河北省承德第一中学2020届高三上学期第三次月考(12月)数学(文)试题 Word版含答案

承德一中2019--2020学年度第一学期第3次月考
高三 文科数学试卷
一、选择题（每小题5分） 1.集合{}{
}
1
132
4x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =（ ）
A. []02，
B. ()13，
C. [)13，
D. [)2-+∞， 2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则1
2
z z 的虚部为（ ） A. 1-
B. 1
C. i
D. i -
3.已知p q ，是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ） A. 既不充分也不要必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件
D. 必要不充分条件
4.工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（ ） A. 522 B. 324 C. 535 D. 578
5.下表是某个体商户月份x 与营业利润y （万元）的统计数据：
由散点图可得回归方程0.7y x a =-+，据此模型预测，该商户在5月份的营业利润为（ ） A. 1.5万元 B. 1.75万元 C. 2万元 D. 2.25万元
6.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭
圆C 的对称轴，焦点在y 轴上，且椭圆C ，面积为12π，则椭圆C 的方程为（ ）
A. 221916x y +=
B. 22134x y +=
C. 2211832x y +=
D. 221436
x y +=
7.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =（ ）
A.
43AD BE + B. 53AD BE + C. 4132AD BE + D. 51
32
AD BE + 8.已知定义在()0+∞，
上的函数()()2
6ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）
A. 5
B. 3
C. 3-
D. 5-
9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ，点
、、A B C 在俯视图上的对应点为、、A B C ，则PA 与BC 所成角的余弦值为（ ）
（9题图） （10题图）
A. C. 2
10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为
6
π
弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，
N 运动的时间为（ ）
A. 37.5分钟
B. 40.5分钟
C. 49.5分钟
D. 52.5分钟 11.已知点A 、B 、C 、D 均在球O
上，AB BC ==
3AC =，若三棱锥D -ABC 体积的最大
O 的表面积为（ ）. A. 36π
B. 16π
C. 12π
D.
163
π 12.定义在R 上的函数()f x ，满足()()f x f x -=且对任意不相等实数[)120x x ∈+∞，，有()()
1212
0f x f x x x -<-成立，若不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x ----++≥在
[]13x ∈，上恒成立，则实数m 的取值范围（ ）
A. 1ln 612e 6⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦， B. 1ln 623e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦， C. 1ln 323e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦， D. 1
ln 3126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
， 二、填空题（每小题5分）
13.若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.
14.若x y ，满足约束条件40
2400x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =+的最小值为_____
15.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos b C c B a B +=,且
4,6a b == ，则△ABC 的面积为_______.
16.已知双曲线()22
22:100x y C a b a b
-=>>，的右焦点为F ，左顶点为A .以F 为圆心，FA
为半径的圆交C 的右支于P Q ，两点，APQ ∆的一个内角为60︒，则C 的离心率为______.
三、解答题
17.已知数列{}n a 为等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2
25
n S =，求n 的值. 18.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB CD ∥，
2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．
（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求证：平面BDE ⊥平面BEC ．
19.已知抛物线2
:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线C 的焦点，点(1,)(0)A m m >在抛物线C 上，且2FA =，过点F 作斜率为1
(2)2
k k ≤≤的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点. （1）求抛物线C 的方程； （2）求△APQ 面积的取值范围.
20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，（1020x ≤≤
，单位：公斤），
其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.
（1）求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式； （2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替. ①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间[]580760，
内的概率.
21.已知函数()21
1x
ax x f x e
+-=+.其中21->a （1）求()f x 的单调区间；
（2）当0x ≥时，()01f x ≤≤
，求a 的取值范围.
在22、23题中选择一道题目作答
22.在直角坐标系xOy 中，点(1,3)P --，直线l
的参数方程为1,2
32
x t y t ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），曲线C 1的参数方程为cos ,
1sin x y αα
=⎧⎨
=-+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为2
cos 2cos 0a ρθθρ+-=(0)a >，直线l 与曲
线C 2相交于A ，B 两点.
（1）求曲线C 1与直线l 交点的极坐标（0ρ>，[0,2)θπ∈）； （2）若||||22PA PB ⋅=，求a 的值.
23.已知函数()|||3|()f x x a x a =-++∈R . （1）若函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值；
（2）若当[0,1]x ∈时，不等式()|5|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.
答案1-12 DACDB ABDBA BD 13. 3 14. 6
15. 2632+ 16.
3
4
17.(1) 23n a n =+ (2) 10n = 18.
在EDC △中，M 、N 分别为CE 、DE 的中点，
∴MN CD ∥，且1
2MN CD =． 由已知AB CD ∥，1
2
AB CD =，
所以MN AB ∥，且MN AB =，
∴四边形ABMN 为平行四边形，∴BM AN ∥，
又∵AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，∴BM ∥平面ADEF ． （2）∵ADEF 为正方形，∴ED AD ⊥． 又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF
平面ABCD AD =，
又∵ED ⊂平面ADEF ，∴ED ⊥平面ABCD ，∴ED BC ⊥． 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =
，可得BC =
在BCD △
中，BD BC ==4CD =，∴BC BD ⊥，∴BC ⊥平面BDE ， 又∵BC ⊂平面BCE ，∴平面BDE ⊥平面BEC ．
19. （1）24y x =；（2
）
解：（1）点A 到准线距离为：
12p +，到焦点距离2FA =，所以122
p
+=，2p =，24y x = （2）将(1,)(0)A m m >代入抛物线，2m =，
设直线:(1)l y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程：
24(1)
y x
y k x ⎧=⎨
=-⎩⇒22(1)4k x x -=⇒2222(24)0k x k x k -++= 224(24)40k k ∆=+-≥恒成立
212212241
k x x k x x ⎧++=
⎪⎨
⎪=⎩
连接AF ，则212111
2(1)2(1)22
APQ AFP AFQ S S S x x x x ∆∆∆=+=
⨯⨯-+⨯⨯-=- 2APQ
S
∆=222
2
212121242
(24)41
()()44(2)4(2)2
k x x x x x x k k k +-=+-=-=+-≤≤ 当2k =时，APQ S ∆
当1
2
k =
时，APQ S ∆
有最大值为
所以答案
20. (1) 30280,1420
60140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨
-≤<⎩
(2)①698.8元 ②0.54
【详解】（1）商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：
()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪
=⎨-⨯-≤<⎪⎩
化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是
20.120.24⨯=；海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=；海鲜需求量在区间
[)16,18的频率是20.100.20⨯=；海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=；
这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：
()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+
)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=（元）
②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=
显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩
在区间[]10,20上单调递增，
58060140y x ==-，得12x =； 76030280y x ==+，得16x =；
日利润y 在区间[]
580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：
0.240.300.54+=
21.【详解】（1）()()()12x
ax x f x e '+-=-
①当0a >时，()()
12x
a x x a f x e ⎛
'⎫+- ⎪⎝
⎭
=-
令()0f x '=，解得11
x a
=-， 22x =，且12x x < 当()1,2,x a ⎛⎫∈-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '>
所以，()f x 的单调递增区间是1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭和()2,+∞；
②当0a =时，()2
x
x f x e =-
'- 所以，()f x 的单调递增区间是(),2-∞，单调递减区间是()2,+∞； ③当102
a -
<<时，令()0f x '=，解得12x =，21
x a =-，并且12x x <
当()1,2,x a ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当12,x a ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭时，()0f x '<.
所以()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间是12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；
（2）由()00f =及（1）知， ①当0a ≥时，()2
41
211a f e
+=+>，不恒成立，因此不合题意； ②当1
02
a -
<<时，a 需满足下列三个条件： ⑴极大值：()241211a f e +=+≤，得1
4
a -≤ ⑵极小值：1
2
1110a f e e a -⎛⎫-=->-> ⎪⎝⎭
⑶当1
x a
>-
时，()1f x ≤ 当12x a >->时，210ax x +-≤，2
211111
24
a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭，故14a -≤
所以1124a -
<≤-；
22. （1）32,
2
π⎛⎫ ⎪⎝⎭，74π⎫⎪⎭
.（2）1a =
【详解】（1）直线l 的普通方程为2y x =-，曲线1C 的普通方程为22
(1)1x y ++=.
联立22
2(1)1y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=-⎩
， 所以交点
的
极坐标为32,
2
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，74π⎫⎪⎭
.
（2）曲线2C 的直角坐标方程为22y ax =，
将1,2
32
x y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
，代入得2)4180t a t a -+++=. 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则有12418t t a =+， 所以1212||||41822PA PB t t t t a ⋅=⋅==+=， 解得1a =
23. (1) 1a =-或5a =-. (2) [1,2]-
【详解】解：（1）因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，
所以min ()|3|f x a =+.令|3|2a +=，得32a +=或32a +=-，解得1a =-或5a =-. （2）当[0,1]x ∈时，()||3,|5|5f x x a x x x =-+++=+.
由()|5|f x x ≤+，得||35x a x x -++≤+，即||2x a -≤，即22a x a -≤≤+. 据题意，[0,1][2,2]a a ⊆-+，则20
21
a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤.
所以实数a 的取值范围是[1,2]-.。