九年级同步第7讲：相似三角形综合 -教师版

相似三角形综合
内容分析
相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题．
知识结构
G
1、平行线与相似三角形
利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A ”字型和“X ”字型．
【例1】 过ABC ∆的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．
求证：2
AE AF
ED FB = ． 【难度】★★ 【答案】略．
【解析】过点D 作//DG AB 交CF 于点G ．
Q //DG AB ∴AE AF ED GD =，DG CD
BF CB =
； Q AD 是中线， ∴2BC CD =， ∴
12
DG BF =；∴
2AE AF
ED BF =． 【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．
模块一：平行线与相似三角形
知识精讲
例题解析
A B
C
D
E
F
M
M
【例2】 如图，已知ABC ∆中，AD 、BE 相交于G ，:3:1BD DC =，:1:2AG GD =．
求:BG GE 的值．
【难度】★★ 【答案】11．
【解析】点G 作//GM BC 交AC 于点M ．
Q //GM BC ∴AG GM AD CD =，EG GM
EB CB =
； Q :1:2AG GD =， ∴
1
3
AG GM AD CD ==， Q :3:1BD DC =，∴14DC BC =，∴1
12
GM BC =， ∴
1
12
GE EB =，∴:BG GE 的值为11． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．
【例3】 如图，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，AD = 2，
BD = 2DC ，求AC 的长． 【难度】★★ 【答案】3．
【解析】过点D 作//DM AB 交AC 于点M ． Q //DM AB ， ∴75BAD ADM ∠=∠=o ；
又Q 180ADM AMD DAM ∠+∠+∠=o ，30CAD ∠=o
∴75AMD ∠=o ， ∴AMD ADM ∠=∠， ∴2AD AM ==．
Q //DM AB ， ∴
AM BD
AC BC
=
．
又Q 2BD DC =， ∴
2
3
BD AM BC AC ==． ∴3AC =．
【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．
A
B
C
D
E G
A
B
C
D
H
G
【例4】已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于
点D 和点E ．
求证：1AD AE
DC EB
+=．
【难度】★★ 【答案】略．
【解析】过点A 作//GH BC 分别交CE 、BD 的延长线 于点G 、H ． Q MN 是中位线，
//.AM MB AN NC MN BC ∴==，，
////GH BC MN ∴． ∴AM GP MB PC
= GP PC ∴= Q //GH BC ∴
GH GP
BC PC
=
GH BC ∴=；
Q //GH BC ∴AD AH AE AG
DC BC EB BC
==
，
∴
1AD AE
DC EB
+= ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．
A B C
D
E P
N
M
Q
P
【例5】AD 是ABC ∆的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，
交射线AC 于点N ，设AM = x ·AB ，AN = y ·AC ，（0x ≠，0y ≠）．
（1）如图1，当ABC ∆为等边三角形且30α=︒时，求证：AMN ∆∽DMA ∆；
（2）如图2，证明11
2x y +=．
【难度】★★★ 【答案】略 【解析】
（1）Q ABC ∆是等边三角形，AD 是中线，30,90;BAD DAC ADB ∴∠=∠=∠=o o 30,30MDB α=∠=o o Q 即，60ADM ∴∠=o
ADM DAC N ∠=∠+∠Q 30N ∴∠=o ;MAD N ∴∠=∠ AMD AMN ∠=∠Q AMN DMA ∴∆∆∽；
（2）过B 作//BQ MN 交AD 延长线于点Q ，过C 作//CP MN 交AD 于点P ， //BQ CP ∴ ∴
BD DQ
DC PD
=
Q AD 是中线 ,BD DC ∴=,QD DP ∴= Q //BQ MN ∴
1AB AQ AD DQ
x AM AD AD +===
Q //CP MN ∴1
AC AP AD DP y AN AD AD -=
==
∴11
2x y
+=． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点．
A
B
C
D N
M
A
B
C
D N
M
图1
图2
1、角平分线与相似三角形
角平分线类的相似模型如下：
分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．
【例6】如图，AD 是ABC ∆的内角平分线．求证：AB BD
AC DC
=
． 【难度】★★ 【答案】略．
【解析】过点C 作//CM AB 交AD 的延长线于点M ． Q //CM AB ∴AB BD CM DC =，BAD M ∠=∠ Q AD 是角平分线 ∴BAD DAC ∠=∠；
∴M DAC ∠=∠
∴AC CM = ∴AB BD
AC DC
=
． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．
模块二：角平分线与相似三角形
知识精讲
例题解析
A
B
C
D
M
A
B
C D
【例7】如图，AD 是ABC ∆的外角平分线．求证：AB BD
AC CD
=
． 【难度】★★ 【答案】略．
【解析】过点B 作//BM AC 交DA 的延长线于点M ．
Q //BM AC ， ∴AC CD
BM DB =
，DAC M ∠=∠ Q AD 是外角平分线， ∴MAD CAD ∠=∠； ∴M MAD ∠=∠， 又Q MAB MAD ∠=∠， ∴M MAB ∠=∠．
∴AB BM =．∴AB BD
AC DC
=
． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．
【例8】在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．
求证：111
AD AB AC
=+
． 【难度】★★ 【答案】略．
【解析】过点C 作//CM AD 交BA 于点M ．
Q //CM AD ， ∴AB AD
BM CM
=
，DAC ACM BAD M ∠=∠∠=∠， Q AD 平分BAC ∠，120BAC ∠=o ． ∴60BAD CAD ∠=∠=o ； ∴60M ACM ∠=∠=o ，ACM ∴∆是等边三角形．
∴AC CM AM ==．∴AB AD AB AM MC =+即AB AD
AB AC AC
=
+．
∴
111AD AB AC
=+
． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识．
A
B C D
M
M
A
B
C D
E
F
G
【例9】如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，CFG B ∠=∠过点C 作CE // AB ，交CAB ∠的平
分线AD 于E ．
（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；
（2）求证：FC AD
CG ED =
． 【难度】★★ 【答案】略．
【解析】 （1）①ADB EDC ∆∆∽、②CAB GCF ∆∆∽．
证明①： Q //CE AB ∴ADB EDC ∆∆∽
证明②：Q //CE AB 180CAB ACE ∴∠+∠=o ，
90CAB ∠=o Q ，90ACE ∴∠=o
;CAB ACE ∴∠=∠ CFG B ∠=∠Q ∴CAB GCF ∆∆∽ （2）由CAB GCF ∆∆∽得FC AB
CG AC =
Q ADB EDC ∆∆∽ ∴
AB AD
EC DE
=
Q //CE AB ，EAB CED ∴∠=∠，
CAE EAB ∠=∠Q ， ;CAE E ∴∠=∠，
CA CE ∴= ∴
AB AD AC DE = ∴ FC AD
CG DE
=
． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．
D
A
B C
E
I
【例10】如图，ABC ∆中，AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的
平分线，交BI 延长线于E ，连接CI ．
（1）ABC ∆变化时，设2BAC α∠=．若用α表示BIC ∠和E ∠，那么BIC ∠=______，
E ∠=______；
（2）若AB = 1，且ABC ∆与ICE ∆相似，求AC 长． 【难度】★★
【答案】（1）90α+o ，α；（2）略． 【解析】（1）Q 180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=o ， ∴1801802ABC ACB BAC α∠+∠=-∠=-o o ．
Q AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，
∴ 12IBC ABC ∠=∠，CI 平分ACB ∠．
∴ 1
2ICB ACB ∠=∠． Q 180IBC ICB BIC ∠+∠+∠=o
()()1
180180902BIC IBC ICB ABC ACB α∴∠=-∠+∠=-∠+∠=+o o o ．
Q CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线， ∴ 1
2ACE ACD ∠=∠．
()1
902
ICE ICA ACE ACD ACB ∴∠=∠+∠=
∠+∠=o ． Q 90BIC ICE E α∠=∠+∠=+o ，
E α∴∠= ．
（2）ABC ∆与ICE ∆相似，
Q 90ICE ∠=o ， ABC ∴∆是直角三角形时，分三种情况：
① 当90ABC ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ．
E BCA α∴∠=∠=． Q 90BAC BCA ∠+∠=o ， 30α∴=o ． ∴ 22AC AB ==； ② 当90BCA ∠=o 时，Q E α∠=， 2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ． E ABC α∴∠=∠=， Q 90BAC ABC ∠+∠=o ， 30α∴=o ， ∴ 1122
AC AB =
=； ③ 当90BAC ∠=o 时，Q 2BAC α∠=， 45α∴=o ． ∴ 1AC AB ==；
综上所述，1
122
AC =或或．
【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识．
B A
C
D
A
B
C
D
图1
图2
1、a 2 = b·c 与相似三角形 常见及扩展模型如下：
由图1可证：2AB BD BC =g ；
由图2可证：2AB BD BC =g ，2AD BD DC =g ，2AC CD CB =g ．
【例11】如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．
求证：2AD BD DC =g ．
【难度】★ 【答案】略．
【解析】Q AD BC ⊥， ∴90ADB ADC ∠=∠=o ． ∴90BAD B ∠+∠=o ． Q 90BAC ∠=o ，
∴90C B ∠+∠=o ， ∴BAD C ∠=∠．
∴ABD CAD ∆∆∽ ，∴AD BD
CD AD
=
． ∴2AD BD CD =•．
【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识．
模块三：a 2 = b·c 与相似三角形
知识精讲
例题解析
A
B C
D
A
B
C
D
E H
A B
C
D
E
F
【例12】如图，已知等腰三角形ABC 中，AB = AC ，高AD ，BE 相交于点H ．
求证：24DH DA BC =g ．
【难度】★★ 【答案】略．
【解析】Q AD 、BE 是高， ∴90ADB BEC ∠=∠=o ． ∴90HBD C ∠+∠=o ， 90CAH C ∠+∠=o ．
∴HBD CAH ∠=∠， ∴HBD CAD ∆∆∽． ∴HD BD
CD AD
=
即DH AD BD CD =g g Q AB AC AD BC =⊥，， ∴1
2
BD DC BC ==
．
∴BAD C ∠=∠．
∴21
4
DH AD BC =g ， ∴24DH AD BC =g ．
【总结】本题考查“双高”模型相似的知识．
【例13】如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ， AD = BD ，过E 的直线EF // AB 交AD 于点F ． （1）AF = BE ；
（2）AF 2 = AE ·EC ．
【难度】★★ 【答案】略．
【解析】（1）Q //EF AB ，AF 不平行EB ，
∴四边形FABE 是梯形．
又Q AD BD =， ∴DAB DBA ∠=∠． ∴四边形FABE 是等腰梯形， ∴AF BE =； （2）Q 90AEB CEB ∠=∠=o ，
∴90EBA EAB ∠+∠=o ， 90ECB EAB ∠+∠=o ．
∴EBA ECB ∠=∠． ∴EBA ECB ∆∆∽．
∴EB EA
EC EB =
． ∴2EB EA EC =•，∴2AF EA EC =•．
【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质．
【例14】如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AD 于点 H ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ．
求证：2DF CF BF =g ．
【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AF
Q 点F 在AD 的垂直平分线上， ∴AF FD =， FAD ADF ∠=∠．
Q FAD FAC DAC ∠=∠+∠，ADF BAD B ∠=∠+∠ ∴FAC DAC BAD B ∠+∠=∠+∠．
又Q AD 平分BAC ∠， ∴BAD DAC ∠=∠， ∴FAC B ∠=∠．
又Q AFC AFB ∠=∠， ∴EBA ECB ∆∆∽， ∴AF FC
FB AF =
． ∴2AF CF BF =•， ∴2DF CF BF =•．
【总结】本题考查线段垂直平分线、外角定理及相似三角形的判定及性质知识．
【例15】如图1，在ABC ∆中，P 是边AB 上的一点，联结CP ，要使ACP ∆∽ABC ∆，还需
要补充一个条件．
（1）补充的条件是___________________，或者____________________． （2）请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：
如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，22AC AB AB BC =+g ，求B ∠的度数．
【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】
（1）ACP B ∠=∠；APC ACB ∠=∠；（或者2AC AB AP =•） （2）延长AB 到D ，使BD CB = ∴BCD BDC ∠=∠
Q 22AC AB AB BC =+• ∴2AC AB AD =• ∴ACB ADC ∆∆∽ D ACB ∴∠=∠ Q 180A ACD D ∠+∠+∠=o
∴3180D A ∠+∠=o 而60A ∠=o ∴40D BCD ∠=∠=o 80ABC BCD D ∴∠=∠+∠=o ．
【总结】本题考查相似三角形的判定及性质、三角形内角和、外角定理等知识．
D
A
B C D E F
G
H A
B
C A
C
B
P
图1
图2
A B
C
D
E
F
G
H T
H
1、内接矩形与相似三角形 相关模型：
常用结论：AT DE
AH BC
=
．
【例16】如图，ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，四边形DEFG 为正方形，其中D 、
E 在边AC 、BC 上，
F 、
G 在AB 上，求正方形DEFG 的边长．
【难度】★★
【答案】60
37
．
【解析】设正方形DEFG 的边长为a ，过点C
作CH AB ⊥交AB 于点H ，易知：
////DG CH DE AB ，
DG AD CH AC ∴=，DE CD AB AC = 1DG DE
CH AB ∴+=
在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，， 5AB ∴=，12
5
CH =． 11255
a a ∴
+=， 6037a ∴=， ∴正方形DEFG 的边长为6037． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．
模块四：内接矩形与相似三角形
知识精讲
例题解析
A
B
C D
E
F G
A
B
C
H
G
F
E D D
F
E
【例17】ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在
AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．
【难度】★★ 【答案】36．
【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知： ////HE AD HG BC ，．
HE BH AD BA ∴=，HG AH
BC AB =
．
1HE HG
AD BC
∴
+=， 11015
a a
∴+=， 6a ∴=，
∴正方形EFGH 的面积为36．
【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．
【例18】如图，已知ABC ∆中，AC = 3，BC = 4，90C ∠=︒，在ABC ∆内部求做一正方形，
问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．
【难度】★★
【答案】如图截取，正方形边长为
127
． 【解析】设正方形CDEF 的边长为a ，易知： ////EF CB DE AC ，．
DE BE AC AB ∴=，EF AE
CB AB
=
， 1DE EF
AC CB
∴
+=． 在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，，
134a a
∴+=．
127
a ∴=
． ∴正方形DEFC 的边长为
127
． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，还考查了最优化问题，与例16区别．
A
B
C
H 【例19】如图，ABC ∆中，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在
AB 上，1ADG CDE S S ∆∆==，3BEF S ∆=，求ABC ∆的面积．
【难度】★★ 【答案】9．
【解析】过点D 作//DH CB 交AB 于点H ，可得 DGH EFB ∆≅∆． 4DAH S ∆∴= ．
易证CDE DAH ∆∆∽，2
14
CDE DAH S CD S DA ∆∆⎛⎫
∴== ⎪⎝⎭．
12CD DA ∴= ， 13CD CA ∴=．Q CDE CAB ∆∆∽， 2
1
9CDE CAB
S CD S CA ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． 9CBA S ∆∴=．
【总结】本题要灵活应用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【例20】锐角ABC ∆中，BC = 6，=12ABC S ∆，两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且 MN // BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与ABC ∆公
共部分的面积为y （y > 0）．
（1）ABC ∆中边BC 上高AD = ______；
（2）当x = ______时，PQ 恰好落在边BC 上（如图1）；
（3）当PQ 在ABC ∆外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（并写出定义域）；当x
取何值时，y 取得最大值，最大值为多少？
【难度】★★★ 【答案】（1）4；
（2）12
5；
（3）略． 【解析】
（3） Q //MN CB ，AT AM MN AD AB BC ∴==． ∴46AT x =．∴23x AT =
． 2
43
TD x ∴=-． ()222224436333x S MN TD x x x x ⎛
⎫∴=•=-=-+=--+ ⎪⎝⎭公共．
22124635y x x x ⎛⎫
∴=-+<≤ ⎪⎝⎭
，当3x =时，y 取最大值，max 6y =．
【总结】本题要灵活应用三角形内接矩形求面积，结合二次函数的求最值问题．
A
B
C D
E
F G A
B
C D P N
M
Q
A
B
C
D P
N
M Q
图1 图2
T
A
B C
D E
F
1、一线三等角与相似三角形
相关模型如下图所示：
【例21】已知，在等腰ABC ∆中，AB = AC = 10，以BC 的中点D 为顶点作EDF B ∠=∠，
分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 6，AF = 4，求底边BC 的长．
【难度】★★ 【答案】46．
【解析】Q EDC B BED ∠=∠+∠， 而EDC EDF FDC ∠=∠+∠， ∴B BED EDF FDC ∠+∠=∠+∠．
又Q EDF B ∠=∠，∴BED FDC ∠=∠．
Q AB AC =，∴B C ∠=∠．
EDB DCF ∴∆∆∽． BE BD
DC CF ∴=
．
106104
BD
DC -∴
=
-， 24DC BD ∴=g ．
又1
2
CD DB BC ==
Q ， 46BC ∴=． 【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．
模块五：一线三等角与相似三角形
知识精讲
例题解析
A
B C
D
E 【例22】如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且3
4
AB BE EC CD ==，
AD = 10，求AED ∆的面积．
【难度】★★ 【答案】24．
【解析】Q 90ABC ∠=o ，//AB CD ， ∴90DCB ABC ∠=∠=o ．
又Q 34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．
∴AEB EDC ∠=∠． ∴
3
4
AE AB ED EC ==．
Q 90EDC DEC ∠+∠=o ，
∴90AEB DEC ∠+∠=o ． ∴90AED ∠=o ．
在Rt AED ∆中， Q 10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=． 【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．
【例23】矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩
形的顶点C ．
（1）设Rt CBD ∆的面积为1S ，Rt BFC ∆的面积为2S ，Rt DCE ∆的面积为3S ，则
1S ______23S S +（用“ > ”、“ = ”、“ < ”填空）；
（2）写出图中的3对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 【难度】★★ 【答案】（1）=；
（2）BFC CED ∆∆∽；
BFC DCB ∆∆∽； CED DCB ∆∆∽．
【解析】（1）过点C 作CH BD ⊥交BD 于点H ，易得； （2）Q BCD DCE F FBC ∠+∠=∠+∠，
而90BCD F ∠=∠=o ．∴FBC DCE ∠=∠．BFC CED ∴∆∆∽．
【总结】本题主要是考查“一线三等角”模型的相似以及矩形的性质．
H
A
B
C
D
E F
Q
【例24】在矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 3，P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），
过点P 作AP ⊥PE ，垂直为P ，PE 交CD 于点E ．
（1）连接AE ，当APE ∆与ADE ∆全等时，求BP 的长；
（2）若设BP 为x ，CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式；当x 取何值时，y 的值最大？最
大值是多少？
（3）若PE // BD ，试求出此时BP 的长． 【难度】★★★ 【答案】（1）5；
（2）()213
0322y x x x =-+<<，
当32x =时，y 取最大值，最大值为9
8
； （3）
43
． 【解析】（1）APE ∆与ADE ∆全等， Q 90APE ADE ∠=∠=o ， BAE AED ∠=∠ ， 而BAE PAE ∠>∠，
ADE APE ∴∆≅∆． 3AD AP ∴==．
在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=， 225BP AP AB ∴=-=．
（2）易证ABP PCE ∆∆∽， 得
AB BP
PC CE
=
， 即23x x y =-． ∴()213
0322y x x x =-+<<．
Q 2
213139
22228
y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，
∴当32x =
时，y 取最大值，最大值为98
； （3）联结BD 交AP 于点Q ． //PE BD Q ，90APE AQD ∴∠=∠=o ．
9090QAD ADQ BAQ QAD ∴∠+∠=∠+∠=o o ，．
∴BAQ ADQ ∠=∠， Rt ABP Rt DAB ∴∆∆∽． AB BP AD AB ∴
=
， 4
3
BP ∴=． 【总结】本题考查三角形全等，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值的知识，题目比较综合．
A
B
C
D E
P
A
B
C
D
E
F
M
【例25】如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC = CD ，E 为梯形内一点， 且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，联结EF 交CD 于M ．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC 的值为（ ）
A ．53
B ．35
C ．43
D ．34
【难度】★★ 【答案】C ．
【解析】旋转后，CEB CFD ∆≅∆．
5CB CD ∴==， 3CE CF ==，
BE DF =， 90BEC DFC ∠=∠=o ． 在Rt CBE ∆中，222BE CE BC +=， 4BE ∴=． 4DF ∴=．
Q 90ECF ∠=o ，
90ECD DCF ∴∠+∠=o ．
又90DCF FDC ∠+∠=o Q
ECD FDC ∴∠=∠ //CE DF ∴
43
DM DF MC EC ∴==． 【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．
模块六：旋转与相似三角形
例题解析
H
【例26】在ABC ∆中，CA = CB ，在AED ∆中，DA = DE ，点D 、E 分别在CA 、AB 上． （1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是____________； （2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED ∆绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与 BE 的数量关系是____________．
【难度】★★ 【答案】（1）22
CD BE =
；（2）3
3CD BE =． 【解析】（1）90ACB ADE ∠=∠=o Q ∴//DE BC ∴
2
2
AD DC AE EB ==
∴2
2
CD BE =
； （2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H
120ACB ∠=o Q
30CAB ∴∠=o ∴23CA AH = ∴
23
3
23AC AB == 由ADE ACB ∆∆∽， 得：AD AC
AE AB
=
DAE CAB ∠=∠Q ，∴ACD ABE ∆∆∽
∴33CD AC BE AB ==，∴33
CD BE =． 【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识．
A
B
C D E
A
B
C
D E
图1
图2
F
A
B (Q )
C
D (O )
E
P
P
A
B
C
D (O )
A
B
C
D (O )
Q
P
Q E
F
E
F 图1
图2
图3
【例27】把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45C F ∠=∠=︒，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB
相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．
（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD ∆∽CDQ ∆，则
此时AP CQ =g ______；
（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其 中090α︒<<︒，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）8；（2）不改变． 【解析】（1）略；
（2）易证APD CDQ ∆∆∽， 得：
AP AD
CD CQ
=
AP CQ CD AD ∴•=•． 又42AC =Q ， 22CD AD ∴==， 8AP CQ ∴•=．
【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．
H 【例28】如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 2，30A ∠=︒，点E 、F 分别是线段BC 、
AC 的中点，联结EF ．
（1）线段BE 与AF 的位置关系是______，
AF
BE
=______； （2）如图2，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），联结AF 、BE ，则（1）
中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），延长FC 交AB 于点D ， 如果623AD =-，求旋转角α的度数．
【难度】★★★
【答案】（1）垂直，3；（2）成立；（3）略． 【解析】（1）略；
（2）由ACB FCE ∆∆∽， 得：AC FC
CB CE
=
．
BCE ACF ∠=∠Q ， ∴BCE ACF ∆∆∽． ∴
3AF AC
BE BC
==； （3）过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ， 623AD =-Q ， 232BD ∴=-． 在Rt DBH ∆中，60B ∠=o ， 31BH ∴=-，33DH =-．
33CH ∴=-， 45DCH ∴∠=o ， 45ACD ∴∠=o ． 135ACF ∴∠=o ．
135α∴=o ．
【总结】本题考查旋转的相关知识，特殊的直角三角形边的关系，题目比较综合，第3小题由边求角要会添置辅助线．
B
A
C
E F
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E F
图1
图2
图3
A B
C
D
E
F
【例29】如图，已知ABC ∆与ADE ∆都是等边三角形，点D 在BC 边上（点D 不与B 、C
重合），DE 与AC 相交于点F ．
（1）求证：ABD ∆∽DCF ∆；
（2）若BC = 1，设BD = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；
（3）当x 为何值时，7
9AEF ABD S S ∆∆=？
【难度】★★ 【答案】略． 【解析】
（1）ABC ∆Q 、ADE ∆是等边三角形
60,60B C E EDA ∴∠=∠=∠=∠=o
o
CDF FDA B DAB ∠+∠=∠+∠Q
,CDF DAB ∴∠=∠ ABD DCF ∴∆∆∽；
（2）由（1）得ABD DCF ∆∆∽，AB BD
DC CF ∴=
11x x y ∴=-
()201y x x x ∴=-+<<；
（3）易证ABD AEF ∆∆∽， AB AD
AE AF
∴
=
2
79AEF ABD S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 22227
9
AE AF AB AD ∴== ADE ∆Q 是等边三角形 AD AE ∴= 222279AE AF AB AE ∴== 2249
81
AF AB ∴=
1AB =Q 79AF ∴= 72199y CF ∴==-=， 22
9
x x ∴-+=
解得1221,33x x == ∴当21
33x x ==或时，79AEF ABD S S ∆∆=．
【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识．
模块七：函数与相似三角形
例题解析
A B
C
O
P
Q
x
y l
【例30】如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （a ，0）（a < 0），
联结BP ，过点P 作PC ⊥PB 交过点A 的直线l 于点C （2，b ）．
（1）求b 与a 之间的函数关系式；
（2）当a 取得最大的整数时，求BC 与x 轴的交点Q 的坐标．
【难度】★★
【答案】（1）212b a a =-+；（2）8,07Q ⎛⎫
⎪⎝⎭．
【解析】
（1）90BPO OPC BPO PBO ∠+∠=∠+∠=o Q OPC PBO ∴∠=∠
90BOP PAC ∠=∠=o Q
BPO PCA ∴∆∆∽ OP OB
AC AP
∴=
即
2
2a b a
-=
--
∴21
2
b a a =-+；
（2）Q 0a < a ∴取得最大的整数时1a =-
3
2
b ∴=-
//OB AC Q
OB OQ
AC QA
∴
=
，即2322
OQ OQ =- 87
OQ ∴=
∴8,07Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【总结】本题考查相似的判定及性质等知识．
x
y
1
23–1
–2–3
1
2
3
–1–2–3 A
B
C
O
【例31】函数k y x =和k y x =-（0k ≠）的图像关于y 轴对称，我们把函数k y x =和k y x
=- （0k ≠）叫做互为“镜子”函数，类似地，如果函数y = f （x ）和y = h （x ）的图像关
于y 轴对称，那么我们就把函数y = f （x ）和y = h （x ）叫做互为“镜子”函数．
（1）函数y = 3x – 4的“镜子”函数是________________； （2）函数223y x x =-+的“镜子”函数是________________； （3）如图所示，一条直线与一对“镜子”2y x =（x > 0）和2
y x
=-（x < 0）的图像分别交 于点A 、B 、C ，如果CB : AB = 1 : 2，点C 在函数2
y x =-（x < 0）的“镜子”函数上的
对应点的横坐标是
1
2
，求点B 的坐标． 【难度】★★ 【答案】略
【解析】（1）34y x =--； （2）2
23y x x =++； （3）分别过点A 、B 、C 作CC BB AA '''、、 垂直于x 轴，垂足分别为C B A '''、、．
设点2,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,A n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，其中0m >，0n >． 由题意，得点1,42C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
4CC '∴=,2BB m '=
，2AA n '=，A B n m ''=-,12
B C m ''=+． 易知////CC BB AA ''', 又:1:2CB AB =
所以，可得12().2
2222(4)3
n m m m n n ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 化简得3111433n m m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，
解得 110
6m ±=
（负值舍去）， 1104104,63B ⎛⎫+-∴ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【总结】本题主要难在第3问，学生不知识怎么下手，要灵活应用相似的相关知识解决问题．
H
【例32】如图，已知梯形ABCD ，AD // BC ，AB = AD = 5，3
tan 4DBC ∠=．E 为射线BD 上
一点，过点E 作EF // DC 交射线BC 于点F ，连接EC ，设BE = x ，ECF BDC
S
y S ∆∆=．
（1）求BD 的长；
（2）当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）8BD =；（2）()211
08648y x x x =-+<<． 【解析】（1）//AD BC Q ， ADB DBC ∴∠=∠．
3tan 4DBC ∠=Q ， 3
tan 4ADB ∴∠=．
过点A 作AH BD ⊥交BD 于点H ，
AB AD =Q ， 4BH HD ∴==． 8BD ∴=．
（2）//EF CD Q ， BEF BDC ∴∆∆∽， 8
BE BF x
BD BC ∴==．
∴2
2
64
BEF BDC S BE x S BD ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． Q
8BEF EFC S BF x
S FC x
∆∆==
-，
∴2864ECF BDC S x x S x
∆∆-=•
． ∴()211
08648
y x x x =-
+<<． 【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面积比可以转化为底边（或者高）的比．
A B
C
D
E F
A
B C
D
E F A
B
C
D E
F
P N M
Q
【习题1】 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD ，
垂足为F ．求证：111
AB CD EF
+=
． 【难度】★★
【答案】略． 【解析】Q AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴////AB CD EF
∴EF DF AB DB =，EF BF CD DB =
∴
1EF EF AB DC +=，即111
AB CD EF
+=
． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用．
【习题2】 如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 4cm ，AB = 8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、 AC 、BC 边的中点，点P 为AB 边上一点，过点P 作PQ // BC 交AC 于点Q ，以PQ 为
一边作正方形PQMN ，若AP = 3cm ，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．
【难度】★★ 【答案】3
4
．
【解析】Q DE 是中位线， 1
22DE BC cm ∴==．
Q D 是AB 中点， 1
42
DA BA cm ∴=
=． //PQ ED Q ， AP PQ
AD DE
∴
=
． 342PQ ∴=
， 3
2PQ ∴=． Q DN PN PD =-， ∴1
2
DN =． ∴34
S PQ DN =•=
公共． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线等知识的应用．
随堂检测
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E F
P
P
Q
图1
图2
Q
【习题3】 如图，已知ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，且 90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合．将DEF ∆绕
点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于
点Q ．
（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP = AQ 时，求证：BPE ∆≌CQE ∆；
（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE ∆∽CEQ ∆；
并求当BP = a ，9
2CQ a = 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）5
2
PQ a =．
【解析】（1）E Q 是中点，BE EC ∴=．AP AQ =Q ，BP CQ ∴=． AB AC =Q ， B C ∴∠=∠．BPE CQE ∴∆≅∆．
（2）DEF FEC B BPE ∠+∠=∠+∠Q ，而45B DEF ∠=∠=o ，BPE QEC ∴∠=∠． 45B C ∠=∠=o Q ，BPE CEQ ∴∆∆∽，
BP BE
CE CQ
∴
=
，92
a BE a CE ∴=， 29
2CE BE a ∴⋅=，
32BC a ∴=．
在Rt ABC ∆中，3AB AC a ==，
3
2
AQ a ∴=，2AP a =．
∴在Rt APQ ∆中，5
2
PQ a =．
【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．
A
B
C
D
E
F
【作业1】 如图，已知AB // EF // CD ，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你
的结论．
【难度】★★ 【答案】略
【解析】
BED BCD S BE S BC ∆∆=Q ，BED ABD S ED S AD ∆∆=，又ED EC
AD BC
=
Q ， 1BED BED BCD ABD S S S S ∆∆∆∆∴+=，即111
BCD ABD BED
S S S ∆∆∆+=
． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及同高三角形的面积比可转化为底的比．
【作业2】 已知AD 、AE 分别为的内、外角平分线，M 为DE 的中点，求证：22AB BM
AC CM
=．
【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AM ， AD AE Q 、分别是内、外角的平分线，
90DAE ∴∠=o ．
M Q 是DE 的中点，MA MD ∴=，MA MD ∴=， MAC CAD ADM ∴∠+∠=∠．
又ADM BAD B ∠=∠+∠Q ，MAC CAD BAD B ∴∠+∠=∠+∠．
BAD DAC ∠=∠Q ，MAC B ∴∠=∠， MAC MBA ∴∆∆∽
MC MA AC
MA MB AB
∴==
22AB MB AC MA ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，还有角平分线的相关知识．
课后作业
A
B
C
D E
M
【作业3】 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一 起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，它们的斜边长为2，若AFG ∆绕点旋转，AF 、
AG 与边BC 的交点分别为点D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）．
（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；
（2）ABC ∆的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角 坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D 使BD = CE ，求出点D 的坐标，并通过计算验
证222BD CE DE +=；
（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明 你的结论；若不成立，请说明理由．
【难度】★★★ 【答案】略．
【解析】（1）EAD EBA ∆∆∽；DAE DCA ∆∆∽；EBA ACD ∆∆∽；
证明：ADE B BAD ∠=∠+∠Q BAE DAE BAD ∠=∠+∠ 而B DAE ∠=∠ ADE BAE ∴∠=∠ 又B C ∠=∠Q EBA ACD ∴∆∆∽； （2）解：ABC ∆Q 、AGF ∆是等腰直角三角形， 45,FAG C ∴∠=∠=o ,ADC ADE ∠=∠Q
DAE DCA ∴∆∆∽，AED CAD ∴∠=∠．
ABC ∆Q 是等腰直角三角形， AO BC ⊥， BO OC ∴=．
DO OE ∴=，AB BD
DC CF ∴=
． AO BC ⊥Q ， DA AE ∴=． AED ADE ∴∠=∠． CDA CAD ∴∠=∠． DC CA ∴=． 2BC =Q ， 2AC ∴=．
2DC ∴=，21OD ∴=-． ()
12,0D ∴-；
由此可知：2222222BD CE ED =-=-=-Q ，，，
222BD CE DE ∴+=；
A
B
C D
E
F G
A
B
C
D
E
F
G O
x
y 图1
图2
H
九年级同步
31 / 31
（3）成立，将ABD ∆绕点A 旋转，使得AB 与AC 重合，如图，此时D 的对应点是H ，
联结HE ，可得ABD ACH ∆≅∆．
45ABD ACH ∴∠=∠=o ，BD HC =，AD AH =，
BAD HAC ∴∠=∠；45ACB ∠=o Q ，90HCE ∴∠=o
在Rt HCE ∆中，222HC EC HE +=，
45DAE ∠=o Q ，45BAD EAC ∴∠+∠=o ，即45EAC HAC ∴∠+∠=o 45HAE ∴∠=o ， DAE HAE ∴∠=∠． ADE AHE ∴∆≅∆．
DE HE ∴=． ∴222BD EC DE +=．
【总结】本题考查相似的判定和性质，以及全等的判定和性质，要会构造全等三角形来解决问题，本题比较综合．。