中考数学复习考点知识专题训练31--- 四边形综合练习(基础篇)

中考数学复习考点知识专题训练 31 四边形综合练习（基础）

1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么成这个三角形为“好玩三角形”． （1）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A =

√3

2

，求证：△ABC 是“好玩三角形”；

（2）如图2，在正方形ABCD 中，点P 、Q 为BC 、CD 上的点，且BP ＝DQ ，当三角形APQ 为好玩三角形，且PQ 等于PQ 边上的中线时，求

BP

AB

．

2．在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点E 从A 出发沿AB 方向在射线AB 上运动，点F 从D 出发沿DA 方向在射线DA 上运动，两点同时出发，且运动速度相同

（1）如图1，当点E ，F 分别在边AB ，DA 上时，连接FE ，若EF ⊥AD ，AF ＝2，求DE 的长 （2）如图1，点E ，F 分别在边AB ，DA 上运动，BF ，DE 相交于点G ，连接CG ，求证：CG ＝BG +DG

（3）如图2，当点E ，F 分别在边AB ，DA 延长线上时，DE 与FB 的延长线交于点G ，试探究线段BG ，CG 与DG 的数量关系，并证明你的结论．

3．如图①，在▱ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．

（1）当点P沿A﹣D运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．

（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时，求t的值．

4．如图甲，在△ABC中．∠ACB＝90°．AC＝4．BC＝3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连

接PQ，设运动时间为t秒钟（0＜t＜4）．

（1）设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；

（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求实数t的值．

5．如图．在△ABC中．AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1cm/s．同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动．速度为1cm/s，EF∥BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ．若设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？

（2）设四边形QDCP的面积为y（cm2），求出y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形QDCP：S△ABC＝9：20？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ 的距离h；若不存在，请说明理由．

6．如图，在▱ABCD中，O是对角线BD的中点，AD⊥BD，AB＝4cm，∠BAD＝60°，动点P从点A 出发，以2cm/s的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，连结PO并延长交折线CD﹣DA于点Q，将线段PQ绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结QE，设点P的运动时间为t（s）

（1）当PQ与▱ABCD的边垂直时，求PQ的长；

（2）直接写出点E落在▱ABCD内部时t的取值范围；

（3）设△PQE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（4）当直线BQ将▱ABCD的面积分成1：3的两部分时，直接写出△PQE与▱ABCD重叠部分图形的面积．

7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF＝90°，点E、F 分别在边AD、AB上．

（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF＝DE；②若正方形的边长为2√3，当∠DOE＝15°时，求线段EF的长；

（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD＝3BP时，证明：PE＝2PF．

8．如图，P为边长为6的正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），Q在CD上，且CQ ＝BP，连接AP、BQ，将△BQC沿BQ所在的直线翻折得到△BQE，延长QE交BA的延长线于点F．

（1）试探究AP与BQ的数量与位置关系，并证明你的结论；

（2）当E是FQ的中点时，求BP的长；

（3）若BP＝2PC，求QF的长．

9．已知直角坐标系中菱形ABCD中的位置如图，C、D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，P运动到D时整个运动停止，设运动时间为t秒．

（1）填空：菱形ABCD的边长、面积是、高BE的长是；

（2）若点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度．当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数解析式及定义域；

（3）若点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒k个单位长度（0＜k≤2）．当t＝4秒时，△APQ恰好是一个等腰三角形，求k的值．

10．如图，在矩形ABCD中，AB=√3AD，点P在线段AB上，满足PB＝PD，点M在射线CD上，点C关于直线BM的对称点为点C′，连接C′B、C′M，射线MC′与射线DP交于点N．（1）求证：∠PDC＝60°；

（2）求证：当M在线段CD上时，∠MBN＝60°；

（3）已知AB＝9，请直接写出当点M在CD边的延长线上时，线段NC′与NP的数量关系：．