人教A版高中数学必修二课件1.1第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征.pptx

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第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.了解多面体和旋转体的含义. 2.利用实物初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征. 3.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义.
1.多面体的相关概念
(1)定义：由若干个_平__面__多__边__形__所围成的几何体.
探究2：若一个几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行 四边形,这个几何体是否是棱柱? 提示：如图所示的几何体有两个面互相平 行,其余各面都是平行四边形,但这个几何 体不是棱柱而是两个棱柱组合的几何体. 其原因是不具备条件“每相邻两个四边形 的公共边都互相平行”.
【探究提升】对棱柱的两点说明 (1)“面”：两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形. (2)“线”：每相邻两个四边形的公共边互相平行.
【解题指南】1.根据棱锥的结构特征判断. 2.由棱柱、棱锥、棱台的概念及主要结构特征判断选项的正 误. 【解析】1.选B.根据棱锥的结构特征,知棱锥中不存在互相平 行的多边形. 2.选D.根据棱柱的结构特征可知A,B不符合,所以A,B错误;C不 符合棱台的结构特征,所以错误;D满足棱锥的定义正确.
(2)相关概念：
①面：围成多面体的各个_多__边__形__; 顶点
②棱：相邻两个面的_公__共__边__;
面
③顶点：_棱__与__棱__的公共点.
棱
(3)多面体的分类：按围成多面体
的_面__的个数分为四面体、五面体、六面体等.
2.旋转体
(1)定义：由一个平面图形绕它所在
平面内的一条_定__直__线__旋转所形成的
一、棱柱的结构特征 探究1：观察下面的棱柱,思考下面的问题：
(1)棱柱的侧棱长相等吗?侧面是什么四边形? 提示：棱柱的侧棱长相等,侧面是平行四边形.
(2)两个底面多边形是全等关系吗?与平行于底面的截面呢? 提示：两个底面多边形是全等关系,与平行于底面的截面也是 全等关系. (3)过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形? 提示：因为棱柱每条侧棱都相等,每个侧面都是平行四边形, 所以侧棱平行且相等,因此过不相邻的两条侧棱的截面是平行 四边形.
(1)一个棱锥至少有
个面;一个N棱锥分别有_____个
底面,
个侧面,
条侧棱,
个顶点.
答案：4 1 N N 1
(2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面与底面的关
系如何?
提示：它们是相似的多边形.
(3)棱锥所有的面可以都是三角形吗?
提示：可以,当棱锥的底面为三角形时,其所有的面都是三角
形.
探究2：有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是 棱锥吗? 提示：未必是棱锥.如图所示的几何体,满 足各面都是三角形,但这个几何体不是棱 锥,因为它不满足条件“其余各面都是有 一个公共顶点的三角形”.
_余__各__面__. 举例：
侧棱：相 _三__棱__柱__
柱 四边形的公
顶点
邻侧面的 (底面是
共边都互相 _平__行__,由这 些面所围成 的多面体叫
如图,棱柱可记作： 棱柱_A_B_C_D_E_F_-_
__A_′__B_′__C_′__D_′__E_′__F_′_
_公__共__边__. 顶点：_侧__ _面__与底面 的公共顶
棱锥的截面. 下底面：原
几棱锥截
面的平
棱锥的底面. 得.举
棱 面去截
侧面：其余
例：三棱 台(由三
台
棱锥,底 面与截
各面.侧棱： 相邻侧面的
棱锥截
面之间
公共边.顶 得)、四
的部分 叫做棱 台
如图,棱台可记作：棱 台_A_B_C_D_-_A_′__B_′__C_′__D_′__
点：侧面与 上(下)底面 的公共顶点.
【探究提升】棱锥具有的三个特征 (1)有一个面是多边形. (2)其余的各面是三角形. (3)这些三角形有一个公共顶点. 三者缺一不可.
பைடு நூலகம்
三、棱台的结构特征 探究1：观察下面的几何体,思考问题：
(1)图①是棱台吗? 提示：不是,因为该几何体的侧棱延长后不交于同一点,因此 该几何体不是棱台. (2)用任意一个平面去截棱锥,一定能得到棱台吗? 提示：不一定,只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能得 到棱台.
棱台(由 四棱锥截 得)……
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱 都相等.( ) (2)五棱锥只有五条棱.( ) (3)一个棱柱至少有五个面.( ) (4)棱台的各侧棱延长后交于一点.( )
提示：(1)错误.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等, 也可以不相等. (2)错误.五棱锥除了五条侧棱外,底面上还有五条棱,故共10 条棱. (3)正确.因为一个棱柱最少有三个侧面,两个底面,故至少有 五个面. (4)正确.因为棱台是由平行于棱锥底面的截面截得,所以棱台 的各侧棱延长后交于一点. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
【技法点拨】解答空间几何体概念辨析题的关注点 (1)认清概念的本质及棱柱、棱锥、棱台的结构特征,采用举 反例法排除错误的选项. (2)从底面多边形的形状,侧面形状以及它们之间的位置关系 等角度紧扣几何体的结构特征进行判断. (3)棱柱、棱锥、棱台的判断要细心分析所给条件,不要凭直 觉下结论. 提醒：判断说法正误问题,要紧扣几何体的结构特征,理解棱 柱、棱锥、棱台的概念.
【变式训练】用两个平面将如图所示的三棱柱ABC-A′B′C′ 分为三个三棱锥.
【解析】如图,三棱柱ABC-A′B′C′可分为三棱锥C′-ABC、 三棱锥B-A′B′C′和三棱锥C′-ABA′.
类型三多面体的展开图 通过解答下面的问题,总结多面体的展开与折叠问题的解
决技巧和面上两点间最短距离的求解方法. 1.如图代表未折叠的正方体的展开图,将其折叠起来,变成正 方体后,图形是( )
【变式训练】下列说法正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中各条棱长都相等 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【解析】选A.由棱柱的定义知,棱柱的底面平行,故A正确;正 方体相对的两个面平行,但其也可以是侧面,故B错误;棱柱的 侧棱相等,但是各条棱不一定相等,故C错误;棱柱的侧面一定 是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他 多边形,故D错误.
三角形)、 _四__棱__柱__
(底面是四
边形)……
做棱柱
点
类别
定义
图形
相关概念
分类
一般地,有
一个面是 _多__边__形__,其 侧棱
余各面都是 棱 有_一__个__公__共__
顶点 侧面
底面：_多__边__ _形__的__面__.侧 面：有_公__共__ _顶__点__的各个
底面 三角形面.侧
依据：底 面多边形 的边数. 举例：三 棱锥(底
【探究提升】对棱台的三点说明 (1)画棱台：为保证侧棱延长后交于一点,可以先画棱锥再画 棱台. (2)转化：如果解棱台问题遇到困难时,可以将它还原为棱锥 再求解,因为它是由棱锥截来的. (3)计算：可以利用两底是相似多边形进行有关运算.
类型一几何体概念的理解与应用 尝试解答下面的问题,体会棱柱、棱锥、棱台的概念,并
探究2：若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则 它一定是棱台吗?
提示：未必是棱台,因为它们的侧棱延 长后不一定交于一点,如图,用一个平 行于楔形几何体底面的平面去截楔形 几何体,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行,其余各面 是梯形,但它不是棱台,所以看一个几何体是否是棱台,不仅要 看是否有两个面平行,其余各面是否是梯形,还要看其侧棱延 长后是否交于一点.
_封__闭__几何体.
轴
(2)轴：这条_定__直__线__.
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
类别
定义
图形
相关概念 分类
一般地,有两 个面互相
_平__行_,其余各 面都是_四__ 侧面 _边__形__,并且 侧棱
棱 每相邻两个
底面
底面：两 个互相_平__ _行__的面. 侧面：_其__
依据：底
面多边形 的_边__数__.
锥 _顶__点__的三角
棱：相邻侧 面是三角
形,由这些面
面的_公__共__边__. 形)、四
所围成的多 面体叫做棱 锥
如图,棱锥可记 顶点：各侧 棱锥(底
作：棱锥_S_-_A_B_C_D_ 面的_公__共__顶__ 面是四边
_点__
形)……
类别 定义
图形
相关概念
分类
用一个
上底面：原 依据：由
平行于 棱锥底
【解题指南】1.判断每一个几何体是否满足棱台的结构特征. 2.根据棱柱的结构特征判断几何体是否为棱柱,再根据棱柱的 分类标准确定是几棱柱.
【解析】1.根据棱台的定义,可得到判断一个多面体是不是棱 台的标准有三个：一是各侧棱延长后要交于一点;二是上下两 个底面要平行;三是侧面是梯形.据此,在图(1)中多面体侧棱 延长线不相交于同一点,故不是棱台;图(2)中多面体不是由棱 锥截得的,不是棱台;图(3)中多面体虽由棱锥截得,但截面与 底面不平行,因此也不是棱台. 答案：0
【拓展延伸】几类常见的特殊棱柱 (1)直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱. (2)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱. (3)直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体. (4)长方体：底面是矩形的直平行六面体. (5)正方体：棱长都相等的长方体.
二、棱锥的结构特征 探究1：观察下面的几何体,思考问题：
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).
(1)如图中的几何体叫做
,PA,PB叫它的
,平
面PBC,平面PCD叫它的
,平面ABCD叫它的
.
(2)棱柱的顶点最少有
个,侧棱最少有
最少有
条.
(3)下列几何体中,是棱柱的是
(填序号).
条,棱
【解析】(1)观察该几何体为四棱锥,根据棱锥的结构特征可 知PA,PB叫它的侧棱,平面PBC,平面PCD叫它的侧面,平面ABCD 叫它的底面. 答案：四棱锥 侧棱 侧面 底面 (2)最简单的棱柱是三棱柱,有6个顶点,3条侧棱,9条棱. 答案：6 3 9 (3)根据棱柱的定义知,这4个几何体都是棱柱. 答案：①②③④
类型二几何体的结构特征
试着解答下面的问题,并总结判断一个几何体为棱柱、棱
锥、棱台的关键及三者之间的关系.
1.下面的多面体中,棱台有
个.
2.如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几 棱柱?为什么? (2)用平面BCF′E′把这个长方体分成 两部分后,各部分形成的几何体还是棱 柱吗?如果是,是几棱柱?如果不是,说明理由.
总结解决概念辨析题的关注点. 1.下面描述中,不是棱锥的结构特征的为( ) A.三棱锥有四个面是三角形 B.棱锥都是有两个面是互相平行的多边形 C.棱锥的侧面都是三角形 D.棱锥的侧棱相交于一点
2.下列说法中正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D.有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形 的几何体叫棱锥
2.(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为以长方体相对的两个面作底 面都是四边形,其余各面都是矩形,并且几何体的四条侧棱互 相平行. (2)截面BCF′E′上方部分是棱柱,且是三棱柱BE′B′CF′C′,其中△BE′B′,△CF′C′是底面.截面BCF′E′下 方部分是棱柱,且是四棱柱ABE′A′-DCF′D′,其中四边形 ABE′A′和四边形DCF′D′是底面.
【技法点拨】1.棱柱的三个特征
2.判断一个几何体是否为棱台关键看三点 (1)两底面相互平行且相似. (2)各侧棱延长后交于一点. (3)侧面是梯形.
3.棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形,棱 台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到 的图形,它们的关系可用如图表示：
2.如图是一个几何体的展开图,每个面内都给了字母,请根据 要求回答问题：
(1)如果字母A在多面体的底面,那么 (2)如果F面在前面,从左边看是面B,那么
面会在上面. 面会在上面.
3.已知三棱柱ABC-A′B′C′,底面是边长 为1的正三角形,侧面为全等的矩形且高为 8,求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕 行一周后到达A′点的最短路线长.