复变函数 课程教学大纲

复变函教课程教学大纲
一、课程的基本信息
适应对象：信息与计算科学本科专业
课程代码：15E01726
学时分配：54学时
赋予学分：3
先修课程：数学分析，高等代数
后续课程：毕业综合训练
二、课程性质与任务
复变函数是信息与计算科学专业的一门选修课程，主要研究复变函数的微分积分及映照。

这门学科在工程力学，物理以及数学其它分支中有许多应用。

开设本课程的任务就是使学生掌握复变函数基本内容，为进一步学习其它课程，并为从事教学、科研以及其它工作打好基础。

三、教学目的与要求
通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的微分积分及映照等有关的基本概念和基本方法, 并能应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。

四、教学内容与安排
第一章复数与复变函数（6学时）
1.1复数
复数域,复数的乘辕与方根.
1.2复平面上的点集
区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.
1.3复变函数
复变函数的定义，复变函数的极限、连续性.
1.4复球面与无穷远点
第二章解析函数（10学时）
2.1解析函数的概念与柯西-黎曼条件
复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件：柯西-黎曼条件.
2.2初等解析函数
指数函数，三角函数，双曲函数。

2.3初等多值函数
根式函数，对数函数，一般基函数，一般指数函数。

第三章复变函数积分（10学时）
3.1复积分的概念及其简单性质
复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。

3.2柯西积分定理
柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。

3.3柯西积分公式及其推论
柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，LioUVilIe定理，Morera 定理。

3.4解析函数与调和函数的关系，解析函数的定义，调和函数的定义。

第四章解析函数的塞级数表示法（10学时）
4.1复级数的基本性质，复数项级数的定义、收敛性，一致收敛的复函数项级数，柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯定理。

4.2'幕级数，Abel定理，和函数的解析性。

4.3解析函数的Taylor展式
泰勒定理，泰勒级数，解析函数的级数展开举例（重点是一些初等函数的泰勒展式）。

4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理，解析函数的零点，唯一性定理，最大模原理。

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点（10学时）
5.1解析函数的罗朗展式
双边累级数，罗朗定理，罗朗级数，罗朗级数与泰勒级数之间的关系，解析函数的罗朗展式（圆环域和孤立奇点的邻域内）。

5.2解析函数的孤立奇点
可去奇点，极点，本性奇点，席瓦尔兹引理，毕卡定理，三类孤立奇点的判别（充要条件）。

5.3解析函数在无穷远点邻域的性质
5.4整函数与亚纯函数概念，整函数的定义，亚纯函数的定义，超越亚纯函数。

第六章留数理论及其应用（8学时）
5.2留数
留数的定义，留数定理，应用罗朗展式求留数，函数在无穷远点的留数。

6.2用留数定理计算实积分
计算『R（COSaSine诩型积分，计算积分路径上有奇点的积分。

6.3辐角原理及其应用
对数留数，辐角原理，儒歇定理。

五、附录
教学参考文献目录
1.钟玉泉，《复变函数论》（第四版），高等教育出版社，2013年8月。

2.方企勤，《复变函数教程》，北京大学出版社，1996年12月。

3.余家荣，《复变函数论》（第四版），高等教育出版社，2007年11月。