常数参与运算， 然后把两者再相乘或直接表示为科学记数法的形式．
1 一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5 ×102s 可做多少次运算?
解：4×109×5×102＝4×5×109×102 ＝20×1011 ＝2×1012(次)，
所以它工作5×102 s 可做2×1012次运算．
2 解决本节课一开始比邻星到地球的距离问题.
解：3×108×3×107×4.22＝37.98×1015 ＝3.798×1016 (m)，
得2M＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋210＋211 ②， ②－①，得2M－M＝211－1，即M＝211－1，
(m + n)个 a
=a m+n
同底数幂的乘法公式：
a m · a n =a m+n (m、n 都是正整数)
同底数幂相乘， 底数 不变 ，指数 相加 . 运算形式（同底、乘法）， 运算方法（底不变、指相加）
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一
性质呢？ 怎样用公式表示？
a m·a n·a p
3×108×3×107×4.22 =37.98×(108×107). 108×107等于多少呢？
归纳
如果m，n 都是正整数，那么a m • a n 等于什么？为什么? a m • a n = (a • a • … • a) • (a • a • … • a)
m个a
=a • a • … • a
n 个a
1.1同底数幂 的乘法
知识回顾
1. 乘方：求几个相同因数的积的运算. 2. 幂：乘方的结果.
a• •a an
n个a
底数
指数
a n 的 次幂.
知识点 1 同底数幂的乘法法则
光在真空中的速度大约是3×108 m/s. 太阳系以外距离 地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约 需要4.22年. 一年以3×107s计算，比邻星与地球的距离约为多少？
A．3x m＋1
B．x 3m＋x 3
C．x 3·x m＋1
D．x 3m·x 3
6 计算(－2)2 019＋(－2)2 018的结果是( A )
A．－22 018
B．22 018
C．－22 019
D．22 019
7 一个长方形的长是4.2×104cm，宽是2×104cm， 求此长方形的面积及周长．
解：面积＝长×宽＝4.2×104×2×104 ＝8.4×108(cm2)．
数相加，底数仍为原多项式；注意：(x＋3)9≠x 9＋39.
1 计算： (1)52×57；
(3) －x 2 •x 3；
(2)7×73×72；
(4)(－c )3 •(－c )m .
解：(1)52×57＝52＋7＝59. (2)7×73×72＝71＋3＋2＝76.
(3)－x 2·x 3＝－x 2＋3＝－x 5. (4)(－c )3·(－c )m＝(－c )3＋m.
解：(1)x •(－x )2•(－x )2n＋1－x 2n＋2•x 2 ＝－x 2n＋4－x 2n＋4＝－2x 2n＋4.
(2)(y－x )2(x－y )＋(x－y )3＋2(x－y )2(y－x ) ＝(x－y )3＋(x－y )3－2(x－y )3＝0.
3 (1) 已知a3 • am • a2m＋1＝a25，求m的值； (2) 若( x＋y)m • ( y＋x)n＝( x＋y)5，且( x－y)m＋5 • ( x－y)5－n＝( x－y)9，求mnnn的值．
或 a m·a n·a p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=(a m· a n ) · a p
=(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)(a·a· … ·a)
=a m+n· a p =a m+n+p
m 个a =a m+n+p
n 个a
p 个a
a m·a n·a p = a m+n+p （m，n，p 都是正整数）
例1 计算：
(1)
再利用同底数幂的乘法法则进行计算．
解：(1)(x－y )2·(x－y )·(x－y )5＝(x－y )2＋1＋5＝(x－y )8； (2)(a＋b)2·(a＋b)5＝(a＋b)2＋5＝(a＋b)7； (3)(x＋3)3·(x＋3)5·(x＋3)＝(x＋3)3＋5＋1＝(x＋3)9.
总结
底数为多项式的同底数幂相乘时，把底数看作一 个整体，按照同底数幂的乘法法则进行计算，只把指
D．－x 5
5 计算(－y 2)·y 3的结果是( B )
A．y 5
B．－y 5
C．Y 6
D．－y 6
6 下列各式能用同底数幂的乘法法则进行计算的是
(B)
A．(x＋y )2·(x－y )3
B．(－x－y )·(x＋y )2
C．(x＋y )2＋(x＋y )3
D．－(x－y )2·(－x－y )3
7 下列算式中，结果等于a 6的是( D )
解：(1) 因为a3 • am • a2m＋1＝a25 . 所以a ＝a 3＋m＋2m＋1 25 . 所以3＋m＋2m＋1＝25. 所以m＝7.
(2) 因为( x＋y)m ( y＋x)n＝( x＋y)5， ( x－y)m＋5 ( x－y)5－n＝( x－y)9， 所以m＋n＝5，m＋5＋5－n＝9. 解得m＝2，n＝3. 所以mnnn＝23 33＝216.
4 已知 a x＝5，a x＋y＝25，求a x＋a y的值．
解： 因为a x＋y＝25，所以a x a y＝25. 又因为a x＝5，所以a y＝5. 所以a x＋a y＝10.
5 已知xm－n • x2n＋1＝x11，ym－1 • y5－n＝y6， 求mn2的值．
解： 由题意得m－n＋2n＋1＝11， m－1＋5－n＝6， 解得m＝6，n＝4， 所以mn2＝6 42＝96.
解：(1)M (5)＋M (6)＝(－2)5＋(－2)6＝－32＋64＝32. (2)2M (2 017)＋M (2 018)＝2×(－2)2 017＋(－2)2 018
＝－(－2)×(－2)2 017＋(－2)2 018＝－(－2)2 018＋ (－2)2 018＝0.
(3)2M (n)＋M (n＋1)＝－(－2)×(－2)n＋(－2)n＋1
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017＋22 018 ＝ 22 019－1. 请你仿照此法计算： (1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n (其中n 为正整数)．
解： (1)设M＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210 ①，
将等式两边同时乘2，
(4) b 2m • b 2m+1 = b 2m+2m+1 = b 4m+1.
例2 计算：(1)(x－y )2 • (x－y ) • (x－y )5； (2)(a＋b)2 • (a＋b)5； (3)(x＋3)3 • (x＋3)5 • (x＋3)．
导引：分别将x－y，a＋b，x＋3看作一个整体，然后