高中数学 第一章 预备知识质量评估卷练测评(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题

第一章 单元质量评估卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A B D ．B
A
2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |0＜x ≤1}，N ＝{x |x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D．{x |x ＜1}
3．已知集合M ＝{1，a 2
}，P ＝{－1，－a }，若M ∪P 有三个元素，则M ∩P ＝( ) A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{0} D ．{－1}
4．命题“∀x ≥0，|x |＋x 2
≥0”的否定是( ) A ．∃x ＜0，|x |＋x 2
＜0 B ．∃x ≥0，|x |＋x 2
≤0 C ．∃x ≥0，|x |＋x 2
＜0 D ．∃x ＜0，|x |＋x 2
≥0 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A ．－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0 C ．a ＞ab ＞ab 2
D ．ab ＞a ＞ab 2
6．已知集合A ＝{x |x 2
＋x －2≤0}，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＋1
x －2≥0，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－1,2] D ．(－1,1]
7．“关于x 的不等式x 2
－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜1
3
C ．0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞1
3
8．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2
a
＋b 的最小值为( )
A ．4 2
B ．8 2
C ．8
D ．9
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．有下列命题中，真命题有( ) A ．∃x ∈N *
，使x 为29的约数 B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0 C ．存在锐角α，sin α＝1.5
D ．已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *
，都有A ∩B ＝∅ 10．已知1a ＜1
b
＜0，下列结论中正确的是( )
A ．a ＜b
B ．a ＋b ＜ab
C ．|a |＞|b |
D ．ab ＜b 2
11．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1,0)，则下面结论中正确的是( )
A ．2a ＋b ＝0
B ．4a －2b ＋c ＜0
C ．b 2
－4ac ＞0 D ．当y ＜0时，x ＜－1或x ＞4
12．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，
ab ，a
b
∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．则关于数域的理解正确的是( )
A ．有理数集Q 是一个数域
B ．整数集是数域
C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域
D ．数域必为无限集
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．不等式－x 2
＋6x －8＞0的解集为________．
14．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *
)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要
保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．
15．若1a ＋1b ＝1
2(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________．
16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；
③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．
(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；
(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，
B )的个数是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知全集为实数集R ，集合A ＝{x |1≤x ≤7}，B ＝{x |－2m ＋1＜
x ＜m }．
(1)若m ＝5，求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求m 的取值X 围．
18.(本小题满分12分)已知不等式(1－a )x 2
－4x ＋6＞0的解集为{x |－3＜x ＜1}． (1)求a 的值；
(2)若不等式ax 2
＋mx ＋3≥0的解集为R ，某某数m 的取值X 围．
19．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2
≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值X 围．
20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把
二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2
－40x ＋1 600，x ∈[30,50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．
(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x 2
－2mx ＋m 2
－1＜0，m ∈R }．
(1)若A ∩C ＝∅，某某数m 的取值X 围． (2)若(A ∩B )⊆C ，某某数m 的取值X 围．
22．(本小题满分12分)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，求⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋1b 2
的最小值．
第二部分 阶段测试
第一章 单元质量评估卷
1．解析：由真子集的概念，知B A ，故选D. 答案：D
2．解析：∵∁U N ＝{x |x ＞0}，∴M ∩(∁U N )＝{x |0＜x ≤1}．故选B. 答案：B
3．解析：由题意知a 2
＝－a ，解得a ＝0或a ＝－1.①当a ＝0时，M ＝{1,0}，P ＝{－1,0}，
M ∪P ＝{－1,0,1}，满足条件，此时M ∩P ＝{0}；②当a ＝－1时，a 2＝1，与集合M 中元素的
互异性矛盾，舍去，故选C.
答案：C
4．解析：“∀x ≥0，|x |＋x 2
≥0”的否定是“∃x ≥0，|x |＋x 2
＜0”． 答案：C
5．解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2
＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.
答案：B
6．解析：由x 2
＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2,1]．由
x ＋1
x －2
≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)．则∁R B ＝(－1,2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1,1]．故选D.
答案：D
7．解析：因为关于x 的不等式x 2
－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2
－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集，故选C.
答案：C
8．解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a
＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab
＋2ab ≥5＋4＝
9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝1
3
，b ＝3时取等号，故选D.
答案：D
9．解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x
2
＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋7
4
＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐
角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A,6∈B ，故A ∩B ≠∅.
答案：AB
10．解析：因为1a ＜1
b
＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab
＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2
＝
b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D 正
确．故选BD.
答案：BD
11．解析：∵二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b
2a ＝1，得2a
＋b ＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2
－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1,0)，∴点A 的坐标为(3,0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误，故选ABC.
答案：ABC
12．解析：若a ，b ∈Q ，则a ＋b ∈Q ，a －b ∈Q ，ab ∈Q ，a b
∈Q (b ≠0)，所以有理数Q 是一个数域，故A 正确；因为1∈Z,2∈Z ，1
2∉Z ，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M ＝Q ∪{2}，
则1∈M ，2∈M ，但1＋2∉M ，所以C 不正确；根据定义，如果a ，b (b ≠0)在数域中，那么
a ＋
b ，a ＋2b ，…，a ＋kb (k 为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D 正确．故选AD.
答案：AD
13．解析：原不等式等价于x 2
－6x ＋8＜0， 即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 答案：(2,4)(或写成{x |2＜x ＜4})
14．解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
0＜x ＜100100－x
1＋1.2x %t ≥100t ，
解得0＜x ≤503
.因为x ∈N *
，所以x 的最大值为16.
答案：16
15．解析：由1a ＋1b ＝12，得2a ＋2
b
＝1，
4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a ＋1≥11＋2
8a b ·2b
a
＝19.
当且仅当8a b ＝2b
a
，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.
答案：19
16．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.
答案：(1){6} (2)32
17．解析：(1)∵m ＝5，∴B ＝{x |－9＜x ＜5}，又A ＝{x |1≤x ≤7}， ∴A ∪B ＝{x |－9＜x ≤7}． 又∁R A ＝{x |x ＜1，或x ＞7}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |－9＜x ＜1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2m ＋1＜1m ＞7，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＞0
m ＞7，
解得m ＞7.
∴m 的取值X 围是{m |m ＞7}．
18．解析：(1)由已知，1－a ＜0，且方程(1－a )x 2
－4x ＋6＝0的两根为－3,1， 有⎩⎪⎨⎪⎧
4
1－a ＝－3＋161－a ＝－3，
解得a ＝3.
(2)不等式3x 2
＋mx ＋3≥0的解集为R ， 则Δ＝m 2
－4×3×3≤0，解得－6≤m ≤6， 实数m 的取值X 围为[－6,6]．
19．解析：由x 2
－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 由x 2
－6x ＋9－m 2
≤0，
可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；
当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }； 当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；
若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．
可得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＜03＋m ≤－1
3－m ≥4
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞03－m ≤－13＋m ≥4，
解得m ≤－4或m ≥4.
故m 的取值X 围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
20．解析：(1)当x ∈[30,50]时，设该工厂获利为S 万元，
则S ＝20x －(x 2
－40x ＋1 600)＝－(x －30)2
－700，所以当x ∈[30,50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．
(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝x y
＝x ＋1 600
x
－40，x ∈[30,50]，
当x ∈[30,50]时，P ＝x ＋1 600x
－40≥2
x ·
1 600
x
－40＝40，
当且仅当x ＝1 600
x
，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理
成本最少．
21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，
B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，
C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．
若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4， 解得m ≥3或m ≤－5.
所以实数m 的取值X 围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．
若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.
所以实数m 的取值X 围为{m |1≤m ≤2}．
22．解析：⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1
b
2＋4
＝(a 2＋b 2
)⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋
1a 2b 2
＋4＝[(a ＋b )2－2ab ]⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋1a 2b 2＋4
＝(1－2ab )·⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋
1a 2b 2＋4，
由a ＋b ＝1，得ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14
⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 所以1－2ab ≥1－12＝12，且1
a 2
b 2≥16，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥1
2×(1＋16)＋4＝252，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为252.。