苏教版高中数学必修五常州西夏墅余弦定理学案

江苏省常州市西夏墅中学高一数学《余弦定理（1）》学案
一、学习目标：
1. 掌握余弦定理及其证明方法；
2. 初步掌握余弦定理的应用； 二、教学过程： 1、知识探究
（1）在正弦定理向量推导过程中，将等式BC BA AC =+u u u r u u u r u u u r
的两边与哪个向量作数量积，就
可以讲向量等式转化为数量关系？在余弦定理向量推导过程中呢？
（2）结合勾股定理，思考余弦定理的其他推导方法. 2、问题情境
在上节中，我们通过等式AC BA BC +=的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．
C
c
B b A a sin sin sin =
=． 探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？ 3、学生活动
向量的平方是向量数量化的一种手段．
因为=BC （如图1），所以
=⋅BC BC
上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．
4、建构数学
余弦定理的两种表示形式：
A
B
C
图1
（1）2a = ；2b = ；
2c = ；
（2）cos A = ；cos B = ；
cos C = ；
探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程． 方法一：如图2建立直角坐标系． 方法二：
类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．
同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，
C ab b a c cos 2222-+=．
方法三：由正弦定理，
同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．
余弦定理也可以写成如下形式：
探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？
利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
4、数学运用 例1 在ABC ∆中，
A
D 图3
（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；
（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值．
例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，
222c b a <+．
5．课堂练习．
（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ． （2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段 （3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小． 6.课堂小结
7.课后练习 1、在ABC V 中：
(1)已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则a= ； (2)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，则B= ； (3)已知a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，则b= ； (4)已知a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，则 A= ； (5)已知222a b ab c ++=，则C = .
2、若三角形三边之比为3:57:，那么该三角形的最大角为 .
3、在ABC V 中，::2:3:4a b c =，则cos A = .
4、在ABC V 中，若60C ∠=o ,则
a b b c c a
+=++ .
5、在ABC V 中，若3,4AB BC AC ===，则AC 上的高为 .
6、若三角形三边之长为：①3,5,7；②10,24,26③21,25,28；④5,6,7，其中为钝角三角形的是 .
7、三角形的一个角为60o ，面积为，周长为20，求此三角形的三边长.
8、在ABC V 中，已知a =，c ，060=B ，求b 及A
9. 在△ABC 中，AB=6，BC=5，CA=4，点D 在边BC 上，且AD 为∠A 的平分线，求AD 的长
10. 在△ABC 中，63,3
1
cos ,3tan ===AC C B ，求ABC ∆的面积S
11. △ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c ，且tan tan tan A B A B +=-72
c =
，
又△ABC 的面积为ABC S ∆=
. 求：（1）角C ； （2）a +b 的值. 拓展延伸
12. △ABC 中，向量AB CA ,的夹角为θ，且41cos -=θ，（1）求A C
B 2cos 2
sin 2++的值；（2）若6,4=+=c b a ，求边c b ,的长
13. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．。