高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
12＋12＋－12＝ 3，
22
22
12＋02＋12＝ 5， 22
→→
1
∴cos〈E→F，C→G〉＝
EF·CG →→
＝
|EF||CG|
4 3×
＝
15 .
5 15
22
(3)|C→E|＝
02＋－1
2＋12 2
＝
5 2.
• [点评] 从上述解法来看，向量的坐标及运算为解决线段长度 及两线垂直方面的问题提供了有力的、方便的工具，以后遇 到几何体中的夹角、距离、垂直、平行问题时，要善于将其 转化为向量间的夹角、模、垂直、平－O→C＝(2，32， 3)－
(34， 1,2)＝ (54，12， 1)，
A→B ＝O→B－O→A＝ (1, 0,5)－(3,3, 1)＝ (－ 2，－ 3, 4)，
∴C→D·A→B ＝(54，12， 1)·(－ 2，－ 3,4)
＝5× 4
(－ 2)＋12×(－ 3)＋ 1× 4
变式训练
如图 2，直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点．
(1)求B→N的长； (2)求 cos〈B→A1，C→B1〉的值．
图2
解：以 C 为原点，以C→A、C→B、C→C1为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 C－xyz.
解：设 x＝(x，y，z)，
由三个条件知xx－2＋2yy2＋＋4zz2＝＝0100， x＝0
∴xy＝＝40 5 z＝2 5
或xy＝＝－0 4 5 z＝－2 5
∴x＝(0,4 5，2 5)或(0，－4 5，－2 5)．
类型二 坐标形式下的平行与垂直
•[例2] (1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x、 y的值． •(2)已知：a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，求x＋ y的值．
•[分析] (1)∵a∥b，∴a＝λb，λ一定存在，故可设λ.
•(2)a⊥b，∴a·b＝0，再加上条件|a|＝6，可求x、y的值．
[解] ∵a∥b，∴a＝λb.
2＝3λ， 即4＝ λx，
5＝ λy.
λ＝23， ∴x＝6，
y＝125.
(2)∵a⊥b 且|a|＝6， 即 2×222＋＋442＋y＋x22＝x＝6. 0， ∴yx＝＝－4，3 或xy＝＝1－. 4， ∴x＋y＝1 或－3. [点评] 利用向量平行与垂直的条件来确定向量 坐标也是向量平行与垂直题目中重要的一部分．
图5
∴O(0,0,0)，S(0,0，22)，C(－ 23，23，0)，E( 43， － 43， 42)，B( 23， 23，0)，
(1)|CE|＝
－
3－ 2
432＋
3＋ 2
432＋0－
422
＝ 2176＋2176＋18＝ 214；
(2)B→E＝(－ 3，－3 3， 2)，S→C＝(－ 3， 3，－ 2)，
∴|B→A1|＝ 6，|C→B1|＝ 5.
→→
∴cos〈B→A1，C→B1〉＝
BA1·CB1 →→
＝
|BA1 ||CB1|
30 10 .
类型四 利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题
[例 4] 棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G 分别是 DD1、BD、BB1 的中点．
2 ∴A→A1的长为 2 2，
(2)由(1)可得B→N＝(－2，－2,2 2)，
A→D1＝(－4,0,2 2)，
→→
∴cos〈B→N，A→D1〉＝
BN·AD1 →→
＝
|BN||AD1|
6 3.
[点评]
求
B→N，
→ AD1
所
成
的
角
或求
异
面直
线
BN，AD1 所成的角，利用向量运算可以省去部分作
图和逻辑证明．
5．已知 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(34，1,2)， (1)求线段 AB 中点 D 的坐标； (2)证明：CD⊥AB，且|AC|＝|BC|.
解：(1)设 D(x，y，z)是 AB 的中点， 则O→D＝12(O→A＋O→B)＝12[(3,3,1)＋(1,0,5)] ＝ (2，32， 3)， ∴点 D 的坐标为(2，32，3)．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与 立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.5 空间向量运算的坐 标表示
学习目标
• 1.掌握空间向量的坐标运算． • 2．会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． • 3．掌握向量长度，两向量夹角和两点间距离公式.
新知导入
1．空间向量运算的坐标表示 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： (1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； (2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； (3)λa＝(λa1，λa2，λa3)；(λ∈R) (4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
• 解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定 理写成数乘的形式，即b≠0，a∥b⇔a＝λb，观察选项，只有C 符合．
• 答案：C
• 4．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四 边形的面积为________．
解析：∵a·b＝－4，|a|＝ 14，|b|＝ 14， ∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－27，∴sin〈a，b〉＝3 7 5， ∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝ 14× 14×375＝6 5. 答案：6 5
• [点评] 向量的坐标即终点坐标减去起点的对应坐标．反之求 点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点．在原点时 ，向量的坐标与原坐标相同．不在原点时，向量的坐标加上 起点坐标才是终点坐标．
变式训练
• 已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量 x：
• ①a·x＝0；②|x|＝10；③x与向量b＝(1,0,0)垂直．
• A．(1,7,5)
B．(1，－7,5)
• C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)
• 解析：利用数量积为零逐一验证可求得．
• 答案：C
3．与向量 a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标
是( )
A．(13，1,1)
B．(－1，－3,2)
C．(－12，32，－1) D．( 2，－3，－2 2)
图3
∴E→F＝(12，12，－12)，C→F＝(12，－12，0)， C→G＝(1,0，12)，C→E＝(0，－1，12)． (1)∵E→F·C→F＝12×12＋12×(－12)＋(－12)×0＝0， ∴E→F⊥C→F，即 EF⊥CF.
(2)∵E→F ·C→G＝12× 1＋12× 0＋ (－12)×12＝14，
(1)依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)． ∴|B→N|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝ 3.
(2)依题意，得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，
C(0,0,0)， B1(0,1,2)．
∴B→A1 ＝ (1，－ 1,2)，C→B1 ＝ (0,1,2)，
∴B→A1 ·C→B1＝ 3.
提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标 运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐 标一致．
预习自测
1．已知 A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若O→C＝25A→B，
则点 C 的坐标是( )
A．(－65，－45，－85)
B．(65，－45，－85)
C．(－65，－45，85)
D．(65，45，85)
解析：∵A→B＝(－3，－2，－4)， ∴25A→B＝(－65，－45，－85)． 设 C 点坐标为(x，y，z)， 则O→C＝(x，y，z)＝25A→B＝(－65，－45，－85)． 故选 A.
答案：A
• 2．与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为( )
4
44
22
2
→→
∴cos〈B→E，S→C〉＝
BE·SC →→
|BE|·|SC|
＝
3－9－1 884
＝ －1 ＝－1；
136＋2176＋18·
3＋3＋2 444
2· 2
2
∴异面直线 BE 与 SC 所成的角为 60°.
(3)∵ OG⊥SC，∴ OC2＝ CG·SC，
(5)a∥ b⇔ a＝ λb⇔ a1＝ λb1， a2＝ λb2， a3＝ λb3； (λ∈R)
(6)a⊥ b⇔ a·b＝ 0⇔ a1b1＋ a2b2＋ a3b3＝ 0； (7)|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
(8)cos〈 a， b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋ a2b2＋ a3b3 a21＋ a22＋ a32·b21＋ b22＋
类型三 坐标形式下的夹角与距离
[例 3] 在长方体 AC1 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，A1C1 与 B1D1 交于 N，BC1 与 B1C 交于点 M，且A→M⊥B→N，建立空间直角坐标系．
(1)求A→A1的长； (2)求 cos〈B→N，A→D1〉． [分析] 关键是建立合适的直角坐标系，先求出 A→A1的长，然后运用夹角公式求解．
变式训练
如图 4 所示，正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长为 2， 底面边长为 3，E 是 SA 的中点，O 为底面 ABCD 的中 心．
(1)求 CE 的长； (2)求异面直线 BE 与 SC 所成的角； (3)若 OG⊥SC，垂足为 G，求证 OG⊥BE.
图4
解：建立空间直角坐标系如图 5 所示， ∵正四棱锥的侧棱长为 2，底面边长为 3， ∵OS＝ SA2－OA2 ＝ 22－ 262＝ 22，
＝－5－3＋ 22
4＝
0.
∴C→D⊥A→B，即 CD⊥AB.
|AC|＝|A→C|＝ 3－32＋3－12＋1－22＝ 4
8116＋5＝ 10＋116，
|BC|＝|B→C|＝ 1－32＋0－12＋5－22＝ 4
116＋1＋9＝ ∴|AC|＝|BC|.
10＋116.
题型探究
类型一 空间向量的坐标运算
• [例1] 已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－ 1,2)、(4,5，－1)、(－2,2,3)，求点P的坐标，使
①O→P＝12(A→B－A→C)； ②A→P＝12(A→B－A→C)．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①A、B、C 三点坐标已知； ②由条件求点 P 的坐标． 解答本题可先求出A→B，A→C的坐标，再利用运 算性质求O→P，A→P.
[解] A→B＝(2,6，－3)，A→C＝(－4,3,1)． ①O→P＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2) 则点 P 的坐标为(3，32，－2)， ②设 P 为(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2) ∵12(A→B－A→C)＝A→P＝(3，32，－2)， ∴x＝5，y＝12，z＝0，则点 P 坐标为(5，12，0)．