【100所名校】江苏省盐城市伍佑中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

江苏省盐城市伍佑中学2017-2018学年
高一上学期期末考试
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第I 卷（非选择题）
一、填空题
1．函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期是________. 2．2．函数(
)1
1
f x x =+的定义域为_________. 3．若(),0
{
12,0x x f x x x ≤=->，则12f f
⎡
⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
_________. 4．若()()1,3,,6a b x ==，且//a b ，则x =___________.
5．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为_________ 2
cm . 6．lg2
22110
log log 63⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
________.
7．已知函数()23
log f x x x
=-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+，其中k 为整数，则k =_______.
8
．若函数y =R ，则a 的取值范围为__________. 9．已知函数3sin 2,0,42y x x ππ⎛⎫
⎡⎤=+
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
的单调增区间为[]0,m ，则实数m 的值为________. 10．若方程()2
71320x m x m -+--=的一个根在区间()01，上，另一根在区间()12，上，则实数m 的取值范
围为________.
11．已知角α的终边经过点()1,2P -，则
()()sin 2cos 2sin sin 2a παπαπα++-=⎛⎫
++ ⎪
⎝⎭
_________.
12．如图，在矩形ABCD 中，已知3,2AB AD ==，且1
,2
BE EC DF FC ==
，则AE BF ⋅=__________.
13．已知函数()()1
,0
sin ,{ ,0
x f x x g x x
lgx x -<==>，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,4ππ-内的零点个数为___________.
14．若函数()()sin 13f x x πϖω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
在区间54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，则实数ω的取值范围是________.
二、解答题
15．已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

． （1）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

； （2）若错误！未找到引用源。

，求实数错误！未找到引用源。

的取值范围． 16．已知函数()()2cos sin cos ,f x x x x x R =+∈. (1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)求函数()f x 在区间02π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
，上的最大值和最小值.
17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()2,1,4,5,1,1A B C --。

(1)求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)若向量AC tOB -与向量OB 垂直，求实数t 的值. 18．已知02πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭，， 2πβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，， (
)14cos ,sin 36βαβ-=-+=.
(Ⅰ)求tan2β的值； (Ⅱ)求α的值.
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
19．如图，某市准备在道路错误！未找到引用源。

的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段错误！未找到引用源。

，该曲线段是函数错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

时的图象，且图象的最高点为错误！未找到引用源。

.赛道的中间部分为长错误！未找到引用源。

千米的直线跑道错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

.赛道的后一部分是以错误！未找到引用源。

为圆心的一段圆弧错误！未找到引用源。

.
(1)求错误！未找到引用源。

的值和错误！未找到引用源。

的大小；
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形错误！未找到引用源。

区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路错误！未找到引用源。

上，一个顶点在半径错误！未找到引用源。

上，另外一个顶点错误！未找到引用源。

在圆弧错误！未找到引用源。

上，且错误！未找到引用源。

,求当“矩形草坪”的面积取最大值时错误！未找到引用源。

的值.
20．20．已知()2
21g x x ax =-+在区间[]13，上的值域[]
04，.
(1)求a 的值；
(2)若不等式()
240x x g k -⋅≥在[
]
1,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；
(3)若函数(
)212
321
21
x x x
g y k k -=+⋅
---有三个零点，求实数k 的取值范围.
江苏省盐城市伍佑中学2017-2018学年
高一上学期期末考试
数 学 答 案
1．π
【解析】函数的最小正周期为22
T π
π==． 答案： π
2．()(]
,11,2-∞-⋃- 【解析】由20{
10
x x -≥+≠得21x x ≤≠-且，
∴函数的定义域为()(]
,11,2-∞-⋃-． 答案： ()(]
,11,2-∞-⋃- 3．0
【解析】∵1112022f ⎛⎫
=-⨯=
⎪⎝⎭
， ∴()1002f f
f ⎡
⎤
⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
． 答案： 0 4．2
【解析】∵()()1,3,,6a b x ==，且//a b ， ∴36x =，解得2x =． 答案：2 5．9
【解析】∵扇形的半径为3cm ，圆心角为2弧度， ∴扇形的弧长为236l =⨯=， ∴扇形的面积为()
211
63922
S lr cm ==⨯⨯=． 答案：9 6．1
【解析】原式222211=2log log 62log 62log 2133⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-+=-⨯=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
．
答案：1
7．2
【解析】由题意得()()()2231
130,2log 20,31log 3022
f f f =>=-=>=-<， ∴()()230f f <， ∴函数()23
log f x x x
=-的零点()02,3x ∈， ∴2k =． 答案：2 8．[]
04，
【解析】由题意得210ax ax ++≥在R 上恒成立． ①当0a =时，则10≥恒成立， ∴0a =符合题意； ②当0a ≠时， 则2
0{
40
a a a >-≤，解得04a <≤．
综上可得04a ≤≤，
∴实数a 的取值范围为[]
0,4．
答案： []
0,4 点睛：
不等式20ax bx c >＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时， 0,0b c >＝；当0a ≠时， 0
{
0a >∆<；不等式2
0ax bx c <＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时， 0,0b c <＝；当0a ≠时， 0
{
a <∆<． 9．
8
π 【解析】由222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，
得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈， 又02
x π
≤≤， ∴08
x π
≤≤
，
即函数3sin 2,0,42y x x ππ⎛⎫
⎡⎤=+
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的单调增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
∴8m π
=
．
答案： 8
π
10．()4,2--
【解析】设()()2
7132f x x m x m =-+--，
由题意得()()()()()020
{
171320 22821320
f m f m m f m m =-->=-+--<=-+-->，即2{4 0
m m m <->-<，解得42m -<<-． ∴实数m 的取值范围为()4,2--． 答案： ()4,2-- 11．-4
【解析】∵角α的终边经过点()1,2P -， ∴tan 2α=- ∴
()()sin 2cos 2sin 2cos tan 222
4sin cos tan 121
sin sin 2a a παπααααπααα++--+-++=
===-++-+⎛⎫
++ ⎪
⎝⎭
．
答案： 4- 12．-4
【解析】由题意得12
,23
AE AB BE AB AD BF BC CF AB AD =+=+=+=-+， ∴221222123332AE BF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⎛⎫
⋅=+
⋅-+=-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21
94432=-⨯+⨯=-
答案： 4-
13．5
【解析】令()()()0h x f x g x =-=，可得()()f x g x =
在同一坐标系内画出函数()y f x =和()y g x =在区间[]
2,4ππ-上的图象，如图所示，
由图象可得两函数图象的交点有5个，
所以函数()()()h x f x g x =-的零点个数为5． 答案：5
点睛：判断函数零点个数的方法
(1)直接法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点；
(2)图象法：画出函数f (x )的图象，则图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数；
(3)将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数；
(4)二次函数的零点问题，可通过相应的二次方程的判别式Δ来判断． 14．7463
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
【解析】由题意可得函数()f x 的最小正周期,12
T ππ
ωω=≥>, ∴12ω<≤.
∵函数sin y x =的最小正周期为π，单调减区间为,,2k k k Z π
ππ⎡
⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，
又10ω>>， 由,2
3k x k k Z π
π
πωππ+≤+
≤+∈，
得
2+,63k k x k Z π
ππ
πω
ωωω
+
≤≤∈， ∴函数()()sin 03f x x πϖω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的单调减区间为2,+,63k k k Z ππππωωωω⎡⎤
+∈⎢
⎥⎣⎦
． 由题意得函数()f x 在区间54ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，上单调递减，
∴][52,
,+,463k k k Z ππππππωωωω⎡
⎤
⊆+∈⎢⎥⎣
⎦
，
∴6{ 2534
k k π
ππ
ωωπππ
ωω+
≤+≥，解得142,653k k k Z ω⎛⎫+≤≤+∈ ⎪⎝⎭． 当0k =时，
18615ω≤≤，不合题意；当1k =时， 74
63
ω≤≤，符合题意． ∴实数ω的取值范围是74,63⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
答案： 74,63⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
点睛：解答本题时要注意以下两点： （1）函数()()sin 03f x x πϖω⎛⎫
=+
> ⎪
⎝
⎭
的周期是函数()sin 03y x πϖω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
周期的一半，即T πω
=
； （2）由函数()f x 在区间54ππ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减可得， 5,
4ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
是函数()f x 单调减区间的子集，由此可得到ω关于k 的不等式，对不等式中的k 进行适当的赋值可得结果．
15．（1）错误！未找到引用源。

（1）错误！未找到引用源。

．
【解析】试题分析：（1）当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，求交集即可； （2）错误！未找到引用源。

，即A 是B 的子集，结合数轴分析即可得到不等关系，从而求解. 试题解析：（1） 若错误！未找到引用源。

， 集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．
则错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

； （2） 若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

， 所以实数错误！未找到引用源。

的取值范围是错误！未找到引用源。

．
点睛：本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域值域问题，属于容易题.解决集合问题，首先要化简集合，一般要进行不等式求解，函数定义域、值域等相关问题的处理，化简完成后，进行集合的交并补相关运算，注意利用数轴，数形结合，特别是端点处值的处理，一定要细心谨慎. 16．（1）()3,88k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
（2
1，最小值0 【解析】试题分析： （1）函数可化为(
)214f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，将24x π+作为一个整体，代入正弦函数的增区间可得结果．（2）
由02
x π
≤≤
可得
524
4
4x π
π
π≤+
≤
，所以02114x π⎛
⎫≤++≤ ⎪⎝
⎭，可得函数的最大值和最小值．
试题解析：
(1) ()()2
2cos sin cos 2sin cos 2cos f x x x x x x x =+=+
sin2cos21x x =++
214x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
由222,242
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，
解得3,88
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈，
所以函数()f x 单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
． (2)∵02
x π
≤≤，
∴
524
4
4
x π
π
π≤+
≤
．
∴sin 2124x π⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭
∴02114x π⎛
⎫≤
++≤ ⎪⎝
⎭．
∴函数()f x
1，此时24
2
x π
π
+=
，即8
x π
=
；
函数()f x 取得最小值0，此时524
4x π
π+=
，即2
x π
=． 17．（1
（2）22
41
t =- 【解析】试题分析：
（1）由题意可求得AB AC +， AB AC -，即为四边形两条对角线的长．（2）根据题意求得()4,5OB =和
()34,25AC tOB t t -=----，根据两向量的数量积为零可得22
41
t =-
． 试题解析：
(1) ()()2,4,3,2AB AC ==--,
由()1,2AB AC +=-,得5AB AC +=, 由()5,6AB AC -=，得61AB AC -=
故以线段,
AB AC
为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为
(2)由题意得()4,5OB =,
所以()34,25AC tOB t t -=----,
因为向量AC tOB -与向量OB 垂直， 所以()
0AC tOB OB -⋅=,
所以()()3442550t t --⨯+--⨯=， 解得22
41
t =-
. 所以实数t 的值为22
41-．
18．（1
（2）4
π
α=
【解析】试题分析：
（1）由题意先求得sin β，由此可得tan β，最后根据倍角公式可得tan2β．（2）结合条件可得
(
)cos αβ+=
(
)cos cos )ααββ⎡⎤=+-=⎣⎦，再根据02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，可得 4
π
α=
．
试题解析： (1)∵1cos 23πβπβ⎛⎫
∈=-
⎪⎝⎭
，，,
∴sin β==
∴sin tan cos β
ββ
=
=-
∴2
2tan tan21tan 7
βββ=
=-． (2)由022ππαβπ⎛⎫
⎛⎫∈∈ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
，，，， ∴322ππ
αβ⎛⎫
+∈
⎪⎝
⎭
，， 又(
)sin αβ+=
∴()
cos αβ+==
． ∴()()
()cos cos )cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++=
⎣⎦， ∵02πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，
∴4
π
α=
.
点睛：
（1）解决给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．
（2）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，则选正弦较好． 19．（1）错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

；（2）错误！未找到引用源。

.
【解析】试题分析：
（1）由题意可得错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

，从而可得曲线段错误！未找到引用源。

的解析式为错误！未找到引用源。

，令x=0可得错误！未找到引用源。

，根据错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

,因此错误！未找到引用源。

（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点错误！未找到引用源。

在弧错误！未找到引用源。

上，由条件可得“矩形草坪”的面积为 错误！未找到引用源。

，然后根据错误！未找到引用源。

的范围可得当错误！未找到引用源。

时， 错误！未找到引用源。

取得最大值． 试题解析：
(1)由条件得错误！未找到引用源。

. ∴错误！未找到引用源。

.
∴曲线段错误！未找到引用源。

的解析式为错误！未找到引用源。

. 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

. 又错误！未找到引用源。

， ∴错误！未找到引用源。

, ∴错误！未找到引用源。

.
(2)由(1)，可知错误！未找到引用源。

.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点错误！未找到引用源。

在弧错误！未找到引用源。

上，故错误！未找到引用源。

.
设错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

,“矩形草坪”的面积为
错误！未找到引用源。

. ∵错误！未找到引用源。

， ∴错误！未找到引用源。

, 故当错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

取得最大值． 20．（1）1a =（2）1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
（3）()0+∞，
【解析】试题分析：
（1）根据函数()g x 图象的开口方向及对称轴与区间[]
0,3的关系得到函数的最值后，根据条件可得1a =．（2）由已知可得()
2
2
22140x
x x k -⨯+-⋅≥在[]1,x ∈+∞上恒成立，
分离参数可得2
111222x x k ⎛⎫
≤+-⋅ ⎪⎝⎭在[]1,x ∈+∞上恒成立，换元令12x t =，则102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，可得
212k t t ≤+-⋅在102t ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，上恒成立，构造函数得到()221h t t t =-+的最小值为1144k ≤，故得．
（3）由题意可得方程(
)
()
2
21221123210210x x x x k k --⨯-++--=-≠，有三个不同的根，令21x t -=，则得()()()2
32210*t k t k -+++=，根据函数有3个零点可得方程()*有两个不同的实数解12,t t ，且
1201,1t t <，或1201,1t t <<=．然后根据方程根的分布得到不等式可得所求范围．
试题解析：
(1)由题意得()()2
22211g x x ax x a a =-+=-+-，在区间[]13，上值域[]
04，． ①当13a ≤≤时，
则()g x 的最小值为()2
1g a a =-，
由()2
10g a a =-=，解得1a =±，
∴1a = ，
此时()()2
1g x x =-，满足在区间[]13，上值域[]
04，. ②当()3,a g x >时在区间[]
13，上单调递减， 则()g x 的最小值为()3106g a =-， 由()31060g a =-=，解得5
3
a =
，不合题意，舍去． ③当1a <时，则()g x 在区间[]
13，上单调递增， 则()g x 的最小值为()122g a =-，
由()1220g a =-=，解得1a =．不合题意，舍去． 综上1a =． (2)由已知可得()
2
2
22140x
x x k -⨯+-⋅≥在[]1,x ∈+∞上恒成立，
可得化为2
111222x x k ⎛⎫
≤+-⋅ ⎪⎝⎭
在[]1,x ∈+∞上恒成立，
令1
2x
t =
， 因[
)1,x ∈+∞，故102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，，
则212k t t ≤+-⋅在102t ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
，上恒成立，
记()2
21h t t t =-+， 102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，，
故()h t 在区间102⎛⎤ ⎥⎝⎦
，上单调递减，
所以()min 11
24
h t h ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故14
k ≤
． 所以k 的取值范围是1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
(3)由题意得函数2
21221
2
321
21
x x x x
y k k --⨯-=
+⋅
---有三个零点， 故方程(
)
()
2
21221123210210x x x x k k --⨯-++--=-≠，有三个不同的根， 令21x t -=， ()0,t ∈+∞， ∵211x
->-，
∴当0x <时， 2112,x x t t =-=-的范围()01，且单调递减； 当01x <<时2121,x x t t =-=-的范围()01，且单调递增； 当1x =时1t =，
当1x >时2121,x x t t =-=-的范围()1+∞，且单调递增． 则()()2
32210t k t k -+++=有两个不同的实数解12,t t ，
已知函数3个零点等价于其中1201,1t t <，或1201,1t t <<=. 记()()()2
3221h t t k t k =-+++，
则()210{
10
k h k +>=-< ① 或()210
{10 3201
2
k h k k +>=-=+<< ②
解不等组①，得0k >，而不等式组②无实数解， 所以实数k 的取值范围是()0+∞，. 点睛：
（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． （2）解决二次型的指数函数问题的常用方法是换元法，通过换元转化为一般的二次函数问题处理，换元时要注意新元的范围．
（3）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值；也可通过分离参数后，再求最值．解题时一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．。