江苏省姜堰中学2010-2011学年度高二上学期数学期末试卷(1)

第9题图
江苏省姜堰中学2010-2011学年度高二上学期数学期末试卷(1)
注意事项:
1．本试题由填空题和解答题两部分组成,满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 作题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1.命题“若一个数的平方是正数，则它是负数”的逆命题是 ▲ .
2.已知函数2
()(21)(3)f x x x =-+则()f x '= ▲ .
3.已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸单位:cm ,则这个几何体体积是 ▲ .
4.抛物线2
x y =的焦点坐标为 ▲ .
5.人类仿照鱼的形状,发明了潜水艇,这是运用了 ▲ 推理.
6.函数[]3
2
35,1,3y x x x =-+∈-值域为 ▲ .
7.与双曲线
2
2
15
3
x
y
-
=有公共渐近线，且焦距为8的双曲线方程为 ▲ .
8.设命题p :()x
f x a =是减函数，命题q :关于x 的不等式2
0x x a ++>的解集为R ，如果“p 或q ”为
真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ . 9.如图，函数(),y f x P l =点处的切线是且P 点的横坐标为2，
则(2)(2)f f '+= ▲ .
10.在A B C
∆中，A B ∠<∠若
则a b <，其中大前提为： ▲ .
正视图
侧视图
俯视图
11.已知为,αβ平面，,a b 为直线，给出下列四个命题：
①//,b b αββα⊥⊥若则 ②//,,//a b b a αβαβ⊂⊂若则 ③//,//a a αβαβ⊂若则 ④//,////a a αβαβ若则 其中所有错误命题的序号为 ▲ .
12.水波的半径以1/m s 的速度向外扩张，当半径为5m 时，这时水波圆面积的膨胀率是 ▲ . 13.设F 是椭圆C ：
2
2
1(0,0)x
y
a b a
b
+
=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ,若C 的右准
线上存在点P ,使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .
14.设函数2
3
2
11()2ln ,()1,
3
2
f x x x h x x x m x =-=
-
++，若
()()()g x f x h x '=-在[]1,3上恰有两
个不同零点，则实数的m 取值范围是 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，答题时需有必要的步骤）
15.若椭圆2
2
110x
y
m +=与双曲线2
2
1y
x b -
=有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点3
P y ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
， 求椭圆及双曲线的方程.
16. 已知:|3|2,:(1)(1)0p x q x m x m -≤-+--≤，若p ⌝是q ⌝充分而不必要条件，
求实数m 的取值范围.
M A C 1A B 1B 1C 1D
D N
E
C 17. 在正方体1111ABC
D A B C D -中，,M N 分别是棱,AB BC 上异于端点的点， （1）证明1B M N ∆不可能是直角三角形; （2）如果,M N 分别是棱,AB BC 的中点，
(ⅰ)求证：平面1B M N ⊥平面11BB D D ；
(ⅱ)若在棱1B B 上有一点P ,使得1//B D PM N 面,求1B P 与P B 的比值.
18. 现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示）,设计要求是:支架总高度AH 为6米,底座B C D E F 是以B 为顶点, 以C D EF 为底面的正四棱锥, ,,,C D E F 在以半径为1米的圆上,支杆AB ⊥底面C D EF .市场上,底座单价为每米10元,支杆AB 单价为每米20元.设侧棱B C 与底面所成的角为θ. （1）写出tan θ的取值范围；
（2）当θ取何值时,支架总费用y （元）最少?
第17题图 第18题图
19. 已知函数ln ().x y f x x
==
（1）求函数()y f x =的图象在1x e
=处的切线方程；
（2）求()y f x =的最大值； （3）比较2010
2009
与2009
2010
的大小，并说明为什么？
20.已知函数2()ln f x x mx x =--,m R ∈ （1）若2m =，求函数()f x 的单调增区间；
(2) 若1m ≥，函数在()f x 在0x x =处取得极值，求证：01x m ≤≤.
姜堰中学2010-2011学年度高二上学期数学期末试卷(1)参考答案
一、填空题：每题5分，共70分.
1.若一个数是负数，则它的平方是正数
2. '2()6-26f x x x =+
3.
3
3
8000cm
4. 1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
5. 类比
6. []1,5
7. 2
2
1106x y -=或
2
2
1106x y -=- 8. [)10,1,4⎛⎤⋃∞ ⎥⎝⎦
9. 9
8 10. 在三角形中大角对大边 11. ②④ 12. 10π2
/m s
13. 1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ 14. (]22ln 2,32ln 3--
二．解答题
15.解:由题意可知
b m +=-110,…………………………… (2分)
2
119y
m +=,……………………………… (4分)
2
1019y
b
-
=,……………………………… (6分)
解得=1 , b =8………………………… (10分)
所以椭圆的方程为
2
2
110
x
y +=…………………………… (12分)
双曲线的方程为2
2
18
y
x -
=…………………………… (14分)
16.解:由题意 p: 232≤-≤-x
∴ 51≤≤x …………………………… (3分)
∴p ⌝：51><x x 或…………………………… (5分) q ：11+≤≤-m x m …………………………… (8分) ∴q ⌝：11+>-<m x m x 或………………………… (10分) 又∵p ⌝是q ⌝充分而不必要条件 ∴⎩⎨
⎧≤+≥-5
111m m ∴42≤≤m ………………………… (14分)
17.解：(1)用反证法.如果1B M N ∆是直角三角形，
不妨设1,2
B M N π
∠=
则1M N B M ⊥,……………………… (1分)
而1B B ⊥面A B C D ,M N ⊂面A B C D ,
1B B M N ∴⊥,111B B B M B ⋂=,
M N ∴⊥面11A B B A ,AB ⊂ 面11A B B A ,…………………… (2分)
M N A B ∴⊥,即2
B M N π
∠=
,与2
M B N π
∠=
矛盾！………………… (3分)
∴1B M N ∆不可能是直角三角形. …………………(4分)
（2）连接MN ，设M N BD Q ⋂=则//MN AC ………………………… (5分)
∴AC BD ⊥,MN BD ⊥……………………………… (7分) 又∵1DD ABCD ⊥面 ∴1D D M N ⊥
∴1M N BD D ⊥面……………………………… (9分)
（3）连接,PM PN 则面1PM N BDD PQ ⋂=面……………………… (10分)
当1//BD PQ 时，1//BD PM N 面 …………………………… (11分) 又,M N 分别是,AB BC 中点
13
B Q Q D =……………………………… (12分)
113
D P BQ PD
Q D
=
=
……………………… (14分)
18. 解：（1）tan (0,6).θ∈ ……………………..3分 （2）1141020(6)cos tan y θθ
=⨯⨯+- ………..7分
=2120()120cos tan θθ
⨯-+,……………………..8分
（3）设2()tan cos f θθθ
=-, 其中tan (0,6).θ∈…………………..9分
则2
2sin 1()cos f θθθ
-'=
， ……………………..11分
当6
π
θ=
时，2
2sin 1()0;cos f θθθ
-'=
=
当(0,)6
π
θ∈时，2
2sin 1()0;cos f θθθ
-'=
<当(
,)64
ππ
θ∈时，2
2sin 1()0;cos f θθθ
-'=
>
……………………..13分 则当6
π
θ=时，()f θ取得最小值，满足tan (0,6).θ∈……………………..14分 则当6
π
θ=
时，费用y 最小. ……………………..15分
19. 解：（1）∵()f x 定义域为(0,).+∞ ……….1分
()f x 的导数为'
2
1ln ().x f x x
-=
…………………….3分
∵1
(),f e e
=-
……….4分
又∵'
2
1
()2,k f e e
==
……….5分
∴函数()y f x =在1x e
=
处的切线方程为：
2
12(),y e e x e
+=-
即：223.y e x e =- ……….6分 （2）∵当(0,)x e ∈时，'
()0,f x >()f x 在(0,)e 上为增函数；
……….8分 当(,)x e ∈+∞时，'
()0,f x <()f x 在(,)e +∞上为减函数；
……….10分
∴m ax 1()().f x f e e
==
……….12分
（3）∵2009,2010(,)e ∈+∞，且20092010,< 又∵ln ()x
f x x
=在(,)e +∞上为减函数，
……….13分 ∴
ln 2009ln 20102009
2010
>，
……….14分
∴2010ln 20092009ln 2010,>
∴2010
2009
ln 2009ln 2010
,>
……….15分 ∴2010
2009
20092010.>
……….16分
20.解：（1）当m =2时，2
()2ln f x x x x =--，
定义域为{}|0x x >……………………………… (2分)
则2
1221
()220x x h x x x
x
--'=--=≤,…………………………… (4分)
解得11-≤+………………………………… (5分)
又因为定义域为{}|0x x >)
所以函数()h x 的单调减区间为(0,1+…………………………………… (6分)
(2) 0,x >2
2
121
()20x m x f x x m x
x
--'=--
=
=,等价于: 2
210,x m x --=
此方程有且只有一个正根为04
x =,
且当0(0,)x x ∈时,()0h x '<; 当0(,)x x ∈+∞时,()0,h x '>
则函数2()ln f x x mx x =--在0x x =处取得极值.
当1m ≥时, 04x =
关于m 在[1,)+∞递增,
0144
x =
≥
=.
要证0,x m ≤4
m ≤,也即4m m +≤≤3m ,
>0, 30,m >只要2
8m +≤29m ,8≤2
8m ,
12m ≤,只需1m ≥,该式显然成列,所以结论成立.。