2019-2020高三文科数学一轮单元卷：第十六单元 立体几何综合 A卷

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）
第十六单元 立体几何综合
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，O A B '''△是水平放置的OAB △的直观图，则OAB △的面积为（ ）
A ．6
B ．32
C ．12
D ．62
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是（ ）
A ．()12π:2π+
B ．()14π:4π+
C ．()12π:π+
D ．()14π:2π+
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．180
B ．200
C ．220
D ．240
4．已知两直线m 、n 和平面α，若m α⊥，n α∥，则直线m 、n 的关系一定成立的是（ ）
A ．m 与n 是异面直线
B ．m n ⊥
C ．m 与n 是相交直线
D ．m n ∥
5．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是（ ）
A ．3
B ．3
C ．4
D ．5
6．如果一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（ ）
A ．323cm
B ．343cm
C ．33cm 8
D ．34
3
cm 3
7．已知直线1l 、2l ，平面α，21l l ∥，1l α∥，那么2l 与平面α的关系是（ ）．
A ．1l α∥
B ．2l α⊂
C ．2l α∥或2l α⊂
D ．2l 与α相交
8．若长方体的一个顶点上三条棱长分别为3，4，5．则长方体外接球的表面积为（
） A ．40π B ．35π C ．50π D ．60π
9．在正四面体ABCD 中，E 为AB 的中点，则CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．3
6 B ．1
6 C ．3
3 D ．1
3
10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：
①l m αβ⊥⇒∥； ②l m αβ⇒⊥∥；
③l m αβ⊥⇒∥； ④l m αβ⇒⊥∥；
其中正确命题的序号是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③
D ．②④
11．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A ．4π3
B ．2π3
C ．3π2
D ．π6
12．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．1023+
B ．103+
C ．123+
D ．1123+
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．底面边长和侧棱长均为2的正四棱锥的体积为__________．
14．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．2π
B ．4π3
C ．21π
D ．23π
15．已知m 、n 是两条不重合的直线α，β，γ是三个两两不重合的平面给出下列四个命题：
（1）若m α⊥，m β⊥，则αβ∥
（2）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥
（3）若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥
（4）若m β∥，βγ∥，则m γ∥
其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
16．（2017新课标全国Ⅰ，文16）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图是一个以111A B C 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知11112A B B C ＝＝，11190A B C ∠︒＝，14AA ＝，13BB ＝，12CC ＝，求：
（1）该几何体的体积；
（2）截面ABC 的面积．
18．（12分）如图，四边形ABCD 是正方形，PD MA ∥，PD MA ≠，PM ⊥平面CDM ．
（1）求证：平面ABCD ⊥平面AMPD ；
（2）判断直线BC ，PM 的位置关系，并说明理由．
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，PA PC ⊥，120ADC ∠=︒底面ABCD 为菱形，G 为PC 中点，E ，F 分别为AB ，PB 上一点，442AB AE ==，4PB PF =
（1）求证：AC DF ⊥；
（2）求证：EF ∥平面BDG ；
（3）求三棱锥B CEF -的体积．
20．（12分）在四棱锥P ABCD －中，90ABC ACD ∠∠︒＝＝，60BAC CAD ∠∠︒＝＝，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，=PA 2AB=2．
（1）求证：PC AE ⊥；
（2）求证：CE ∥平面PAB ；
21．（12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，2AD BC =，AB BC ⊥，点E 为PD 中点．
（1）求证：AB PD ⊥；
（2）求证：CE ∥平面PAB ．
22．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面PAB ，PAC △为等边三角形，AB PB ⊥且2AB PB ==，O 为PA 的中点，点M 在AC 上．
（1）求证：平面BOM ⊥平面PAC ；
（2）求点P 到平面ABC 的距离．
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）
第十六单元 立体几何综合
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C 【解析】OAB △的面积为164122
⨯⨯=，故选C ． 2．【答案】A
【解析】所求的比为：2
2
212π112π2π2π1⎛⎫⨯⨯+ ⎪+⎝⎭=，故选A ． 3．【答案】D
【解析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4． ∴1228425102108102402
S =⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=表面积（），故选D ．
4．【答案】B
【解析】当一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线．故选B ．
5．【答案】B 【解析】324π4π3
R R =，3R =，选B ． 6．【答案】D
【解析】由已知中的三视图可得该几何体为四棱锥，∵正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，∴棱锥的底面棱长为2，高为3，
则棱锥的体积143V 22333
=⨯⨯⨯=，故选D ． 7．【答案】C
【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，
取1AB l =，2CD l =，当取面11CDD C 为平面α时，满足12l l ∥，1l α∥，此时2αl ⊂；
当取面1111B A D C 为平面α时，满足12l l ∥，1l α∥，此时2l α∥．
当直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥时，2l 与平面α的关系是2l α∥或2αl ⊂，故选C ．
8．【答案】C
【解析】设球的半径为R ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，
则2222234550R =++=（），∴522
R =．∴24π50πS R =⨯=球，故选C ． 9．【答案】A
【解析】如图，取AD 中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为AB 的中点，∴EF DB ∥，
则CEF ∠为异面直线BD 与CE 所成的角，∵ABCD 为正四面体，E ，F 分别为AB ， AD 的中点，∴CE CF =．设正四面体的棱长为2a ，则EF a =，()2223EF a a a a =-=．
在CEF △中，由余弦定理得：222223cos 2623CE EF CF a CEF CE EF a
+-∠===⋅⨯，故选A ．
10．【答案】D
【解析】在①中，m 可在平面β内任意转动，故l 与m 关系不确定，故①是假命题；
在②中，由l α⊥，αβ∥，得l β⊥，又m β⊂，故l m ⊥，故②是真命题；
在③中，平面β可绕m 转动，故α与β关系不确定，故③是假命题；
在④中，由l m ∥，l α⊥，得m α⊥，又∵m β⊂，故αβ⊥，故④是真命题，故选D ．
11．【答案】A
【解析】体积最大的球即正方体的内切球，因此22r =，1r =，体积为
4π3，故选A ． 12．【答案】C
【解析】由三视图可知，几何体是一个五面体，五个面中分别是：一个边长是2的正方形；一个边长是2的正三角形；两个直角梯形，上底是1，下底是2，高是2；一个底边是2，腰长是5的等腰三角形，求出这五个图形的面积()211312212222221232222
+⨯
+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选C ．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】423 【解析】设正四棱锥为P ABCD -，O 为底面中心，
则高PO 为()2222222PA AO -=-
=，所以体积为21422233
⨯⨯=． 14．【答案】C
【解析】根据题意条件，考查所有棱的长都为a 时的问题：
三棱柱是棱长都为a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为
222722sin6012a a R a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪︒⎝⎭⎝⎭
，球的表面积为22774ππ123S a a =⨯=，
将3a =代入上式可得该球的表面积为21π．本题选择C 选项．
15．【答案】（1）
【解析】（1）根据线面垂直的性质可知若m α⊥，m β⊥，则αβ∥成立；
（2）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥或α与β相交；故（2）不成立；
（3）根据面面平行的可知，当m 与n 相交时，αβ∥，若两直线不相交时，结论不成立；
（4）若m β∥，βγ∥，则m γ∥或m γ⊂，故（4）不成立，故正确的是（1），故答案为（1）．
16．【答案】36π
【解析】三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，
若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，
可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932
r r r ⨯⨯⨯⨯=，解得3r =．球O 的表面积为：24π36πr =．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）6；（2）6．
【解析】（1）过C 作平行于111A B C 的截面22A B C ，交1AA ，1BB 分别于点2A ，2B ． 由直三棱柱性质及11190A B C ∠︒＝可知2B C ⊥平面22ABB A ， 则该几何体的体积()11122221112221222=6232
A B C A B C C A -BB A V =V V =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＋-． （2）在ABC △中，()22=243=5AB +-，()22=232=5BC +-， ()()22=2242=23AC +-，则()()22
1=2353=62ABC S ⨯⨯-△． 18．【答案】（1）见解析；（2）异面，见解析．
【解析】（1）∵PM ⊥平面CDM ，且CD ⊂平面CDM ，∴PM CD ⊥，
又四边形ABCD 是正方形，∴CD AD ⊥，而梯形AMPD 中PM 与AD 相交，
∴CD ⊥平面AMPD ，又CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AMPD ．
（2）直线BC ，PM 是异面直线， ∵BC AD ∥，BC ⊄平面AMPD ，AD ⊂平面AMPD ，
∴BC ∥平面AMPD ，又PM ⊂平面AMPD ，∴BC 与PM 不相交， 又∵BC AD ∥，AD 与PM 不平行，∴BC 与PM 不平行，∴BC 与PM 异面．
19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）63．
【解析】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥， ∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵BD
PD D =，∴AC ⊥平面PBD ， 又DF ⊂平面PBD ，∴AC DF ⊥．
（2）证明：∵4AB AE =，4PB PF =，∴EF PA ∥ 设AC 与BD 的交点为O ，连接OG ，∵ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点， 又G 为PC 中点，∴OG PA ∥，∴EF OG ∥，又EF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ， ∴EF ∥平面BDG ．
（3）解:设PD m =，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，又42AD CD ==， ∴232PA PC m ==+，又由120ADC ∠=︒可得46AC =，42BD =， ∵PA PC ⊥，∴()2232166m +=⨯，∴4m =， ∵4PB PF =，∴F 到平面ABCD 的距离为334h PD =
=，又BCE △的面积为 1331632482ABCD S S AC BD =⨯=⨯⋅=，∴116336333
B CEF F BCE V V S h --==⨯⨯=⨯⨯=． 20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）在Rt ABC △中，1AB ＝，60BAC ∠︒＝， ∴BC=3，2AC ＝．取PC 中点F ，连AF ，EF ，
∵2PA AC ＝＝，∴PC AF ⊥．
∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
∴PA CD ⊥，又90ACD ∠︒＝，即CD AC ⊥，
∴CD ⊥平面PAC ，∴CD PC ⊥，∴EF PC ⊥．
∴PC ⊥平面AEF ．∴PC AE ⊥．
（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM PA ∥．
∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴EM ∥平面PAB ，
在Rt ACD ∥中，60CAD ∠︒＝，2AC AM ＝＝，
∴60ACM ∠︒＝．而60BAC ∠︒＝，∴MC AB ∥．
∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴MC ∥平面PAB ． ∵EM MC M ＝，∴平面EMC ∥平面PAB ．
∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ．
证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．
∵60NAC DAC ∠∠︒＝＝，AC CD ⊥，∴C 为ND 的中点 ∵E 为PD 中点，∴EC PN ∥
∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ．
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 又因为AB BC ⊥，AD BC ∥，所以AB AD ⊥，
又因为PA AB ⊥，PA AD A =，所以AB PD ⊥．
（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，
又因为点E 为PD 中点，所以EF AD ∥，12
EF AD =， 又AD BC ∥，2AD BC =，所以EF BC ∥，EF BC =， 所以四边形BCEF 是平行四边形，因此EC BF ∥，
又因为EC ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB ．
22．【答案】（1）见解析；（2）2217
． 【解析】（1）∵AB PB =，O 为AB 的中点，∴OB PA ⊥． 又∵平面PAC ⊥平面PAB ，且OB ⊂平面ABP ，
∴BO ⊥平面PAC ，而OB ⊂平面BOM ，∴平面BOM ⊥平面PAC ．
（2）由已知得，PAB △为等腰直角三角形，2AB PB ==， ∴2AP =，1BO =，等边PAC △的面积3PAC S =△， ∴11331333
B PA
C PAC V S BO -=⨯⨯=⨯⨯=△， 由（1）易知OC ⊥平面APB ，∴2AC BC ==，
∴在ABC △中，AB 边上的高为142，∴11472222ABC S =⨯⨯=△， 设点P 到平面ABC 的距离为h ，则有1333
P ABC ABC V S h -=⨯⨯=△， ∴2217h =，即点P 到平面ABC 的距离为2217
．。