高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式3.2用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式学案新人教B版选修4-5

3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式

[对应学生用书P43]

[读教材·填要点]

贝努利(Bernoulli)不等式

设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n

>1＋nx .

[小问题·大思维]

在贝努利不等式中，指数n 可以取任意实数吗？

提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n 改成实数

α后，将有以下几种情况出现：

(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x )α

≥1＋αx (x >－1)． (2)当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x )α

≤1＋αx (x >－1)．

[对应学生用书P43]

利用数学归纳法证明不等式

[例1] 求证：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1

n

2>1(n ≥2，n ∈N ＋)．

[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n 的取值范围，因为n ≥2，

n ∈N ＋，因此应验证n 0＝2时不等式成立．

[精解详析] (1)当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝13

12>1.

∴n ＝2时不等式成立．

(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N )时，不等式成立，即 1

k

＋

1k ＋1＋1k ＋2＋ (1)

2>1，那么n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1k ＋1＋1＋…＋

1

k ＋1

2

－1

＋1k ＋1

2

＝

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋2211

···12k k k k

++++2项

＋

1

k ＋1

2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1

k ＋1

2

－1k >1＋2k ＋1k ＋12－1k

＝1＋k 2－k －1

k k ＋12

， ∵k ≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122≥9

4.

∴k 2

－k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122－54

≥1>0.

∴k 2－k －1k k ＋12

>0. ∴

1k ＋1＋1k ＋1＋1＋…＋1k ＋1

2

>1.

∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)、(2)可知，对一切的n ≥2，且n ∈N ＋，此不等式都成立．

利用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“1

k 2

＋1

>1k ＋1

2

，…，

1k 2＋2k

>1k ＋1

2

”的放缩变形．

1．证明不等式： 1＋

12＋1

3＋…＋1

n

<2n (n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即 1＋

12＋1

3＋…＋1

k

<2k . ∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋

13＋…＋

1

k

＋

1

k ＋1

<2 k ＋

1

k ＋1

＝

2k

k ＋1＋1k ＋1

，

现在只需证明

2k

k ＋1＋1

k ＋1

<2k ＋1，

即证：2k k ＋1<2k ＋1，

两边平方，整理：0<1，显然成立． ∴2k

k ＋1＋1

k ＋1

<2k ＋1成立．

即1＋

1

2＋13＋…＋1k ＋1k ＋1

<2k ＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．

由(1)(2)知，对于任何正整数n 原不等式都成立.

利用数学归纳法比较大小

[例2] 设P n ＝(1＋x )n

，Q n ＝1＋nx ＋

n n －1

2

x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较

P n 与Q n 的大小，并加以证明．

[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n 取特值，猜想P n 与Q n

的大小关系，然后利用数学归纳法证明．

[精解详析] (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n . (2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)． ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n >Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，

则P 3－Q 3＝x 3

<0，所以P 3<Q 3.

P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )<0，所以P 4<Q 4.

假设P k <Q k (k ≥3)，

则P k ＋1＝(1＋x )P k <(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋

k k －1x 2

2

＋x ＋kx 2

＋

k k －1x 3

2

＝1＋(k ＋1)x ＋k k ＋1

2

x 2＋k k －12

x 3

＝Q k ＋1＋

k k －1

2

x 3<Q k ＋1，

即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n <Q n .