平行线的性质和判定

平行线的性质和判定
【知识要点归纳】
1．平行线
(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．
(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
注：点必须在直线外，而不是在直线上．
(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．
2．两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．
注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，两直线平行；
3．两直线平行的判定方法
(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．
4．平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等．
(2)两直线平行，内错角相等．
(3)两直线平行，同旁内角互补．
重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．
【课堂过关训练】
平行线的性质
1．选择题:
（1）下列说法中，不正确的是（）
A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行
（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=1
2
∠CAB，∠ABC=75°，
则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°
(1) (2) (3)
（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）
A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对
（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：
①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（5）如图4，若AB∥CD，则（）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2
C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°
（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(4) (5) (6) (7)
（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°
（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-α
C．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ
4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．
5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？
6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．
平行线的判定
1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．
3．如图3所示
（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．
（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．
（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．
4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．
5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．
6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题
9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．
10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．
11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）
图5
1 A B C D E F G
H 图7 1 2 D A C B l 1
l 2 图8
1 A B
F
C D
E G 图6
C D F E B A 图9
1
2 A
C
B F
G
E
D
图10
2 1
B
C
E
D 图11
1
2 A
B
E
F
D
C
12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．
求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．
综合练习：
1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )
A ．30°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．不能确定
2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )
A ．30°和150°
B ．42°和138°
C ．都等于10°
D ．42°和138°或都等于10°
3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．
从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24
°，则
C
图12
1
2 3
A
B D
F
∠GEF=__________．
5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．
6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．
8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．
9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF
10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．
11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。