2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.2.2双曲线的几何性质课件
2018高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.2.1 双曲线的标准方程撬题 文
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.2.1双曲线的标准方程撬题 文1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程分别为x 2a 2－y 2b 2＝0和y 2a 2－x 2b2＝0.A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 D解析 由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.4.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14 B.13 C.24D.23答案 A解析 ∵双曲线的离心率为2，∴c a＝2， ∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2||F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝4a 216a 2＝14，选A.5．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析 双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x .设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，又(2,2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3. 故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .6．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．答案 x 2－y23＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 7．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为________． 答案x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1解析 设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝13λ. 由题设知2c ＝213，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1；若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1，故所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1.。
圆锥曲线的基本概念与性质
圆锥曲线的基本概念与性质1. 圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，它是由平面与圆锥相交而产生的曲线。
本文将详细介绍圆锥曲线的基本概念和性质。
1.1 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
椭圆具有以下性质：- 椭圆是一个闭曲线，即从椭圆上的任意一点到椭圆的另一点的距离之和是一个常数，即椭圆的周长。
- 椭圆有两个焦点，对于椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离之和等于一个常数。
- 椭圆是一个中心对称图形，它的中心是圆心。
1.2 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线是一个开曲线，即从双曲线上的任意一点到双曲线的另一点的距离之差等于一个常数的绝对值，即双曲线的离心率。
- 双曲线有两个焦点，对于双曲线上的任意一点，到两个焦点的距离之差等于一个常数。
- 双曲线是一个中心对称图形，它的中心是圆锥的顶点。
1.3 抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥平行于母线的相交曲线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线是一个开曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。
- 抛物线的焦点到任意一点的距离等于准线到该点的距离。
- 抛物线是一个轴对称图形，它的轴对称于对称轴。
2. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学以及其他学科领域中都有广泛的应用。
2.1 几何学在几何学中，圆锥曲线被广泛用于描述平面上的点与直线之间的关系。
例如，在解决两点之间的最短路径问题时，可以利用椭圆的性质来确定最短路径。
2.2 物理学在物理学中，圆锥曲线被应用于描述天体运动、光的传播以及其他各种物理现象。
例如，开普勒行星运动定律中的椭圆轨道就是以椭圆为基础建立的。
2.3 工程学在工程学中，圆锥曲线被广泛应用于建筑设计、桥梁设计等领域。
通过合理利用椭圆和抛物线的性质，可以设计出更加稳定和美观的建筑结构。
3. 结论圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学和工程学等不同领域都有广泛的应用。
圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线是数学中研究的重要内容之一，它是由一个固定点（焦点）和到这个点的固定距离之比保持不变的点（动点）所生成的曲线。
根据固定点与动点之间的位置关系，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
本文将介绍圆锥曲线的方程与性质。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种形式，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 椭圆的中心位于原点(0,0)。
3. 椭圆的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 -b^2$。
4. 椭圆上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之和是一个常数，满足Kepler定律。
二、双曲线双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下方程：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别代表双曲线的长半轴和短半轴。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线是一个对称图形，其对称轴是x轴和y轴。
2. 双曲线的中心位于原点(0,0)。
3. 双曲线的焦点位于x轴上，距离中心的距离为c，满足$c^2 = a^2 + b^2$。
4. 双曲线上任意一点到焦点和到直线半长轴的距离之差是一个常数。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种形式，它具有以下方程：$$y^2 = 4ax$$其中，a代表抛物线的焦点到抛物线的距离。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是一个对称图形，其对称轴是y轴。
2. 抛物线的焦点位于焦点到抛物线的距离上方的点(a, 0)。
3. 抛物线的开口方向由系数a的正负决定，当a>0时开口向右，当a<0时开口向左。
4. 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到直线准线的距离。
总结圆锥曲线是一类重要的数学曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都具有特殊的方程和性质，通过研究这些方程和性质，可以更加深入地理解曲线的形态和特性。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结一、椭圆1.平面内与两个定点 , 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆. 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点, 两焦点的距离称为椭圆的焦距.2.椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<二、双曲线1.平面内与两个定点 , 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹称为双曲线. 即： 。
这两个定点称为双曲线的焦点, 两焦点的距离称为双曲线的焦距．2.双曲线的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 或 ,或 ,顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于 轴、 轴对称, 关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±3.等轴双曲线: 双曲线 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 , 离心率 . 4、共渐近线的双曲线系方程:三、抛物线1.平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 称为抛物线的焦点, 定直线 称为抛物线的准线.2.抛物线的几何性质:标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤3.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 , 称为抛物线的“通径”, 即 .4.焦半径公式:若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 5、焦点弦: = +p四、圆1.定义: 点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝, 其中定点O 为圆心, 定长r 为半径.2.方程: (1)标准方程: 圆心在c(a,b), 半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点, 半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程: ①当D2+E2-4F ＞0时, 一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程, 圆心为 半径是 。
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质获奖课件名师公开课
方法 2 双曲线的几何性质的解题策略
双曲线的几何性质包括:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等.常
考内容是离心率、渐近线等,解决此类问题的关键在于构造关于a,b,c的
等式或不等式.
例2
(2017浙江宁波期末,8)过双曲线x2-
y b
2 2
=1的左顶点A作斜率为1的
直线l,若l与双曲线的两条渐近线分别相交于点B,C,且2 A B= B,则C 此双
b
2 2
-x 2
a2
同的渐近线y=± b
a
x,它们的离心率e1、e2满足的关系式为1
e
1
2
=1,它们有共
+1 =1.
e
2 2
1.双基表
标准方程
范围
考点二 双曲线的几何性质
x2 a2
- by 22 =1(a>0,b>0)
|x|≥a
y a
2 2
- xb 22 =1(a>0,b>0)
|y|≥a
焦点 顶点 对称性 实、虚轴长 离心率
高考数学
§10.2 双曲线及其性质
知识清单
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.双曲线的基本知识
2.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)等轴双曲线⇔离心率e= 2⇔两条渐近线互相垂直(位置关系).
3.双曲线 x 2
a2
-y
b
2 2
=1(a>0,b>0)的共轭双曲线的方程为y
b1 b1
以c= 1=2 2,故2 双5曲线的离心率是 ,故选C5 .
评析 本题考查双曲线的标准方程和几何性质,向量的坐标表示等知 识,考查推理运算能力和方程思想.
2018高考数学(文科)异构异模复习考案撬分法习题第十章圆锥曲线与方程10-2-1Word版含答案
1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程分别为x 2a 2－y 2b 2＝0和y 2a 2－x 2b2＝0.A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ，故选C.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 答案 C解析 由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )点击观看解答视频A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 D解析 由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.4.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )点击观看解答视频A.14 B.13 C.24D.23答案 A解析 ∵双曲线的离心率为2，∴ca＝2， ∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|F 1A |＝2|F 2A |，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2||F 1F 2|＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝4a 216a 2＝14，选A.5．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析 双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x .设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，又(2,2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3. 故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .6．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 7．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为________． 答案x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1解析 设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ，c 2＝a 2＋b 2＝13λ. 由题设知2c ＝213，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1；若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1，故所求双曲线方程为y 24－x 29＝1.综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 29＝1.。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.2双曲线及其性质文
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 课时撬分练10.2 双曲线及其性质 文时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学模拟]已知双曲线x2a2 －y2b2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y25＝1 B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1 D ．5x 2－5y24＝1答案 D解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1.又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45.故所求方程为5x 2－5y24＝1，故选D.2．[2016·枣强中学一轮检测]“m <8”是“方程x2m －10－y2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 方程x2m －10－y2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x2m －10－y2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.3. [2016·衡水中学周测]已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M 、N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x >1)B ．x 2－y210＝1(x >0)C ．x 2－y28＝1(x >0)D ．x 2－y210＝1(x >1)答案 A解析 如图所示，设两切线分别与圆相切于点S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x >1)．4．[2016·冀州中学月考]以正三角形ABC 的顶点A ，B 为焦点的双曲线恰好平分边AC ，BC ，则双曲线的离心率为( )A.3－1 B ．2C.3＋1 D ．23答案 C解析 如图，设|AB |＝2c ，显然|AD |＝c ，|BD |＝3c ，即(3－1)c ＝2a ，∴e ＝23－1＝3＋1，∴选C.5．[2016·武邑中学周测]已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x答案 A解析 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A.6. [2016·衡水中学月考]已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线。
2018高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1.2 椭圆的几何性质撬题 文
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.1.2椭圆的几何性质撬题 文1．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.2.过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②. ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析 如图，设右焦点为F 1，|BF |＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x ＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠FAF 1＝90°，△FAF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，e ＝c a ＝57.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程． 解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a . 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|. |PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝－22＋2－2＝ 9－62＝6－ 3.6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8kk ＋1＋4k2， x 1x 2＝k ＋2－4b21＋4k2.由x 1＋x 2＝－4，得－8kk ＋1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝b 2－.由|AB |＝10，得 b 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝b 2－.由|AB |＝10，得 b 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx . 由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ， 整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15. 所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15. 8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与FA →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，又离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)，∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P (x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与FA →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，FA →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. ② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P (0，－1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－837，17.当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0，当点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0，故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则 |NQ |＝x －2＋y －2＝4b 2－4y 2＋y －2＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－y ＋2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 直线AB 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k2，Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， 则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k2t＋4k2， y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6kt＋4k2. 由点P 在椭圆上，得k 22t 2＋4k22＋144k2t 2＋4k22＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．① 由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k4＋4k22－k 2－1＋4k2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0，则8k 2－1>0，即k 2>18，∴18<k 2<15.② 由①得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k2，由②得3<t 2<4，∴－2<t <－3或3<t <2. 故实数t 的取值范围为－2<t <－3或3<t <2.。
2018高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.2 抛物线的几何性质撬题 理
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.2抛物线的几何性质撬题 理1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1.2.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2答案 B解析 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4.过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34，∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3.3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析 由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程为y ＝－2，由圆与准线相交知4<r ，因为点M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，所以r ＝|FM |＝y 0＋2>4，所以y 0>2.故选C.5．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．答案 32解析 由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b axx 2＝2py，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pbay ＝2pb2a2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb2a 2－p22pb a＝4b 2－a 24ab.由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32.6．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．答案 x ＝－2解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.7．已知A 是抛物线y 2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线FA 交抛物线的准线于点B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为________．答案 (3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233解析 依题意，①若点A 位于x 轴上方，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A 1，则有|AB |＝2|AF |＝2|AA 1|，∠BAA 1＝60°，直线AF 的倾斜角为120°.又点F (1,0)，因此直线AF ：y ＝－3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝－3x －y 2＝4x y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝233，此时点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.②若点A 位于x 轴下方，则此时点F (1,0)是线段AB 的中点，又点B 的横坐标是－1，故点A 的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y ＝－4×3＝－23，点A 的坐标是(3，－23)．综上所述，点A 的坐标是(3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.8．已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．解 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3FM →，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y 得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415.由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2.所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43.令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43. 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.9．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且|AB |＝26，求k 的值； (3)设点P 的轨迹是曲线C ，点Q (1，y 0)是曲线C 上的一点，求以Q 为切点的曲线C 的切线方程．解 (1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，则|PN |＝y ，由题意可知|PM |－|PN |＝12，∴x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y (y ≥0)，即为所求． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y化简得x 2－2kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2， |AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k24k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.(3)因为Q (1，y 0)是曲线C 上一点，∴12＝2y 0，∴y 0＝12，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，由y ＝12x 2，求导得y ′＝x ， ∴当x ＝1时，k ＝1.则切线方程为y －12＝x －1，即2x －2y －1＝0.。
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质课件6 新人教B版选修1-1
根据下列条件，求双曲线方程:
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1 的右焦点 F2 作直线与双
曲线的两支都相交,求直线 l 的倾斜角的范围
________0. , 60
(120 ,180 )
1（ a＞ b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
图象
y
M
F1 0
F2 X
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p
F1 0
F2 X
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
1
解之得
a2 b2
12 8
或设 x2 y2 1, m2 20 m2
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为
x2 y2 1 16k0且 4k0
16k 4 k
∴
(3 2)2
2, 2
1
解之得k=4,
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.2.1双曲线的标准方程课件理
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质．双曲线的定义的考查
主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题．
Hale Waihona Puke 命题法 双曲线的定义和方程
典例
(1)已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为(
注意点 双曲线定义的理解
当|MF1|－|MF2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，曲线 仅表示焦点 F1 所对应的双曲线的一支；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条射线；当 2a>|F1F2| 时，动点轨迹不存在.
2．与椭圆 C：1y62 ＋1x22 ＝1 共焦点且过点(1， 3)的双曲线的标准方程为(
)
A．x2－y32＝1
B．y2－2x2＝1
C.y22－x22＝1
D.y32－x2＝1
解析 椭圆1y62 ＋1x22 ＝1 的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为ym2－xn2＝1(m>0，n>0)，则
根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：
(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
．
(2)当双曲线的焦点在 y 轴上时，双曲线的标准方程为
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) ．
3 双曲线方程的几种常见设法 (1)与双曲线ax22－yb22＝1 有共同渐近线的双曲线方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0)． (2)若双曲线的渐近线方程为 y＝±mn x，则双曲线方程可设为mx22－yn22＝λ(λ≠0)或 n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线ax22－yb22＝1 共焦点的双曲线方程可设为a2x－2 k－b2y＋2 k＝1(－b2<k<a2)． (4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． (5)与椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为a2x－2 λ＋b2y－2 λ＝1(b2<λ<a2)．
2018学年高中数学选修1-1“同课异构”教学课件 2.2.2双曲线的简单几何性质一1 精品
§2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）
1.双曲线的几何性质
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
（a＞0，b 0）
性 质
图形
y2 a2
x2 b2
1
（a＞0，b＞0）
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
（a＞0，b 0）
y2 a2
x2 b2
1
（a＞0，b＞0）
焦点 __F__1(_-_c_，__0_)_,_F_2_(_c_,_0_)_ __F_1_(_0_，__-_c_)_,_F_2_(_0_，__c)_
【解题指导】
【规范解答】∵圆的半径 r a2 …b2… …c, …………2分 ∴圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径. ∴∠F1PF2=90°.①……………………………………………4分 ∵2∠PF1F2=∠PF2F1, ∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.……………………………6分 在Rt△F1PF2中，｜F1F2｜=2c, 故｜PF｜1 3c｜, …PF｜2……c,…………………………… 8分
【典例训练】
1.（2011·山东高考)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a＞0,b＞0)
和椭
圆 x2 y2 1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的
16 9
两倍，则双曲线的方程为_______.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为8，离心率为 5；
4
（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴
∴双曲线方程为x2－y2＝6. ∴双曲线的标准方程为 x2 y2 1.
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.1.2椭圆的几何性质课件理
)
2
4
A.3
B.3
5
8
C.3
D.3
解析 由题意知 a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2. ∵e＝12，∴ac22＝14，∴m－m 2＝14，∴m＝83.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 椭圆的几何性质非常丰富，尤其对于离心率的考查是高考热点．本考点对数形结合思
想的要求很高，方法灵活．
命题法 求椭圆的离心率或范围
e＝ac∈ (0,1)
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2
2 点 P(x0，y0)和椭圆ax22＋by22＝1 的关系
(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔
ax202＋by202<1
；
(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔
ax202＋by202＝1 ；
(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔
ax202＋by202>1
.
典例
(1)设 F1，F2 分别是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1 的
中点在 y 轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
1
1
A.6
B.3
3 C. 6
3 D. 3
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B，左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B| 5
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.2.2双曲线的几何性质课件文
已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
[正解] 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B 两点．连接 MC1，MC2.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数． 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离比与 C1 的距离大)，可设轨 迹方程为ax22－yb22＝1(a>0，b>0，x<0)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x<0)．
3．以椭圆x42＋y32＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为_y_＝__±___3_x．
解析 椭圆x42＋y32＝1 的焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，顶点坐标为(2,0)，(－2,0)． 则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)． 则双曲线的标准方程为：x2－y32＝1. 其渐近线为 y＝± 3x.
(2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2 ⇔两条渐近线 y＝±x
相互垂直．
3(1)P点在P双(x曲0，线y0内)和(含双焦曲点线部ax22分－)by⇔22＝1(a>0ax，202－bb>y2020>)的1 关系；
(2)P 在双曲线上⇔ ax202－by202＝1
；
(3)P 在双曲线外(不含焦点部分)⇔
2018高考数学复习：第10章圆锥曲线第2节双曲线及其性质(含解析)
第二节 双曲线及其性质题型118 双曲线的定义与标准方程2013年1.（2013湖北文2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（ ）.A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等2. (2013天津文11）已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 .2014年1.（2014天津文6）已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）.A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 2.（2014大纲文11）双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为2，焦点到渐近线，则C 的焦距等于（ ）.A ．2B ．C ．4D ．3. （2014广东文8）若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ）.A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等4.（2014江西文9）过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A O O ，两点（为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x5.（2014北京文10）设双曲线C 的两个焦点为()，)，一个顶点是()1,0，则C 的方程为 .2015年1.（2015天津文5）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ，且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则双曲线的方程为（ ）.A ．221913x y -= B ．221139x y -= C ．2213x y -= D ．2213y x -=1．解析 由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()2223x y -+==，由2c ==，解得 1a b ==，故选D.评注 由双曲线()22221,0x y a b a b -=>的焦点(),0F c 到渐近线的距离为b ，依题意b r ==2c =，所以1a =，双曲线方程为2213y x -=.2.（2015北京文12）已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点，则b = .2. 解析 依题意，由()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点，得214b +=，即23b =，又0b >，得b =3.（2015全国II 文15）已知双曲线过点(4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲 线的标准方程为 .3. 解析 根据题意知，双曲线的渐近线方程为12y x =±，可设双曲线的方程为： 224x y m -=，把点(4 代入得1m =.所以双曲线的方程为2214x y -=. 评注 双曲线的问题多在小题中出现，注意基本的等量关系及定义，特别是特有的渐近线方程的求解.2016年1.（2016天津文4）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）.A.1422=-y xB.1422=-y x C.15320322=-y x D.12035322=-y x1. A 解析 由题意得12b c a ==，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为2214x y -=. 故选A .2.（2016江苏3）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 .2. 解析 c =，故焦距为2c =.3.（2016北京文12）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为)，则a =_______；b =_______.3. 8. 1,2a b == 解析 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，一个焦点为.再由题设，可得2(0,0)b a a b ⎧=⎪>>=，解得1,2a b ==.2017年1.（2017全国1卷文5）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()1,3，则APF △的面积为（ ）. A ．13 B ．12 C ．23 D ．321. 解析 由2224c a b =+=，得2c =，所以()2,0F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1，3)，故APF △的面积为()1332122⨯⨯-=.故选D. 2.（2017天津卷文5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）.A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -= 2. 解析 因为OAF △是边长为2的等边三角形，所以2c OF ==， 不妨设点A 在第二象限内，则点(A -，又因为点A在双曲线的渐近线上，所以1b a =，由222c a b =+，得)2222a =+，所以221,3a b ==，则双曲线的方程为2213y x -=.故选D ．题型119 双曲线的渐近线2013年1．(2013福建文4）双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）.A ．12B C ．1 D2.（2013山东文11）抛物线()211:02C y x p p=>的焦点与双曲线22:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p = （ ）.A.B. C. D. 3.（2013江苏3）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 .2014年1. （2014山东文15）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线()220x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且FA c =，则双曲线的渐近线方程为 .2015年1.（2015安徽文6）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）.A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -=1．解析 由双曲线22221x y a b -=的渐近线的公式为by a=±，可知选项A 的渐近线方程为2y x =±.故选A.2.（2015四川文7）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则AB =（ ）.]A.B. C. 6D.2.解析 由题意可得1a =，b =2c =.所以渐近线的方程为y =.将2x =代入渐近线方程，得y =±，则AB =.故选D.3.（2015江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点．若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 3. 9．解析 利用几何意义，即找到P 到直线10x y -+=的最小距离（或取不到），该值即为实数c 的最大值．由双曲线221x y -=的渐近线为0x y ±=，易知10x y -+=与0x y -=平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数c 的最大值为2d ==． 2016年9.（2016上海文21（1））双曲线2221y x b-=()0b >的左、右焦点分别为12,F F ，直线l过2F 且与双曲线交于,A B 两点.若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程.9.解析由已知()1F ，)2F ，不妨取x =，则2y b =，由题意122F F A =，又12F F =22F A b =，所以2=，即)()42223443220b b b b --=+-=，解得b =因此渐近线方程为y =.2017年1.（2017全国3卷文14）双曲线()222109x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = .1.解析 渐近线方程为，由题可知.评注 本题着重考查双曲线的基本知识点，考查双曲线的方程及其渐近线的公式，难度偏低.2.（2017山东卷文15）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 . 2. 解析 4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得2222220a y pb y a b -+=，所以222A B pb y y p a +==，解得a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±. 3.（2017江苏卷8）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．3.解析双曲线的渐近线方程为3y x =±，而右准线为32x =，所以3,22P ⎛ ⎝⎭，3,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而121422F PF QS ⎛=⨯⨯= ⎝⎭题型120 双曲线离心率的值及取值范围2013年1. （2013浙江文9）如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分 别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A. 2B. 3C. 23D.262. (2013重庆文10）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60o 的直线11A B 和 22A B ，使1122A B A B =，其中11A B ，和22A B ，分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）. A. 323⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 2323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， C. 33⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， D.233⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 3. (2013陕西文11）双曲线221169x y -=的离心率为 .4. (2013湖南文14） 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为________________.2014年1.（2014新课标Ⅰ文4）已知双曲线22213x y a -=(0)a >的离心率为2，则a =（ ） A.2 B.6 C. 5D. 1 2.（2014重庆文8）设21F F ，分别为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为（ ）.A.2B.15C.4D.173.（2014四川文11）双曲线2214x y -=的离心率等于____________. 4.（2014浙江文17）设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是______________.2015年1.（2015湖北文9）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长b ()a b =同时增 加m (0)m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）.A ．对任意的a ，b ，12e e <B ．当a b > 时，12e e <；当a b <时，12e e >C ．对任意的a ，b ，12e e >D ．当a b > 时，12e e >；当a b <时，12e e <1. 解析 由题意，2222221222()()()()()()a b a m b m b b m m b a e e a a m a a m a a m +++++--=-=++++， 当a b >时，22120e e -<，12e e <；当a b <时，22120e e ->，12e e >.故选D.2.（2015湖南文6）若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(34)-，，则此双曲线的离 心率为（ ）.A.B. 54C. 43D. 53 2. 解析 双曲线22221x y a b -=的渐近线为by x a=±，由已知渐近线经过点()3,4-，所以43b a =，53c e a ====.故选D.3. (2015山东文15)过双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点作一条与其渐近线平 行的直线，交C 于点P . 若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 .3. 解析 假设过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右焦点的直线与渐近线by x a=平行，右焦点为(),0F c ，所以PF bk a=.又()2,P P a y 在双曲线上，且为第四象限内一点，可得()2,P a，所以()02PF b k c aa-==-.整理得2c a -=，即(2c a =.所以离心率2ce a==2016年1. （2016山东文14）已知双曲线:E 22221x y a b-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______. 1.2 解析 由题意2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,2c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b-=，再由2c b a =+22得E 的离心率为2ce a==. 2.（2016四川文19）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n ∈N（1）若2a ，3a ，23+a a 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋅⋅⋅+.2. 解析 （1）由已知，11n n S qS +=+，211n n S qS ++=+ 两式相减得到21n n a qa ++=，1n …. 又由211S qS =+，11a =得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n …都成立. 所以数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q-.由2a ，3a ，23a a +成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2a a ，故=2q .所以()1*2n n a n -=∈N .（2）由（1）可知，1n n a q-=. 所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e ==.由22e ==，解得q =所以()()()22222(1)22(1)12111+11n n n e e e q q n q q --⎡⎤++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+=⎣⎦ ()221131.12n n q n n q -+=+-- 2017年1.（2017全国2卷文5）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）.A. )∞B.)2C. (D. ()12， 1.解析 由题意，222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.2.（2017北京卷文10）若双曲线221y x m -=，则实数m =_________. 2．解析 解法一（基本量法）：由1a =，b =c =c e a===即2m =. 解法二：由e ===2m =. 题型121 双曲线的焦点三角形 1.（2016浙江文13）设双曲线22–13y x =的左、右焦点分别为1F ，2F .若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_______.1. () 解析 由已知得1a =，b =，2c =，则2c e a==.设(),P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，由于12F PF △为锐角三角形，所以21PF F ∠为锐角.则12x <<.由三角形大边对大角，则12PF F ∠也为锐角.221PF x ====-，12221PF PF x =+=+，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即()()22221214x x ++->，解得2x >，所以22x <<.由124PF PF x +=，得128PF PF <+<.。
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质课件5 新人教B版选修1-1
ab
6、离心率：e=
c a
Y
B2
X
A2
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程： y 2 x 2 1
双曲线性质：
a2 b2
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）A1
形式一：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F（2 c，0））
形式二：
y2 a2
x b
2 2
1(a
0,b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0，-c）、F（2 0，c））
其中 a2 b2 c2
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2
1
a2 b2
B2
F1
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x
c2 a2 b2)
b
点火预热 抛物线的标准方程
• A．
B．
•
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.1.1椭圆的标准方程课件文
而|AB|＝|AC|＋|BC|≤|AF′|＋|BF′|，所以当且仅当 AB 过点 F′时，△ABF 的周长最大． 此时，由 c＝1，得 A1，23，B1，－32，即|AB|＝3. 所以 S△ABF＝12|AB||FF′|＝3.
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第十章 圆锥曲线与方程
第1讲 椭圆及其性质
考点一 椭圆的标准方程
撬点·基础点 重难点
1 椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的 距离的和
等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这
两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且 2a>|F1F2|
2．已知方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的取值范围为(
)
A．(－3,5)
B．(－3,1)
C．(1,5)
D．(－3,1)∪(1,5)
解析 方程表示椭圆的条件为5m－＋m3>>00， ， 5－m≠m＋3，
解得 m∈(－3,1)∪(1,5)．故选 D.
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
【解题法】 1.椭圆定义的应用的类型及方法 (1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆． (2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结 合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积． 2．椭圆方程的求法 (1)定义法 根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2. ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a. ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长 a.
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.3.2抛物线的几何性质课件文
＝0，可知 x1x2＝4，故|F1P|＋|F1Q|＝x1x2＋x12＋xx12＋＋x42＋4＝2xx11＋＋xx22＋＋48＝12，故选 A.
【解题法】 抛物线的性质应用技巧及焦点弦问题解题策略 (1)用抛物线几何性质的技巧 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口 方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)抛物线焦点弦问题求解策略 求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合 思想求解．
3．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到焦点的距离是 4，则 P 点坐标为_(_2_，__±_4_)_．
解析 设 y2＝8x 的焦点为 F，则 F(2,0)．设 P(x，y)．|PF|＝x＋2＝4，∴x＝2，代入抛物线得 y＝±4. ∴P 点坐标为(2，±4)．
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 抛物线虽只有一个焦点和一条准线，有许多有趣的性质，尤其焦点弦的性质一直是
第十章 圆锥曲线与方程
第3讲 抛物线及其性质
考点二 抛物线的几何性质
撬点·基础点 重难点
1 抛物线的几何性质
2 抛物线焦点弦的性质 焦点弦：线段 AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p42； (2)y1y2＝－p2； (3)焦半径|AF|＝x1＋p2； (4)弦长 l＝x1＋x2＋p.当弦 AB⊥x 轴时，弦长最短为 2p，此时的弦又叫通径； (5)弦长 l＝si2np2θ(θ 为 AB 的倾斜角)．
2．过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( )
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线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M， 若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外， 则双曲线离心率的取值 范围是( A．(1， 2) C．( 3，2)
x2 y2 (2)过双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 O：x2＋y2＝a2 的两条切线，切点为 A，B，双曲线左 a b 顶点为 C，若∠ACB＝120° ，则双曲线的渐近线方程为( A．y＝± 3x C．y＝± 2x 3 B．y＝± 3 x 2 D．y＝± 2 x )
x∈R，y≥a 或 y≤－a
坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点坐标： A1(－a,0)， A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) a b ± y＝ bx ± x a y＝ c e＝a，e∈
(1，＋∞)
，其中 c＝ a2＋b2
轴
线段 A1A2 叫做双曲线的 实轴 ，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线 的 虚轴 ，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的 实半轴长 ，b 叫做双曲线 的 虚半轴长
x 2 y2 y＝± 3x． 3．以椭圆 ＋ ＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为________ 4 3
x2 y 2 解析 椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，顶点坐标为(2,0)，(－2,0)． 4 3 则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)． y2 则双曲线的标准方程为：x － 3 ＝1.
b b [解析] (1) 如图所示，过点 F2(c,0)且与渐近线 y＝ax 平行的直线为 y＝a(x－c)，与另一条渐近线 y＝
y＝bx－c， a b －ax 联立得 y＝－bx， a
x＝c， 2 解得 y＝－bc， 2a
∴|OM|＝
c bc 即点 M2，－2a. b 1＋a2.
2 等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长 相等 的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． y＝± x (2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2 ⇔两条渐近线 相互垂直． x2 y2 3 点 P(x0，y0)和双曲线 2－ 2＝1(a>0， b>0) 的关系 2 2 a b x0 y0 a2－b2>1 (1)P 在双曲线内(含焦点部分)⇔ ； ； x2 y2 0 0 2－ 2<1 a b (3)P 在双曲线外(不含焦点部分)⇔ (2)P 在双曲线上⇔
x2 y2 0 0 2－ 2＝1 a b
.
注意点 双曲线的离心率与曲线开口大小的关系 离心率 e 的取值范围：e>1，当 e 越接近于 1 时，双曲线开口越小；e 越接近于＋∞时，双曲线开口越 大.
1．思维辨析 x2 y2 x 2 y2 x y √ ) (1)双曲线方程m2－n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是m2－n2＝0，即m± ＝ 0.( n (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) x2 y 2 x 2 y2 1 1 (3)若双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)与 2－ 2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则 2＋ 2＝1(此结论中 a b b a e1 e2 两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是 k＝± e2＋1.( × )
2．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x－2y＝0，则 它的离心率为( A. 5 C. 3 ) B. 5 2
D．2
y2 x2 a a 1 解析 依题意设双曲线的方程是 2－ 2＝1(其中 a>0，b>0)，则其渐近线方程是 y＝± x，由题知 ＝ ， a b b b 2 a2＋b2 5a 即 b＝2a，因此其离心率 e＝ ＝ ＝ 5. a a
1 1 由双曲线和圆的对称性知，点 A 与点 B 关于 x 轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝2∠ACB＝2×120° ＝60° . ∵|OA|＝|OC|＝a，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC＝60° . ∵FA 切圆 O 于点 A，∴OA⊥FA， 在 Rt△AOF 中，∠AFO＝90° －∠AOF＝90° －60° ＝30° ， x 2 y2 ∴|OF|＝2|OA|，即 c＝2a，∴b＝ c －a ＝ 2a －a ＝ 3a，故双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方 a b
第十章
圆锥曲线与方程Leabharlann 第 2讲双曲线及其性质
考点二
双曲线的几何性质
撬点· 基础点 重难点
1
双曲线的几何性质 标准方程 x 2 y2 － ＝1(a>0，b>0) a2 b2 y 2 x2 － ＝1(a>0，b>0) a2 b2
图形
范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率
x≥a 或 x≤－a，y∈R 对称轴：
2 2 2 2
b 程为 y＝± ax，即 y＝± 3x.
【解题法】 求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等 c 式，利用 b2＝c2－a2 和 e＝ 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范 a 围． (2)求渐近线时，利用 c2＝a2＋b2 转化为关于 a，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关 系．
c 2 bc2 c ＋－ ＝ 2 2a 2
∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外， ∴|OM|>c， c 即2
b 1＋a2>c，得 b 1＋a2>2. b 1＋a2>2.
c ∴双曲线离心率 e＝ ＝ a
故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选 D. x2 y2 (2)如图所示，设双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的焦距为 2c(c>0)，则 C(－a，0)，F(－c,0)． a b
2
其渐近线为 y＝± 3x.
撬法· 命题法 解题法
[考法综述] 高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近线是高频考 点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大． 命题法 双曲线的几何性质 典例 x2 y2 (1)已知 F1、F2 分别是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点 F2 与双曲线的一条渐近 a b ) B．( 2， 3) D．(2，＋∞)