2022年1月1日迎春杯数学竞赛决赛小高组真题及解析

小学高年级组决赛试卷C
一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）
1. 算式+⨯÷−⨯20 4.5 4.522 4.5 4.5)()( 的计算结果是__________．〖答案〗23
〖解析〗
+⨯÷−⨯=⨯+⨯÷⨯−⨯=÷=20 4.5 4.522 4.5 4.52049922499161723)()()()(
2. 右图中，有一个以AB 为直径的半圆，和一个以C 为圆心的扇形．如果AB 长20厘米，那么整个图形的面积是__________平方厘米．（π取
3.14） 〖答案〗214
〖解析〗
S ＝S 半圆＋S 扇形－S △ABC ＝π×10²÷2＋π×(20²÷2)÷4－20²÷4 ＝50π＋50π－100＝100π－100≈214 (平方厘米)
3. 在2021年8月8日闭幕的东京奥运会上，中国获金、银、铜牌共88枚．其中金牌、铜牌枚
数和比银牌枚数多75%，金牌枚数是银牌、铜牌枚数和的76%．那么，中国在这届奥运会上共获铜牌__________枚． 〖答案〗18 〖解析〗
银牌枚数＝88÷(1+75%+1)＝32；金牌枚数＝88÷(1+76%)×76%＝38； ∴ 铜牌枚数＝88－32－38＝18
4. 如图，乘法算式中已经填出了“2022”和“9”，那么算式的乘积是
__________． 〖答案〗87957 〖解析〗
2022＝2×3×337，故竖式中做加法时的两个三位数只能选自337或674． 337或674中最大数字为7，从而做加法时十位向百位不进位．
再看做加法时的百位，□＋2＋□＝9，两个方块对应337或674中的个位或百位，只有337的百位3与674的个位4满足．从而第一个乘数为337，第2个乘数为261，337×261＝87957
二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）
5.甲,乙,丙,丁,戊五人在参加数学测评前，预测如下：
甲说：“如果戊进了前三名，那我就能得第二．”
乙说：“如果甲得了第二，那我就能得第一．”
丙说：“第一名肯定是我．”
丁说：“估计戊的名次高于我．”
戊说：“我想这次测评应能如期进行．”
结果这五人恰好获得了这次测评的前五名（无并列），且他们的预测全都正确．如果甲,乙,丙,丁,戊获得的名次依次是A,B,C,D,E，那么五位数ABCDE是__________．
〖答案〗32154
〖解析〗
据丙所说知丙第1，结合乙所说知甲不是第2，再结合甲所说知戊没进了前三，从而戊得第4或第5，又据丁所说知戊第4且丁第5．甲不是第2，那甲只能是第3，余下乙只能为第2．
∴五位数ABCDE＝32154．
6.将0～9分别填入到右图的10个圆圈中，使得各条直线上圆圈中所填
数的和都相等．现已将1填入，那么圆圈A、B、C、D中所填数字依次组成的四位数是__________．
〖答案〗2480
〖解析〗
共6条直线，除了F只在1条直线上，其余圆圈都恰好在2条直线上．设每条直线上圆圈中所填数的和为S，则6S＝(0+1+2+…+9)×2－F．
由6|F得F为0或6．若F＝0，则S＝15，E＝14，矛盾！
∴F＝6，从而S＝14，E＝7．
若9在A~D中，则14＝9+5＝9+0+2+3，而C≥14-1-9＝4，只能C＝9，从而I＝4，H≤14-7-2＝5，8只能在G，D＝14-8-4＝2，余下5在H，B ＝14-7-5＝2，矛盾！
∴9不在A~D中，G＝9或I＝9．
若I＝9，8不能与7或9同直线，只能A＝8，从而B+D＝14-8-4＝2＝2+0，B＝2，D＝0，得H＝14-7-2＝5，G＝14-9-0＝5，矛盾！I≠9
∴G＝9．8不能与7或9同直线，只能C＝8．
从而I＝14-1-8＝5，D＝14-9-5＝0，A＝45-14×2-6-9-0＝2，
B＝14-2-8-0＝4，H＝14-7-4＝3，如右图．
∴圆圈A、B、C、D中所填数字依次组成的四位数是2480．
7. 圣诞老人的袋子里有一百多块糖．有10个小朋友排着队等待圣诞老人依次发糖．圣诞老人
给每个小朋友发糖之前都会问：“你猜我现在袋子里糖的块数是质数还是合数？如果猜对了就给你3块糖，如果猜错了就只能给1块糖咯！”结果10个小朋友全都猜“是合数”，那么这10个小朋友得到的糖果块数总和至少是__________． 〖答案〗26 〖解析〗
假设开始时袋子里糖数为N ，
如果N 是3的倍数，那么10个人都猜对了． 如果N 除以3余1，那么有1个小朋友猜错后，糖数就会变为3的倍数，剩余的小朋友都能猜对． 如果N 除以3余2，那么有2个小朋友猜错后，糖数就会变为3的倍数，剩余的小朋友都能猜对． ∴ 10个小朋友中最多只有2个人猜错了，至少得到⨯+⨯=218326块糖． 下面举例说明存在2个小朋友猜错的情况： 比如N ＝140，那么①140√，②137×，③136√，④133√，⑤130√，⑥127×，⑦126√，从第7个小朋友开始，糖数均为3的倍数，都能猜对． ∴ 综上所述，本题答案为26．
8. 2022除了自身以外，最大的3个约数分别是1011、674、337，这三个数之和恰好是2022本
身；那么像2022这样，除了自身以外最大3个约数之和等于自身的数，叫做“和谐数”．那么，小于2022的“和谐数”共有__________个． 〖答案〗134 〖解析〗
设N 除了自身以外，最大的三个约数是A ＞B ＞C ，
那么D ＝N ÷A 、E ＝N ÷B 、F ＝N ÷C 全是N 的约数，且D ＜E ＜F ．
由A ＋B ＋C ＝N ，有++=N N N A B C 1即++=D E F
1111
，有唯一解：D ＝2、E ＝3、F ＝6．
∴ N 是“和谐数” 即 2|N 且3|N 但N 不能是4的倍数或5的倍数
1~2021中6的倍数有⎣⎦⎢⎥⎡⎤62021＝336个；其中，4的倍数有⎣⎦⎢⎥⎡⎤122021＝168个，5的倍数有⎣⎦
⎢⎥⎡⎤
302021＝
67个，既是4的倍数又是5的倍数有⎣⎦
⎢⎥⎡⎤
602021＝33个．
∴ 小于2022的“和谐数”共有336－168－67＋33＝134个．
A
B C D E
三．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）
9. A 、B 两地之间有四段山路，其中AC 段和DE 段路程相等，CD 段与EB 段路程相等．甲、
乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，两人上山速度相同，下山速度也相同，并且下山速度
均为上山速度的1.5倍．当甲到C 点时，乙已经
到E 点并向下走了180米；乙比甲早1分钟到达
D 点；甲比乙早10分钟到达C 点；那么A 、B 两地之间的路程为__________米． 〖答案〗1296 〖解析〗
AC 段比BE 段多180÷1.5＝120米；从而当乙到达D 时，甲差180－120＝60米到D ，则下山速度为60米/分，上山速度40米/分；当甲到C 时，乙在E 下行180米处（设为F 点），乙F →D →C 共用10分钟，FD 段比DC 段短60米，那么C →D →C 共用10＋60÷60＝11分钟，时间比为1:1.5＝2:3，从而C →D 用11÷(2+3)×2＝4.4分钟．∴ CD 段长60×4.4＝264米． ∴ A 、B 两地之间的路程为(264×2＋120)×2＝1296米．
10. 一个自然数共有18个因数，其中恰好有6个一位数，6个两位数，6个三位数；那么这个自
然数是__________． 〖答案〗972 〖解析〗
设这个自然数为M ，则M 必定为三位数．
18=2×3×3，故M 分解质因数后有3类可能：⨯⨯A B C 221、⨯A B 81、⨯A B 52，
（1）若=⨯⨯M A B C 221，由于因数中不存在3次方，故8不是M 的因数，2和3必定是M 的
因数．
如果A ＝2，B ＝3，此时M 已经有了6个一位因数（1、2、3、4、6、9）和3个两位因数（12、18、36）；如果要有6个两位因数，C 必须满足4C ≥100，而M 是个三位数，所以有36C <1000，因为不存在同时满足两个条件的质数，所以A ＝2，B ＝3不成立．
如果B ＝3，C ＝2，此时M 已有了5个一位因数（1、2、3、6、9）和一个两位因数（18）；如果要有6个一位因数，A 必须等于5或者7，此时两位因数已有7个（18、2A 、3A 、6A 、9A 、A ²、2A ²），矛盾！所以B ＝3，C ＝2不成立；
同理B ＝2，C ＝3也不成立．
（2）若=⨯M A B 81，为了确保M 是三位数，必定有A ＝2，B ＝3，容易发现此时M 有7个一位
因数（1、2、3、4、6、8、9），故此种情况不成立．
（3）若=⨯M A B 52，为了确保M 是三位数，只能A ＝2，B ＝3或A ＝3，B ＝2．
当A ＝2，B ＝3时M 有7个一位因数（1、2、3、4、6、8、9），矛盾！
当A ＝3，B ＝2时M ＝972恰好有6个一位因数（1、2、3、4、6、9），6个两位因数（12、18、27、36、54、81），6个三位因数（108、162、243、324、486、972） ∴ 综上所述，M ＝972．
11. 5对兄弟，分成5组，每组2人，要求每人都不与自己的兄弟同组，共有__________种不同
的分组方式． 〖答案〗544
〖解析〗
设这5对兄弟分别是A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2,D 1,D 2,E 1,E 2，用“B →E →C →…→B ”来表示B 组中的哥哥与E 组中的某人同组，E 组中的另一人与C 组中的某人同组，…，最后必然有人与B 组的弟弟同组，形成循环．
形成循环的关系只有右图中的2种．
（1）若5对兄弟形成5边形的循环：⨯=A 238444
4
（2）若3对兄弟形成3边形的循环和另2对兄弟的循环：
⨯⨯⨯⨯=C A A 2216052122211)
()(
∴ 综上所述，同的分组方式共有：384＋160＝544种． 〖注〗本题还可用容斥原理或递推方法解答．
12. （投票题）
四．填空题Ⅳ（每小题15分，共30分）
13. 如图，每个正六边形都有三个顶点在长方形ABCD 的边上；大正六边形的顶点O 恰为AB 中点，小正六边形的面积为60．
（1）
DE
CD
的值是__________．（6分） （2）长方形ABCD 的面积是__________．（9分） 〖答案〗（1）9 （2）315
〖解析〗（1）设大,小正六边形的边长分别为a ,b ，据右图的分割知：AO ＝1.5b ＋0.5a ，BO ＝1.5a ，由AO ＝BO 得a ＝1.5b ． CD ＝AB ＝1.5a ×2＝3a ＝4.5b ，DE ＝0.5b ． ∴ CD ÷DE ＝4.5b ÷0.5b ＝9．
（2）设EF ＝c ，则OG ＝1.5c ，则
BC ＝OG ＋2c ＝1.5c ＋2c ＝3.5c ，
∴ 长方形面积为4.5b ×3.5c ＝15.75bc ． 而小正六边形的面积为b ×c ÷2×6＝3bc ．
∴ 小正六边形和长方形的面积比是3bc : 15.75bc ＝4 : 21 ∴ 长方形的面积是60÷4×21＝315．
14. 在右图5×5的表格中，微型机器人任选一小格为出发格，任选上、下、左、右中的一个方
向为出发方向，走到前方相邻的小格；新到小格编号若为奇数则往左拐，为偶数则往右拐，再走到前方相邻的小格；若前方走到了5×5表格外面或前方相邻小
格已经到过则停止．如选择编号为17的小格出发向右，则只能如图
17→18(右拐)→23(左拐)→24(右拐,出界,停止)．
（1）如果每个小格编号如右图，那么微型机器人到过的小格（含出发格）编号总和的最大值为__________．（5分） （2）如果对图中25个小格任意编号为1~25，那么微型机器人到过的小格（含出发格）编号总和的最大值为__________．（10分）
〖答案〗（1）129 （2）304 〖解析〗
（1）任意相邻两格编号的奇偶性不同，从而微型机器人前进构成中，左拐、右拐相间，∴ 机器
人行进路线（或旋转翻转后）必为图中阶梯箭头状，最多能到9格．对角线上5数的和为
13×5＝65，另4数选10+14+18+22＝64最大，
9数和为65＋64＝129，如右图．而选7格时
最大为64＋15＋19＋23＝121＜129．
∴ 小格编号如右图时，微型机器人到过的小格编号总和的最大值为129．
（2）如图，对5×5的表格中每个小格标上1、2、3、4中的1个，微型机器人连续经过的4个
小格必是标有1、2、3、4的各1个；而标4的有4个，从而机器人至多经过4×4＋3
＝19格，1~25中最大的19个不同数的和是：
7+8+9+…+25＝304．而右图中机器人依次
经过标有25,24,23,…,7的小格．
∴ 综上所述，对小格任意编号为1~25时，机器人到过的小格编号总和的最大值为304．。