第30讲-简单的不定方程

第30讲 简单的不定方程
算术给予我们一个用之不尽的、充满有趣真理的宝
库，这些真理不是孤立的，而是以相互最密切的关系并
立着，而且随着科学的每一成功的进展，我们不断地发
展这些真理之间的新的、完全以外的接触点。

——高斯 知识方法扫描
当未知数的个数多于方程的个数时，这个方程或方程组就叫做不定方程或不定方程组。

一般来说，不定方程（组）有无数解，但是在一个具体的问题中，它的符合题目条件的解（例如非负整数解）往往是有限的。

利用初中数学的知识，我们可以求出某些不定方程的解来。

对于二次不定方程，常通过因式分解和质因数分解转化为方程组来求解。

对于某些不定方程，特别是某些分式不定方程，可以从分析未知数的取值范围入手，利用不等式的性质来确定未知数的值。

经典例题解析
例1．（第十届“缙云杯”初中数学邀请赛初赛试题）现将若干个零件放入至10个盒子内, 要求每个盒子装的零件个数相同, 如果每盒装12个, 结果剩下一个零件未装；如果再增加3个盒子, 所有的零件恰好分装在各个盒子内. 问原有多少个盒子？多少个零件？
解 设原有x 个盒子, y 个零件, 增加3个盒子后, 每个盒子装a 个零件, 根据题意, 得
⎩⎨⎧+=+=)3(,112x a y x y 消去y, 得：(a －12)x ＝1－3a.
显然a ≠12, 这是因为若a ＝12, 则①、②矛盾.
所以 x ＝1231--a a ， 即 x ＝31235--a
由于a, x 都是正整数, 因此a 只能为11, 7, 5, 此时x 分别为32, 4, 2. 但x ≥10, 则只取a ＝11, x ＝32.
于是可得 y ＝12x ＋1＝385.
答：原有32个盒子, 385个零件.
例2．（2007年山东省初中数学竞赛试题）某校一间宿舍里有若干名学生，
① ②
其中一人任舍长，元旦时，该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠给舍长一张贺卡，用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？
解 设这间宿舍里共有x 名学生，宿舍楼共有y 名管理员（x ，y 是正整数）依题意有
x(x-1)+xy+y=51
2511
x x y x -++=+, 4921y x x =-+++ 因为y 1，±7，±49：
因为x, y 6名学生。

例3．（第18届“迎春杯”数学竞赛试题） 在3和5之间插入6、30、20这三个正整数, 得到3、6、30、20、5这样一串数. 其中每相邻两个数的和可以整除它们的积(例如, 3+6＝9, 9可以整数3×6；再如, 6+30＝36, 36可以整除6×30).
请你在4与3这两个数之间的三个括号中各填一个正整数, 使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积.
4, ( ), ( ), ( ), 3
解：设4, (x),(y),(z), 3.依题意, 我们有4x=n(4+x)(其中n 为正整数).
解出44n x n
=-(其中4－n 是正整数),经检验, 当n=2时，x=4；当n=3时, x=12. 类似地, 我们有3z=m(3+z)(其中m 是正整数),
解出 33m z m
=-(其中3-m 是正整数), 经检验, 仅当m=2时,z=6 于是可以得出4,4,(y),6,3或4, 12, (y), 6, 3.
同理可以得出三组解：(4, 4, 12, 6, 3)或(4, 12, 12, 6, 3)或(4, 12, 6, 6, 3).
例4．（1997年湖北荆州市初中数学竞赛试题）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地, 选用边长为x 厘米规格的地砖, 恰需n 块；若选用边长为y 厘米规格的地砖, 则要比前一种刚好多有124块, 已知x, y, n 都是整数, 且x, y 互质, 试问这块地有多少平方米？
解 设这块地的面积为S, 则
S ＝nx 2＝(n ＋124)y 2
即 n (x 2－y 2)＝124y 2
因为x, y, z, n 都是自然数, 所以x ＞y, 且124y 2被x 2－y 2整除.
又x, y 互质, 则x 2, y 2互质, 从而x 2－y 2, y 2互质. 故124被(x 2－y 2)整除. 由于124＝22×31, x 2－y 2＝(x －y) (x ＋y), 注意到xI ＋y 与x －y 具有相同的
奇偶性, 且x ＋y ＞x －y ＞0. 因此 ⎩
⎨⎧=-⨯=+⎩⎨⎧=-=+.231231y x y x y x y x 或 因为x, y 互质, 所以x ＝16, y ＝15.
于是 900124222=-=y x y n 所以 S ＝)(04.23)(230400169002222m cm nx ==⨯=
答：这块地有23.04m 2
例5．（1990年第1届“希望杯”全国初中数学邀请赛试题）求方程 6
5111=++z y x 的正整数解.
解 由已知的方程可知x 、y 、z 都为大于1的整数, 不妨设1＜x ≤y ≤z, 则 x 1≥y
1≥z 1。

∵z
y x x 1111++<≤x 3，∴651<x ≤x 3。

解之x <56≤5
18, 可确定x ＝2、3。

当x ＝2时, 可确定y ＝4、5、6；
当x ＝3时, 可确定y ＝3、4.
综上, 又可确定z ＝12、6、6、4.
因此, 当1＜x ≤y ≤z 时, 解(x 、y 、z)共有(2、4、12), （2、6、6）, （3、3、
6）, （3、4、4）四组, 而实质上x 、y 、z 在方程中地位是平等的, 所以原方程的解共15组：
例6．（1992年全国初中数学联赛吉林省预赛试题）设正整数a,b,c 都不等于1,且任何两个都不相等，c 是其中最大的数，求满足关系式2abc=2a+5b+10c 的a,b,c 的值。

解 由2abc ＝2a ＋5b ＋10c, ①
2＝ab
ac bc 1052++. (1)假设a ＜b ＜c, 则有
2＜
2221052a
a a ++ ② 所以 a 2＜2
17＝8.5 因为a 是正整数, 且a ≠1, 所以a ＝2.于是①式变为4bc ＝4＋5b ＋10c.即
(2b －5) (4c －5)＝33. ③
由于b ＜c, 可知满足③式的b, c 不存在.
（2）假设b ＜a ＜c, 同样可得b ＝2.于是①式变为4ac ＝2a ＋10＋10c, 即 (2b －5) (2c －1)＝15.
满足③式, 且适合a ＜c 的为a ＝3, b ＝8.
所以所求a, b, c 的值为a ＝3, b ＝2, c ＝8.
例7．（1997年陕西省初中数学联赛试题）已知两个自然数的积与和之差恰等于它们的最大公约数与最小公倍数之和. 求这样的自然数.
解 设所求自然数为x 和y, 并设m 为它们的最大公约数, 可令x ＝ma, y ＝mb, 其中m, a, b 互质, 则它们的最小公倍数必为mab. 于是根据题意, 得 ma·mb －(ma ＋mb)＝m ＋mab.
化简得 (m －1)ab ＝1＋a ＋b (*)
即有 m －1＝b
a a
b 111++≤3, 故 1＜m≤4. 可见m 可取2, 3, 4.
(1)当m ＝2时（*）化为ab －a －b ＝1, 即 (a －1) (b －1)＝2.
所以 ⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧==2332b a b a 或 故此时所求自然数为4和6.
(2)当m ＝3时, （*）化为 2ab －a －b ＝1, 即 (2a －1) (2b －1)＝3.
所以 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.
1221b a b a 或 故此时所求自然数为3和6.
(3)当m ＝4时, （*）化为 3ab －a －b ＝1. 即 (3a －1) (3b －1)＝4.
所以 ⎩⎨⎧==.
1,1b a 故此时所求自然数为4和4.
在综上所述，所求两个自然数为4、6；3、6或4、4.
例8．(1997年黄冈市初中数学竞赛试题) 试求满足方程 2x +3y =z 2的非负整数解
解 若y=0，则2x =(z-1)(z+1)。

当z-1=2时，z=3, z+1=4,x=3.得一组解(x,y,z)=(3,0,3).
若y>0，①设x=2a+1（a≥0为整数）, 则3y =z 2-22a+1,
因z 2≡0或1(mod 3), 22a+1≡4a •2≡1a •2≡2(mod 3), 则z 2-22a+1≡1或2(mod 3),对应的不
是非负整数
②设x=2a （a≥0为整数），3y =(z-2a ) (z+2a )，则z-2a =1, z+2a =3y . 所以，3y =2a+1+1 因此，当a=0时，(x,y,z)=(0,1,2);
当a≥1时，2a+1≡0(mod 4), 3y ≡1或3(mod 4)
设y=2b （b≥1为整数）, 2a+1=32b -1=(3b +1)(3b -1), 则3b +1=4, 3b -1=2, 因此b=1,y=2. (x,y,z)=(4,2,5).
综上，方程非负整数解为(x,y,z)= (3,0,3)，(0,1,2)及 (4,2,5)。

同步训练
一 选择题
1．(2004年全国数学竞赛天津地区初赛试题) 方程
01
3=-++y x x 的整数解有（ ）
(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组
2．(1996年黄冈市初中数学竞赛试题)方程
7111=+y x 的正整数解的组数有（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
3．(2004年全国数学联赛江西赛区加试试题)方程z y x z y x ++=++222的整数解有（ ）
(A) 1组 (B) 3组 (C) 6组 (D) 无穷多组
4．（2004年第二届“创新杯”数学邀请赛试题）使273n n ++是自然数的正整数n 的个数是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．(2007年数学周报杯全国初中数学竞赛试题)方程 x 3+6x 2+5x=y 3-y+2 的整数解( x , y ) 的个数是( ) .
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 无穷多
二 、填空题
6．（2007年全国初中数学联赛四川初赛试题）方程2x 2+5xy+2y 2=2007的所有不同的整数解共有________组
7．（2004年第2届创新杯数学邀请赛试题）选取四个正整数a, b, c 和d
(a<b<c<d), 使得
d
c b a 1111+++是一个整数, 那么共有________种选取方式. 8．（2007年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题）使得
(1)22p p ++是完全平方数的所有质数p 为 .
9．（第十二届“五羊杯”）方程4x 2－2xy －12x ＋5y ＋11＝0有 组正整数解.
10．(1990年安徽合肥市初中数学竞赛) 满足(a ＋b)2＝a 3＋b 3, 且a ＞b 的正整数a, b 的值为a ＝ , b ＝ .
三 解答题
11．（第十届“汉江杯”初中数学基础知识竞赛试题）一队旅客乘坐汽车, 要求每辆汽车的乘客人数相等. 起初每辆车乘坐22人, 结果剩下1人未上车. 如果有一辆汽车空车开走, 那么, 所有的旅车正好能平均分配到其他各车上. 已知每辆汽车最多只能容纳32人. 求起初有多少辆汽车？有多少旅客？
12．（2007年太原市初中数学竞赛试题）当x≤y≤z 时,求方程 11178x y z ++=的正整数解。

13．（1985年北京地区少年数理竞赛数学试题）设为a,b 满足不等式a>b>2的整数，而2a+2b+ab-1能被2ab 整除。

（1）试证(2a-1)(2b-1)(ab-1)也能被2ab 整除；
（2）求所有的a,b.
14．(1997年天津市初中数学竞赛)象棋比赛共有奇数个选手参加, 每位选手都同其他选手比赛一盘, 记分办法是胜一盘得1分, 和一盘各得0.5分, 负一盘得0分. 已知其中两名选手共得8分, 其他人的平均分为整数. 求参加此次比赛的选手共有多少人.
15. （1996年全国初中数学联赛试题）某校在向“希望工程”捐款活动中, 甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等, 都是(m ·n ＋9m ＋11n ＋145)元. 已知每人的捐款数相同, 且都是整数元, 求每人的捐款数.
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