河北省沧州市盐山中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题

河北省沧州市盐山中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题
一、单选题(共60分)
1．设命题2
:,2n
P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ）
A ．2
,2n
n N n ∀∈> B ．2
,2n
n N n ∃∈≤ C ．2
,2n
n N n ∀∈≤ D ．2
,2n
n N n ∃∈=
2已知双曲线E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线E 的离心率e =线E 的渐近线方程为2y x =±”的（ ）
A ．充分但不必要
B ．充要
C ．必要但不充分
D ．既不充分也不必要
3．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件
D ．既不是互斥事件也不是对立事件
4．设动点P 到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )
A ．221916x y -=
B ．22
1916
y x -= C ．()2213916x y x -=≤- D ．()2213916x y x -=≥
5．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150；④中部地区学生小张被选中的概率为15000
A ．①④
B ．①③
C ．②④
D ．②③
6．已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22
221x y a b
-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点
()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( )
A ．5
B ．2
C ．
5 D ．
43
7．北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ） A ．
310
B ．
12
C ．
35
D ．
710
8．已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面
α的距离为
10
3
，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21
9．若椭圆22
13616
x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F 的面
积为( ) A ．36 B ．16 C ．20 D ．24
10．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ） A ．
3 B ．
6 C ．
217
D ．
21 11．已知抛物线2
:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若3AF FB =，则AOF 的面积（O 为坐标原点）为（ ） A ．3
B ．
3 C ．
43
D ．23
12．已知抛物线2
2y px ＝（p 是正常数）上有两点()11,A x y 、()22,B x y ，焦点F ，
甲：2124
p x x =； 乙：2
12y y p =-； 丙：234OA OB p ⋅=-； 丁：
112
FA FB p
+=.
以上是“直线AB 经过焦点F ”的充要条件有几个（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题(共20分)
13.设P 是椭圆22
1259
x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为
__________.
14.正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 成角的大小为_______．
15．已知抛物线方程为2
4y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，
点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.
16．已知双曲线22
22 :1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，又
点2
3(,)2b N c a
-，若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足2||4MF MN b +>，则双曲线C 的
离心率的取值范围__________． 三、解答题(共70分)
17．(本题10分)已知命题:11p x ∀-≤≤“
，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；
(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．(本题12分)在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，
[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中m 的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同
一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 19．(本题12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，
AC BC ⊥，D 是11A C 的中点，且12AC BC AA ===.
（Ⅰ）求证：11//A B 平面ABD ；
（Ⅱ）求直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值.
20．(本题12分)平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 1
2
3 4 5 违章驾驶员人数 120
105
100
90
85
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程a ˆx b ˆy
ˆ+= （Ⅱ）预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：()()
()
1
1
2
2
2
1
1
n
n
i i
i
i i i n
n
i
i i i
x y
nxy
x
x y y
b x
x x
nx
====---=
=--∑∑∑∑，
x b ˆ-y a
ˆ=．
21．(本题12分)在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为平行四边形，M 为AA 1的中点，BC ＝BD ＝1，12AB AA ==． （1）求证：MD ⊥平面BDC 1； （2）求二面角M -BC 1-D 的余弦值．
22．(本题12分)已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为2
，且过点.
（1）求椭圆M 的方程；
（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q .求证：直线PQ 的斜率为定值
数学参考答案
1-5．CDADB 6-10．ACCBB 11．A 12．B
13．8 14．6π 15．15- 16．(5,)⎛+∞ ⎝⎭
17．（I ）由题意2m x x >-在11x -≤≤恒成立，所以2
max ()m x x >-(11)x -≤≤,
2
2
1124x x x ⎛⎫-=--
⎪⎝
⎭，所以2124x x -≤-≤，即2max ()2x x -=,2m >，实数m 的取值范围是()2,+∞
（II ）由q 得44a m a -<<+， 因为q p ⇒，所以42a -≥，，即6a ≥所以实数a 的取值范围是[)6,+∞
18．（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）
3
5
（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=， 得0.030m =.
（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得220
73.333
n =
≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.
记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：
(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10
种，
其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.
故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105
P =
=. 19．（Ⅰ）如图，由三棱柱111ABC A B C -，得11//A B AB ， 又因为11A B ⊄平面ABD ，AB
平面ABD ，所以11//A B 平面ABD ；
（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，
所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，
则()0,2,0B ，()2,0,0A ，()10,2,2B ，()1,0,2D ， 所以()12,2,2AB =-，()12,2,0AB =-，()1,0,2AD =-， 设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，
由0AB n ⋅=，0AD n ⋅=，得220,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩
令2x =，得()2,2,1n =.
设直线1AB 与平面ABD 所成角为θ，则1113
sin cos ,AB n AB n AB n
θ⋅=<>=
=
⋅， 所以直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值为3
. 20．解：（Ⅰ）由表中数据，计算；1
(12345)35
x =
⨯++++=， 1
(1201051009085)1005
y =⨯++++=，
1
2
2
1
1120210531004908555310!14151500
8.5
1491625595545 n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
-
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-
====-
++++-⨯-
-
∑
∑
，1008.53125.5
a y bx
=-=+⨯=所以y与x之间的回归直线方程为8.5 125.5
y x
=-+；（Ⅱ）7
x=时，8.5 125.566
y x
=-+=，
预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66人．
21．（1）因为BC=BD=1，CD=AB=2，可得BC2+BD2=CD2，∴BD⊥BC，
又AD//BC，∴BD⊥AD . 又ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱，
∴DD
1⊥平面ABCD，
∴DD
1⊥BD .
1
=
DD AD D，∴BD⊥平面ADD1A1，∴BD⊥MD，取BB1中点N，
连接NC，MN，//
MN DC且，MNCD
∴为平行四边形，
//
∴MD NC，
1
NB BC
BC CC
==2
2
，1
~
NBC BCC
∴，
1
90
C BC BCN
∠∠
∴+=，∴BC1⊥CN，又MD//NC，
∴MD⊥BC1，又BC1BD
⋂=B，∴MD⊥平面BDC1；
（2）以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的坐标系，
则(0,1,0)
B，
1
(1,1,2)
C-，
2
1,0,
M
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
2
1,1,
BM
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，
1
(1,0,2)
BC=-，
由（1）可知DM为平面BDC1的一个法向量，
2
1,0,
DM
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
，
设平面C1BM的一个法向量为(,,)
n x y z
=，
∴1
BC n
BM n
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，则
20
2
2
x z
x y z
⎧-+=
⎪
⎨
-+=
⎪
⎩
，可取
32
2,,1
2
n
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎭
，设二面角M-BC1- D为θ，所以
10
cos
5
DM n
DM n
θ
⋅
==，即二面角M-BC
1
- D的余弦值为
10
5
.
22．（1）设椭圆的焦距为2c，则
2
2
c
a
=①，
22
42
1
a b
+=②，又222
a b c
=+③，
由①②③解得2
8a =，2
4b =，2
4c =，所以椭圆M 的标准方程为22
184
x y +=.
（2）证明：易得(0,2)A ，(0,2)B -，直线l 的方程为2y kx =-，因为直线l
不过点0)，
所以k ≠
由22228y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得()22
2180k x kx +-=，所以2
821N k x k =+，从而222842,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，2,0P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 直线AN 的斜率为22242
21
218221
k k k k k --+=-+，故直线AN 的方程为122y x k =-
+.
令x =
2Q k ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，直线PQ
的斜率
2
22PQ
k k k -
+====
. 所以直线PQ
的斜率为定值2
.。