一次方程与方程组

一元一次一元二次方程及应用
考点一 等式及方程的有关概念
1．等式及其性质
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
2．方程的有关概念
(1)含有未知数的等式，叫做方程．
(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫做根)．
(3)求方程解的过程，叫做解方程． 考点二 一元一次方程 1．一元一次方程
在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．ax ＋b ＝0(a ≠0)是一元一次方程的标准形式．
2．解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法
1．二元一次方程组
几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组； 2．解二元一次方程组的基本思路：消元
3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法； 考点四 列方程(组)解应用题
1．列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答 2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．
一元二次方程及应用
考点一 一元二次方程的定义
在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．
考点二 一元二次方程的常用解法
1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，则x 1＝a ，x 2＝－ a. 2．配方法
3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2
－4ac ≥0，则x ＝－b±b 2－4ac 2a
.
4．因式分解法
考点三 列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．
考点四 一元二次方程根的判别式
关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac.
1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则x 1,2＝
－b±b 2－4ac
2a
；
2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a ；
3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根；
考点五 一元二次方程根与系数之间的关系
若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b
a ，
x 1·x 2＝c a
经典例题
例一(1)已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩
⎨⎧
mx ＋ny ＝8
nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为
( )
A ．4
B ．2 C.2 D ．±2
(2)已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．3
例二(1)解方程：2x ＋13－10x ＋1
6＝1. (2)解方程组：⎩⎨⎧
3x ＋4y ＝19，x －y ＝4.
(2)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.
例三如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC 边的长．
考点训练题 一、选择题
1．方程组⎩
⎨⎧
x ＋y ＝1
2x －y ＝5的解是( )
A.⎩⎨⎧ x ＝－1y ＝2
B.⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝3
C.⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1
D.⎩⎨⎧
x ＝2
y ＝－1
2、方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝3
C ．x ＝3或x ＝－1
D ．x ＝3或x ＝0
3．以方程组⎩⎨⎧
y ＝－x ＋2
y ＝x －1
的解为坐标的点(x ，y)在平面直角坐标系中的位置是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．若|3a ＋b ＋5|＋(2a －2b －2)2＝0，则2a 2－3ab 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4
5、．已知⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1和⎩
⎨⎧
x ＝1
y ＝1是方程y ＝kx ＋b 的解，则k 、b 的值分别是( )
A ．k ＝－2，b ＝1
B ．k ＝2，b ＝3
C ．k ＝－2，b ＝－1
D ．k ＝2，b ＝－1
6．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别是x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－6
7．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )
A ．168(1＋a%)2＝128
B ．168(1－a%)2＝128
C ．168(1－2a%)＝128
D ．168(1－a 2%)＝128
8．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝9
9．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a<1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠0
10．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸要制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )
A ．x 2＋130x －1 400＝0
B ．x 2＋65x －350＝0
C ．x 2－130x －1 400＝0
D ．x 2－65x －350＝0
11．若方程组⎩⎨⎧ 2m －3n ＝133m ＋5n ＝30.9的解是⎩⎨⎧ m ＝8.3n ＝1.2，则方程组⎩
⎨⎧
2(x ＋2)－3(y －1)＝13
3(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9的
解是( )
A.⎩⎨⎧ x ＝8.3y ＝1.2
B.⎩⎨⎧ x ＝10.3y ＝2.2
C.⎩⎨⎧ x ＝6.3y ＝2.2
D.⎩⎨⎧
x ＝10.3y ＝0.2
12．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧
x ＋y ＝5k x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，
则k 的值为( )
A ．－34 B.34 C.43 D ．－43 二、填空题
13．1．方程(x －1)2＝4的解是__________
14．方程x 2－3x ＋1＝0的解是__________．
15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系
数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c
a .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3
＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1
x 2
的值为________．
16．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__________．
17．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 21＋3x 1x 2＋x 2
2的值为________
18、已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则m ＝________，方程的另一根为________．
20．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m 2，求道路的宽．
21．解方程(组)．
(1)当m 取什么值时，代数式5m ＋14与5(m －1
4)的值互为相反数；
(2)⎩⎪⎨⎪⎧
x 3＋1＝y ，2(x ＋1)－y ＝6.
(3) x 2－6x －6＝0；（配方法）
(4)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.（因式分解法）
22、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元
23．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.
(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1 228台汽车用户共补贴了多少万元？
答案
1—5 DDADD 6-10ABDBB 11-12CB 13、【答案】120(1－x)2＝100
14、【答案】x 1＝3＋52，x 2＝3－5
2
15、【解析】∵x 1、x 2是x 2＋6x ＋3＝0
的两实数根，∴x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，∴x 2x 1＋x 1x 2＝
(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2
x 1x 2
＝(－6)2－2×3
3
＝10.
16、【解析】∵方程有实数根，∴b 2－4ac>0，∴12－4(m －1)≥0,4m ≤5，m ≤5
4
.∵方程是关于x 的一元
二次方程，∴m －1≠0，∴m ≠1，∴m ≤5
4
且m ≠1.
17、【解析】由题意得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－2，所以x 21＋3x 1x 2＋x 22＝x 21＋2x 1x 2＋x 22＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2
＋x 1x 2
＝33＋(－2)＝9－2＝7. 18、【答案】－4 x ＝5
19、【答案】⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－4
y ＝－2
20、解：设道路的宽为x m ，根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，∴x 2－52x ＋100＝0，∴x 1＝2，x 2
＝50(不合题意，舍去)
21、解：(1)由题意得5m ＋14＋5(m －14)＝0,5m ＋14＋5m －54＝0, ∴10m ＝1，m ＝1
10
.
(2)⎩⎪⎨⎪⎧
x 3＋1＝y ①2(x ＋1)－y ＝6 ②
原方程组可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y ＝－3 ①2x －y ＝4 ②，
①×2得2x －6y ＝－6 ③，②－③得5y ＝10，∴y ＝2，把y ＝2代入②，得x ＝3，∴原方程组的解是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝2. 3、【解答】(1)x 2－6x －6＝0 移项，得x 2－6x ＝6，
配方，得(x －3)2＝15，∴x －3＝±15. ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. 4、(x －3)2＋4x(x －3)＝0
换公因式，得(x －3)(x －3＋4x)＝0，(x －3)(5x － 3)＝0.
∴x －3＝0或5x －3＝0.∴x 1＝3，x 2＝3
5
.
22、解：(1)设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x 台、y 台，根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝960x (1＋30%)＋y (1＋25%)＝1 228，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝560y ＝400
.。