高中数学函数的奇偶性经典习题（带答案）

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1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x 3－1x ； (2)f(x)
＝|2|2x ＋－； (3)f(x)＝(x －
(4)f(x)
. 【答案】（1）奇函数（2）奇函数（3）既不是奇函数也不是偶函数（4）既是奇函数也是偶函数
解析:(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由210|2|20x x ⎧≥⎨≠⎩－，＋－，得1104x x x ≤≤⎧⎨≠≠⎩
－，且－. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0.
从而有f(x)
＝22x x
＝＋－， 这时有f(－x)
＝21(x x --)－＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)因为f(x)定义域为{
，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数
2．下列函数是奇函数的是（ ）
A ．()||f x x =-
B ．()22x x f x -=+
C ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--
D ．3()1f x x =-
【答案】C 解析：对于B ，()22()x x f x f x --=+=，函数()f x 为偶函数，所以B 错；
对于C ，由1010
x x +>⎧⎨->⎩，故11x -<<，关于原点对称，又()lg(1)lg(1)()f x x x f x -=--+=-
对于D ，33()()11()()f x x x f x f x -=--=--≠≠-，函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，
3．已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则( )
C.2lg
D.-2lg 【答案】D.解析:
4．已知函数(1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，且(0)2,(4)则f f ==（ ）
A ．-2
B ．0
C ．2
D ．3
【答案】A 解析:因为函数(1)f x +是奇函数，所以)(x f 的对称中心为（1,0），
因为(1)f x -是偶函数，所以)(x f 的对称轴为x=-1。

所以2)0()2()4(-=-=--=f f f 。

5．若函数()()f x x R ∈是奇函数,函数()()g x x R ∈是偶函数,则一定成立的是( )
A.函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数
B.函数()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数
C.函数()f f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数
D.函数()g g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 【答案】C 解析：由题得,函数()(),f x g x 满足()()()(
),f x f x g x g x -=--=,则有()()f g x f g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()g f x g f x g f x -=-=⎡
⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦,()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦,()()g g x g g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C 是正确的,故选C
6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当20()2x f x x x ≤=-时，则(1)f = ( )
A.—3
B.—1
C.1
D.3
【答案】A 解析：由()f x 是定义在R 上的奇函数，且当20()2x f x x x ≤=-时，
得2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-，选A. 7[-2，2]上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式
成立，则实数m 的取值范围（ ）
，2 C. (,0)-∞ D.(,1)-∞
【答案】A 解析：根据题意知,函数在[)0,2-上单调递增,在[]2,0上单调递减.首先满足⎩⎨
⎧≤≤-≤-≤-22212m m ,可得21≤≤-m .根据函数是偶函数可知:)(
)(m f m f -=,所以分两种情况:
当20≤≤m 时,根据不等式(1)()f m f m -<成立,有12-21m m m m <-≤≤-<-或,当20m
-≤<时,,有12 -21m m m m -<-≤≤-<或解得10m -≤<; 8．函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)．
【答案】3 解析:由f(－x)＝f(x)，得a ＝1，∴f(2)＝3.
9．已知函数()1,21
x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a = . 【答案】12 解析：函数为定义在R 上的奇函数，所以01(0)021f a =-=+，解得12a =. 10．已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有
4个零点，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】()2,+∞ 解析：由题意得函数()f x 为偶函数，因此当()f x 有4个零点时，()f x 在(0,)+∞上
有且仅有两个零点，所以202
40
a a ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩即 2.a > 11．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4，则f(7)＝________．
【答案】－3 解析:f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.
12．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
【答案】x 3＋x －1 解析:若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x 3
－x ＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－
f(x)，所以f(x)＝x 3＋x －1.
13．已知函数()535f x ax x bx =++-，若()1008f -=，那么()100f =______ 【答案】-18 解析:()535f x ax x bx =++-，()53
5,()()10f x ax x bx f x f x -=----+-=-， 又()1008f -=，所以，()10010(100)18.f f =---=-
14．已知函数b x a ax x f +-+=)2()(2定义域为)1,(-a b 是偶函数，则函数)(x f 的值域为 .
【答案】）
，1-1[ 15．已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示
为 .
【答案】(-5,0)∪(5,+∞) 解析:设x<0,则-x>0,f(-x)=x 2+4x,
所以x<0时,f(x)=-x 2
-4x.所以f(x)=224,0,4,0.x x x x x x ⎧-≥⎨--<⎩ 当x ≥0时,由x 2-4x>x,解得x>5, 当x<0时,由-x 2-4x>x,解得-5<x<0,
故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).
16．已知函数f(x)＝2200
x x x ax bx x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩＋，，＋，是奇函数，求a ＋b 的值； 【答案】0 解析:当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x 2－x ＝－ax 2－bx.
从而a ＝－1，b ＝1，所以a ＋b ＝0
17．（本题满分16分）
已知函数()f x 在定义域]1,1[-上单调递减，又当]1,1[,-∈b a ，且0=+b a 时，()()0f a f b +=． （Ⅰ）证明()f x 是奇函数； （Ⅱ）求不等式2(1)(1)0f m f m -+->的解集．
【答案】（1）奇函数．（2
）
解：（1）∵当]1,1[,-∈b a ，且0=+b a 时，()()0f a f b +=，∴()()0f a f a +-=，
∴()f x 是定义域为]1,1[-的奇函数．
（2）由（1）得不等式2(1)(1)0f m f m -+->可化为2(1)(1)f m f m ->-．
又∵()f x 在定义域[-1，1]上单调递减，∴22111,111,11,m m m m --⎧⎪--⎨⎪-<-⎩
≤≤≤≤
解得1m <，
∴不等式2(1)(1)0f m f m -+->
的解集为
【注意定义域】。