信号与系统第七章 系统函数

=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
ϕ (ω)
O
1
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ϕ＝－θ 1
− 45D
RC
− 90D
低通网络，截止频率位 于ω = 1 处 RC
ω ω
pk : H(z) 的极点，可以是不同的实数或共轭复数，
决定了h(n)的特性。其规律可能是指数衰减、上升，
或为减幅、增幅、等幅振荡。 A0 , Ak :与H(z)的零点、极点分布都有关。
第 11 页
极点位置与h(n)形状的关系
j Im z
−1
O
+1
Re z
第 12 页
ω =0
(1) p = a (0 < a < 1) (2) p = 1 (3) p = b (b > 1) (4) p1 = p2 = 1
m
∏(s − zj )
j=1
=K n ∏ (s − pk ) k =1
z1 , z2 ⋅ ⋅ ⋅ zn 系统函数的零点
p1 , p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn 系统函数的极点
在s平面上，画出H(s)的零极点图： 极点：用×表示，零点：用○表示
第 3页
例
H ( s)
=
s(s − 1 + j1)(s − 1 − j1) (s + 1)2(s + j2)(s − j2)
极点：p1 = p2 = −1, p3 = − j2, p4 = j2
零点：z1 = 0, z2 = 1 − j1, z3 = 1 + j1, z4 = ∞
画出零极点图：
jω
j2
1+ j
−1 0
σ
1− j
− j2
第 4页
例：已知H(s)的零、极点分布图如图示，并且h(0+)=2。
求H(s)的表达式。
= 2an(− 1)n u(n)
(2) p = e±jπ = −1
2cos(π )u(n) 等幅振荡
= (− 1)n u(n)
(3) p = b e±jπ = −b (b > 1)
2bn cos(π )u(n) 增幅振荡
= 2bn(− 1)n u(n)
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利用z～s平面的映射关系
s平面
极点位置 h(t)特点
随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
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例
确定图示系统的频响特性。
H (s) = V2(s) = R
V1(s) R + 1 sC
H(s) = s s+ 1 RC
( ) H jω
=
jω
jω − ⎜⎛ −
1
= N1 ejψ1 ⎟⎞ M1 ejθ1
⎝ RC ⎠
零点：z1 = 0
极点：p1
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t ↑,
h(t ) → 0 ，H (s) 这表明的极点位于左半平面，由此可知， 收敛域包括虚轴，F (s)和F (jω ) 均存在，两者可通用，只
需 s → jω 将即可。 第 8页
结论
LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。
① H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。 即当t→∞时，响应均趋于0。 ② H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态分量。 ③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。
jω
j2
解：由分布图可得
H (s) = Ks = Ks (s + 1)2 + 4 s 2 + 2s + 5
-1 0
σ
-j2
根据初值定理，有
h(0+) = lim sH (s) = lim Ks 2 = K
s→∞
s→∞ s 2 + 2s + 5
H (s) = 2s s2 + 2s + 5
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二、系统函数H(·)与时域响应h(·)
z
N
=
Ak z
k=0 z − pk
=
A0
+
N k =1
Ak z z − pk
h(n) ↔ H (z)
பைடு நூலகம்∑ ∑ 所以
h(n) =
Z
−1
⎡ ⎢
A0
⎣
+
N k =1
Ak z z − pk
⎤ ⎥ ⎦
=
A0δ
(n) +
N k =1
Ak ( pk )n u(n)
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由零极点分布确定单位样值响应(续)
N
h(n) = A0δ(n)+ ∑ Ak ( pk )n u(n) k =1
虚轴上
等幅
原点时 左半平面
u(t) ↔ 1
s 衰减
右半平面 增幅
z平面
极点位置 h(n)特点
单位圆上
θ=0 z =1 单位圆内
等幅
u(n) ↔ z
z−1 减幅
单位圆外 增幅
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离散因果系统
H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z平面与s平面的影射关系，得结论：
许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函
数的零、极点分布表现出来。
主要优点：
1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量 （自由／强迫，瞬态／稳态）；
3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
第 2页
H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1．系统函数的零、极点
H (s) = A(s) = K (s − z1 )(s − z2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (s − z j ) ⋅ ⋅ ⋅ (s − zm ) B(s) (s − p1 )(s − p2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (s − pk ) ⋅ ⋅ ⋅ (s − pn )
2cos⎜⎛ 3nπ ⎟⎞u(n) 等幅振荡 ⎝4⎠
2bn cos⎜⎛ 3nπ ⎟⎞u(n) 增幅振荡 ⎝4⎠
第 16 页
ω = π, Ω = ω = ωs (周期2, 每周期2个样值) Ts 2
(1) p = a e±jπ = −a (0 < a < 1) 2an cos(π )u(n)
减幅振荡
H (s) = 1 , 极点在原点, h(t) = tu(t), t → ∞, h(t) → ∞ s2
H(s)
=
(s
1 + a)2
, 极点在实轴上，
h(t) = t e−αt u(t),α > 0, t → ∞, h(t) → 0
H(s)
=
(s2
2s + ω2 )2
, 在虚轴上，
h(t) = t sin tu(t), t → ∞, h(t) 增幅振荡
时域： lim h(t ) = 0 t→∞
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 """"存在 傅里叶变换 """"存在
第 21 页
二．几种常见的滤波器
H (jω ) 低通滤波器
H(jω )
高通滤波器
通带
阻带
O
ωc
截止频率
ωO
ωc
ω
H (jω ) 带通滤波器
H(jω )
带阻滤波器
O
ωc1
ωc2
ωO
ωc1
ωc2
ω
第 22 页
三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
m
∏
(s
−
z
j
)
m
∏
(jω
−
z
j
)
H (jω) = H (s) s=jω = K
j =1 n
= K j=1
s = jω
n
∏ (s − Pi )
∏ (jω − pi )
i=1
i =1
可见H (jω)的特性与零极点的位置有关。
第七章 系统函数
§7.1 系统函数与系统特性
¾ 系统函数的零、极点分布图 ¾ 系统函数H(·)与系统的因果性 ¾ 系统函数与时域响应 ¾ 系统函数与频率响应
■
第 1页
序言
冲激响应h(·)与系统函数H(·) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。
在s(z)域分析中，借助系统函数在s(z)平面零点与 极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的
H ( s)
=
s2
ω + ω2
,
p1 = jω, 在虚轴上
h(t) = sinωtu(t)，等幅振荡
H ( s)
=
(s
ω +α )2
+ ω2
,
p1 = −α + jω, p2 = −α − jω , 共轭根
当 α > 0 ，极点在左半平面，衰减振荡
当 α < 0，极点在右半平面，增幅振荡
第 7页
二阶极点
2
⎪⎧ω = 0 ⎪
ϕ (ω) = π
2
⎪⎨ω ⎪ ⎪ω
= =
1 ϕ (ω) =
RC
∞ ϕ (ω) = 0
π 4
⎪⎩
jω
M1
N1
θ1
ψ1 σ
−1
O
RC
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
X
例
研究下图所示RC低通滤波网络 +
的频响特性。
解:
H
(jω)
=
V2 V1
(jω) (jω)
几种典型情况
jω
jω0
−α
O
− jω0
α
σ
第 6页
一阶极点
H(s) = 1 , s
p1 = 0在原点， h(t ) = L−1[H (s)] = u(t )
H(s) = 1 , s+a
p1 = −a
a > 0, 在左实轴上 , h(t) = e−at u(t), 指数衰减
a < 0, 在右实轴上 , h(t) = e−at u(t),−a > 0, 指数增加
即当t→∞时，响应均趋于∞。
第 9页
离散系统由零极点分布确定单位样值响应
M
∑ br z −r
( ) H
z
=
r=0 N
∑ ak z−k
k=0
( ) M
∏ 1 − zr z−1
∏ ( ) = G
r =1 N
1 − pk z −1
k =1
展成部分分式：（假设无重根）
zr : 零点 pk : 极点
因为
∑ ∑ ( ) H
=
−
1 RC
+
1
+
V1 (s )
sC R V2(s)
−
−
jω
M1
N1
θ1
ψ1 σ
−1
O
RC
第 26 页
H (jω)
=
ω ω2 + ⎜⎛ 1 ⎟⎞2
⎝ RC ⎠
⎧ω = 0 H (jω) = 0
⎪
⎪⎨ω = 1 H (jω) = 1
⎪ RC
2
⎪⎩ω = ∞ H (jω) = 1
ϕ (ω) = π − arctan CRω
减幅振荡
⎝4⎠
±jπ
(2) p = e 4
2cos⎜⎛ n π ⎟⎞u(n) 等幅振荡 ⎝4⎠
±jπ
(3) p = b e 4 (b > 1)
2bn cos⎜⎛ n π ⎟⎞u(n) 增幅振荡 ⎝4⎠
第 14 页
ω = π , Ω = ω = ωs (周期4，一周期有4个样值)
2
Ts 4
p
=
±
e
( 二阶极点)
z z−a
z z−1 z z−b z2
(z − 1)2
a n u(n) u( n) bnu(n) nu( n)
第 13 页
ω = π , Ω = ω = ωs (周期8，一周期有8个样值)
4
Ts 8
±jπ
(1) p = a e 4
(0 < a < 1)
2an cos⎜⎛ n π ⎟⎞u(n)
•定义 •几种常见的滤波器 •根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
■ 第 20 页
一．定义
若系统函数H(s)的收敛域包含虚轴（对于因果系统， H(s)的极点均在左半平面） ，则系统存在频率响应， 频率响应与系统函数之间的关系为
H(jω)=H(s)|s= jω
前提：稳定的因果系统。
有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
jω
jω
θi
Mi
Nj
zj
ψj
pi Nj
zj
ψj
σ O
σ O
jω 是滑动矢量，jω
矢量变, 则N
j、ψ
和
j
M i、θ
都
i
发生变化。
第 24 页
由矢量图确定频率响应特性
( ) H
jω
=K
N1 e jψ1 N 2 e jψ2 " N m e jψm M1 e jθ1 M2 e jθ2 " Mn e jθn
令分子中每一项 jω − z j = N j ejψ j
分母中每一项 jω − Pi = Mi ejθi 将 jω − z j、jω - pi都看作两矢量之差，将 矢量图画于复 平面内。