11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线编制：一、知识要点：1、三角形的高：（1）定义（2）三角形三条高的位置2、三角形的中线：（1）定义（2）三角形的重心3、三角形角平分线4、三角形具有稳定性二. 典例和变式知识点1：三角形的高例1：如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E，那么:(1)△ADE的边DE上的高为，边AE上的高为；(2)若AE=5，DE=2，CD=1.8 ，则AB= .【变式练习1】1.△ABC，∠C=90°AB=5,BC=4,AC=3,求AB边上的高。
2.如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，高BD＝2.5，试作出BC边上的高AE，并求出AE 的长．3.已知△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，AB,AC,BC边上的高分别为h1，h2，h3，则h1：h2：h3= 。
4.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝72°，∠CAD＝21°，则∠BAC的度数是。
知识点2：三角形的中线例2：(1)在△ABC中,AD为BC边的中线,若△ABD与△ACD的周长差为3,AB=8,则AC= 。
(2)如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则图中阴影部分的面积是 .【变式练习2】1.如图,在△ABC中,已知点D, E, F分别为BC, AD, CE的中点,且S△ABC=8cm2,则S 阴影等于。
2.已知如图S△ODA=3,S△ODC=4,S△OBC=5，则S△OAB= .（例5）（变式练习1）（变式练习2）3.已知一个等腰三角形一腰上的中线将该三角形的周长分成8和10两部分，试求该三角形的三边是多少？3、三角形的角平分线例题3：如下图所示，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABE的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是。
【变式练习3】如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数。
《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》教案教学反思-2023-2024学年数学人教版八年级上册
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形高、中线、角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用直尺和圆规作出三角形的高、中线、角平分线。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形的高、中线、角平分线的基本概念。三角形的高是从一个顶点到对边的垂线段，中线是连接顶点和对边中点的线段，角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。它们在解决三角形相关问题中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例分析，展示三角形的高、中线、角平分线在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论效率不高，个别同学过于依赖他人，缺乏独立思考。为了提高学生的自主学习能力，我计划在接下来的教学中，加强对学生讨论过程的引导，鼓励他们提出自己的观点和想法。
此外，学生在进行实验操作时，对于三角形高、中线、角平分线的作图方法掌握程度不一。针对这一问题，我将在下一节课中增加示范和指导，让学生在实践中掌握正确的作图方法。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对三角形的高、中线、角平分线这一部分内容表现出较大的兴趣。他们在课堂上积极参与，尤其是在实践活动和小组讨论环节，大家热情高涨，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到，在理论讲解环节，部分学生对三角形高、中线、角平分线的定义和性质掌握不够扎实。在后续的教学中，我需要更加关注这一点，通过增加典型例题和练习，帮助学生巩固基础知识。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
D
A (B)
B
C
B A (C) D
B
C D
(A)
(D)
A
3、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个 顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.锐角三角形
4、填空： （1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中 1 线，则AB=2 AF ，BD= CD , AE= AC 。 2 （2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角 1 平分线，则∠1= ∠2 , ∠3= 2 ∠ABC , A ∠ACB=2 ∠4 。
重心
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出 这个三角形三条边的中线，你发现了什么?
三角形的角平分线
在三角形中，一个 内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线。
∵AD是 △ ABC的角平分线 A ● 1 2 ∴∠ BAD = ∠ CAD = １ ∠BAC ︶ ２ B ● 三角形的三条角平分线相交于一点 , D 交点在三角形的内部
0 1 2 3 4 5
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线，
顶点 和垂足 之间的线段C边上的高.
B
D
C
任意画一个锐角△ABC, A 请你画出BC边上的高. 标明 注意 ! 垂直的记号 和垂足的字母.
B
D
C
三角形的高的 表示法
3
相交 相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
思考
三角形的角平分线是 一条线段 , 角的平分 线是一条射线
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.2三角形的高、中线与角平分线知识点1三角形的高1.如图11-1-8,AD是△ABC的高,则∠ADB=∠ADC=.图11-1-82.[2019·新乡卫辉期末]小华在电话中问小明:“已知一个三角形的三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?”小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()图11-1-93.如图11-1-10,AD⊥BC于点D,则以AD为高的三角形有()图11-1-10A.3个B.4个C.5个D.6个4.如图11-1-11,画出△ABC的三条高.图11-1-11知识点2三角形的中线5.如图11-1-12,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,那么下列说法中不正确的是()图11-1-12A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BE=ECD.AD=EC,DC=BE6.三角形一边上的中线一定把原三角形分成两个()A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形C.直角三角形D.周长相等的三角形7.已知三角形的三条中线交于一点,有下列结论:①这一点在三角形的内部;②这一点有可能在三角形的外部;③这一点是三角形的重心.其中正确的结论是.(填序号)8.如图11-1-13,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,S△ABC=4 cm2,则S△ABE=cm2.图11-1-139.如图11-1-14,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ACD的周长小5,求AC-AB的值.图11-1-14知识点 3 三角形的角平分线10.[教材练习第2(2)题变式] 如图11-1-15,AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条角平分线,则∠BAD= ∠ =12∠ ,∠ABE=∠ =12∠ ,∠ACF=∠ =12∠ .图11-1-1511.如图11-1-16,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠ACE=40°,AD ,CE 是△ABC 的角平分线,则∠DAC= °,∠BCE= °,∠ACB= °.图11-1-1612.如图11-1-17,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BD 平分∠ABC.则∠CDB 与∠DBC 之间有什么关系?为什么?图11-1-1713.如图11-1-18,D 是△ABC 中BC 边上的一点,DE ∥AC ,交AB 于点E ,若∠EDA=∠EAD ,试说明:AD 是△ABC 的角平分线.图11-1-1814.[2018·贵阳]如图11-1-19,在△ABC中,有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是()图11-1-19A.DEB.BEC.EFD.FG15.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为.16.如图11-1-20,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则△BFE(图中阴影部分)的面积为.图11-1-2017.如图11-1-21,已知△ABC.(1)画出△ABC的∠ABC的平分线,交AC边于点D,并指出相等的角;(2)画出△ABC的AC边上的中线BE,并指出相等的线段;(3)画出△ABC的BC边上的高AF,并指出图中所有的直角三角形.图11-1-2118.如图11-1-22,已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的中线,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.试求:(1)AD的长;(2)△ABE的面积;(3)△ACE和△ABE的周长的差.图11-1-2219.如图11-1-23,BE,CF均是△ABC的中线,且BE=CF,AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点N.求证:AM=AN.图11-1-2320.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分,求△ABC的三边长.教师详解详析1.90°2.C3.D4.解:如图.5.D [解析] 根据中线的定义可知选项A,B,C 正确.6.B [解析] 根据等底同高的两个三角形的面积相等,可知三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.7.①③8.1 [解析] ∵D 是BC 的中点,∴S △ABD =12S △ABC =12×4=2(cm 2). ∵E 是AD 的中点,∴S △ABE =12S △ABD =12×2=1(cm 2).9.解:∵AD 是BC 边上的中线,∴BD=CD.∵△ABD 的周长为AB+BD+AD ,△ACD 的周长为AC+CD+AD , ∴(AC+CD+AD )-(AB+BD+AD )=5,即AC-AB=5.10.CAD BAC CBE ABC BCF ACB11.30 40 80 [解析] ∵∠BAC=60°,∠ACE=40°,AD ,CE 是△ABC 的角平分线,∴∠DAC=12∠BAC=30°,∠BCE=∠ACE=40°,∠ACB=2∠ACE=80°.12.解:∠CDB=∠DBC. 理由:∵AB ∥DC ,∴∠ABD=∠CDB.又BD 平分∠ABC ,∴∠ABD=∠DBC. ∴∠CDB=∠DBC.13.解:∵DE ∥AC ,∴∠EDA=∠DAC. 又∠EDA=∠EAD ,∴∠EAD=∠DAC.∴AD 是△ABC 的角平分线.14.B15.90°或50° [解析] 若高AD 在△ABC 的内部,如图①.∵∠BAD=70°,∠CAD=20°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°;若高AD 在△ABC 的外部,如图②.∵∠BAD=70°,∠CAD=20°,∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.综上可知,∠BAC 的度数为90°或50°. 16.1 cm 2 [解析] 因为E 为AD 的中点, 所以S △BDE =12S △ABD ,S △CDE =12S △ACD .所以S △BCE =12S △ABC .又F 为CE 的中点,所以S △BFE =12S △BCE .所以S △BFE =12×12×4=1(cm 2).17.解:(1)如图,BD 是△ABC 的∠ABC 的平分线,∠ABD=∠CBD. (2)如图,BE 是△ABC 的AC 边上的中线,AE=CE.(3)如图,延长CB (或反向延长BC ),过点A 作AF ⊥CB ,垂足为F ,则线段AF 为△ABC 的BC 边上的高.因为AF ⊥BC ,所以∠AFC=90°,所以图中的直角三角形有△AFB 和△AFC ,共2个. 18.解:(1)∵∠CAB=90°,AD 是边BC 上的高,∴12AB ·AC=12BC ·AD. ∴AD=AB ·AC BC=6×810=4.8(cm),即AD 的长为4.8 cm .(2)∵△ABC 是直角三角形,∠CAB=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,∴S △ABC =12AB ·AC=12×6×8=24(cm 2).又AE 是边BC 上的中线,∴BE=EC.∴12BE ·AD=12EC ·AD ,即S △ABE =S △AEC . ∴S △ABE =12S △ABC =12 cm 2. ∴△ABE 的面积是12 cm 2.(3)∵BE=CE ,∴△ACE 的周长-△ABE 的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE )=AC-AB=8-6=2(cm),即△ACE 和△ABE 的周长的差是2 cm .19.证明:∵BE ,CF 均是△ABC 的中线,∴S △ABE =S △ACF =12S △ABC . ∵AM ⊥CF ,AN ⊥BE , ∴12AM ·CF=12AN ·BE.又∵BE=CF ,∴AM=AN. 20.解:分两种情况:(1)若腰长大于底边长,如图①所示, 则AB+AD=30 cm,BC+CD=24 cm .因为AB=AC=2AD ,所以AD=CD=10 cm,AB=20 cm,BC=14 cm . 所以△ABC 的三边长分别为AB=AC=20 cm,BC=14 cm .(2)若底边长大于腰长,如图②所示, 则AB+AD=24 cm,BC+CD=30 cm, 同理可求AB=AC=16 cm,BC=22 cm .。
11.1.2 三角形的高线、中线、角平分线教案
人教版数学八年级上册第十一章《三角形》《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》教案理解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线。
【教学难点】画钝角三角形的高【课时分配】1课时【教学准备】多媒体课件【教学流程】一、创设情境，引入新课二、合作探究，探究新知三、例题精讲，强化应用四、随堂练习，巩固提升五、课堂总结，学生质疑六、作业设计【教学过程】一、情景导入：今天我们将学习三角形的三线，同学们知道是哪三线吗？二、合作交流，探究新知问题1.通过画三角形的中线,你有什么发现?师生活动:学生回答,三角形有三条中线。
追问1.教材中以三角形一条边上的中线为例介绍了三角形的中线,结合作图你能用语言描述三角形中线的定义吗?师生活动:学生通过讨论概括三角形中线的定义,教师加以完善。
设计意图:让学生通过亲自作图,先从形象认识三角形中线的定义,然后用语言归纳出中线定义,这样做,不仅容易理解定义,同时也培养了他们的语言表达能力。
追问2.除此之外你还有什么发现?师生活动:学生回答,三角形三条中线交于一点追问3.在作图过程中三角形的三条中线都交于一点吗?师生活动:学生交流,提出质疑,教师提供技术帮助,学生亲自操作验证。
设计意图:在学习过程中,让学生有质疑的习惯,大胆提出自己的问题,从而获得学习数学的方法。
问题2.类比三角形的中线,你认为应该从哪几方面学习三角形的角平分线?师生活动:学生思考。
追问1.通过作图,三角形的角平分线有几条?在图形中指出。
师生活动:学生回答,有三条。
追问2.你能用语言描述三角形的角平分线的定义吗?师生活动:学生通过讨论概括三角形角平分线的定义,教师加以完善。
追问3.通过作图,你认为三角形的角平分线有什么结论?你能验证吗?设计意图:让学生感悟类比的数学思想,加深对数学问题的研究思路。
问题3.你能从以上的学习思路中受到启发来学习三角形的高线吗?追问1.三角形的高线有几条?结合图性指出师生活动:学生回答。
人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教学设计
人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教学设计一. 教材分析《三角形的高、中线与角平分线》是人教版八年级数学上册第11.1.2节的内容。
本节主要介绍了三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
通过学习，学生能够理解三角形的高、中线与角平分线的定义，掌握它们之间的关系，并能运用它们解决实际问题。
本节内容是学生进一步学习三角形和其他几何图形的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形的认识有一定的基础。
但是，对于三角形的高、中线与角平分线的概念和性质，学生可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要通过实例和练习，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。
三. 教学目标1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
2.能够运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
2.运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.利用几何画板和实物模型，直观展示三角形的高、中线与角平分线的性质，帮助学生理解和掌握。
3.通过练习和问题解决，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示三角形的高、中线与角平分线的性质。
2.准备相关的练习题和实际问题，用于巩固和应用所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，展示三角形的高、中线与角平分线的定义和性质。
引导学生观察和思考，引导学生总结出三角形的高、中线与角平分线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板和实物模型，进行三角形的高、中线与角平分线的操作练习。
人教版初中数学11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 课件
探究新知
知识点 1
11.1 与三角形有关的线段/
三角形高的概念
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边
A
的垂线吗?
B
C
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
三角形的高的定义
从三角形的一个顶点，向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形的高线，简称三角形的高.
如右图， 线段AD是BC边上的高. B
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交 点叫做三角形的重心．
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
归纳总结
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角 形的中线. 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点. 3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部. 4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图： AD为中线，则S△ABD=S△ACD. 5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等 于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC.
图①
图②
课堂检测
11.1 与三角形有关的线段/
探究新知
11.1 与三角形有关的线段/
素养考点 4 利用三角形的角平分线求角的度数
例 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是
△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， A ∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
解析：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°–25°=5°， ∵△ABC中，∠C=180°–∠ABC–∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.
11.1.2三角形的高、中线与角平分线教学设计2024-2025学年人教版数学八年级上册
讲解与应用：
1. 利用多媒体课件和实物模型，详细讲解三角形的高、中线与角平分线的性质，并提供相关的例题。
2. 设计一些具有挑战性的练习题，让学生独立解答，检验他们对三角形高、中线与角平分线性质的理解和应用能力。
解决问题：
1. 提供一个实际问题，如“在一个已知三角形的底边上，如何找到对应的高？”
例题5：已知一个三角形的三个角分别为45°、45°和90°，求这个三角形的面积。
解答：这是一个等腰直角三角形，两条腰的长度相等，且等于斜边的长度。设腰的长度为x，则斜边的长度为x√2。根据三角形的面积公式，面积等于腰的长度的平方除以2，所以面积为x² / 2。由于这是一个直角三角形，所以x² = (x√2)²，解得x = 2cm。因此，面积为2cm²。
其次，在进行小组讨论时，我发现有些学生比较内向，不太愿意发言。这导致了小组讨论的不够充分，一些学生的想法没有得到充分的表达和交流。为了改变这种情况，我计划在未来的教学中采取更多的互动式教学方法，鼓励每个学生发表自己的观点，并积极参与讨论。
此外，我还发现学生在解答例题时，对于一些步骤的掌握不够熟练，容易出错。这可能是由于他们对基础知识的理解不够深入。因此，我计划在未来的教学中加强对基础知识的讲解和巩固，让学生在解答例题时能够更加得心应手。
在教学过程中，我还注意到一些学生对于课堂内容的吸收能力较强，而另一些学生则相对较慢。为了满足不同学生的学习需求，我计划在未来的教学中采取差异化教学策略，为不同层次的学生提供不同难度的学习材料和练习题。
最后，我还计划加强对学生的个别辅导，特别是对于那些在学习上遇到困难的学生。我希望通过一对一的辅导，帮助他们克服学习障碍，提高学习效果。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．注意：标明垂直的记号和垂足的字母．回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”画法．分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．由作图可得出如下结论：(1)三角形的三条高线相交于1点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点．2．画三角形的中线．如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．由作图可得出如下结论：(1)三角形的三条中线相交于1点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部．3．画三角形的角平分线．如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，图中∠BAD＝∠CAD.分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．由作图可得出如下结论：(1)三角形的三条角平分线相交于1点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部．活动2跟踪训练1．一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，则图中相等的角是________________________________，相等的线段是________．3．三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？4．一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？活动3课堂小结1．三角形的高、中线、角平分线的概念及画法．2．运用三角形的高、中线、角平分线可得到相等的线段和相等的角．【预习导学】知识探究1．三角形的高 2.三角形的中线重心 3.三角形的角平分线自学反馈1．高BC 2.中线CD 3.角平分线∠CAD【合作探究】活动2跟踪训练1．B 2.∠BAE和∠CAE，∠ADB和∠ADC BF和CF 3.三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线；高是线段，垂线是直线． 4.一个三角形有3条高，3条中线，3条角平分线．。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线教案
三角的三条中线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。
上面的结论还成立。
四、三角形的角平分线
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。
请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？
三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。
上面的结论还成立。
想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
通过学生对三角形的高的探究过程，体验类比思想培养学生的探究能力.
作业安排
课本8页3、4；
课堂小结
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
板书设计
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
一 定义： 二 例题:
课后记
教学内容
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
课标对本节课的教学要求
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯.
2.体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心
三角形的高、中线与角平分线(分层作业)(解析版)docx
11.1.2三角形的高、中线与角平分线夯实基础篇一、单选题：（每题3分，共18分）1．在△AB C中，画边BC上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查三角形高的画法，解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点． 中，BC边上的高为（）2．如图，在ABCA．BD B．CF C．AE D．BF【解析】【分析】根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．【详解】根据三角形的高的定义，在△AB C中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．故选：C．【点睛】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．3．下列叙述中错误的一项是（）．A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．【答案】C【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断．【详解】A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，正确；C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确【点睛】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．4．已知，AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【答案】D【解析】【分析】根据等面积法即可求解．【详解】解：∵AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，∴1122AC BD AE BC，即68489.655AE BCACBDcm．故选D．【点睛】本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．5．如图，在△AB C中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）6．如图，AD，AE，AF分别是ABCA ．2BC CDB ．12BAE BAC C ．90AFBD ．AE CE 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A ．∵AD 是ABC 的中线∴2BC CD ，故选项正确，不符合题意；B ．∵AE 是ABC 的角平分线∴12BAE BAC 故选项正确，不符合题意；C ．∵AF 分别是ABC 的高，∴90AFB故选项正确，不符合题意；D ．AE CE 不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．二、填空题：（每题3分，共15分）7．如图，90CBD E F ，则线段______是ABC 中BC 边上的高．【答案】AE【解析】【分析】根据三角形高线的定义判断即可；【详解】∵AE BC ，∴ABC 中BC 边上的高是AE ．故答案是AE ．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．8．如图，△AB C 中，AD 是BC 上的中线，BE 是△AB D 中AD 边的中线，若△ABC 的面积是24，AE ＝3，则点B 到直线AD 的距离为________．【答案】4【解析】【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE 的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．【详解】∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，24ABC S ，∴1122ABD ABC S S ．∵BE 是△AB D 中AD 边上的中线，∴162ABE ABD S S ．设点B 到直线AD 的距离为h ，则162ABE S AE h，即1362h ，∴h =4．即点B 到直线AD 的距离为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一9．如图，在△AB C 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．【答案】5【解析】【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD 的长，再由中线的定义可得CD =BD ，从而得解．【详解】解：∵S △ABD =15，AE 是BC 边上的高，∴12BD •AE =15，则12×6BD =15，解得：BD =5，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD =BD =5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD 的长．10．如图，在三角形ABC 中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，3AB ，4AC ，5BC ，则AD ______．【答案】2.4【解析】【分析】根据面积相等可列式1122AB AC BC AD ，代入相关数据求解即可．【详解】解：∵AB AC ，AD BC ，∴1122AB AC BC AD ∵3AB ，4AC ，5BC ，∴12 2.45AB AC AD BC 故答案諀：2.4【点睛】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．11．已知ABC 中，30cm AC ，中线AD 把ABC 分成两个三角形，这两个三角形的周长差是12cm ，则AB 的长是__________．【答案】42cm 或18cm【解析】【分析】先根据三角形中线的定义可得BD =CD ，再求出AD 把△ABC 周长分为的两部分的差等于|AB -AC |，然后分AB ＞AC ，AB ＜AC 两种情况分别列式计算即可得解．【详解】∵AD 是△AB C 中线，∴BD =C D ．∵AD 是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm ，∴如果AB ＞AC ，那么AB -AC =12cm ，即AB -30=12cm∴AB =42cm ；如果AB ＜AC ，那么AC -AB =12cm ，即30-AB =12cmAB =18cm ．综上所述：AB 的长为42cm 或18cm ．故答案为：42cm 或18cm ．【点睛】考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．三、解答题：（每题8分，共40分）12．如图，BD 和CE 是△ABC 的中线，AE =3cm ，CD =2cm ，若△ABC 周长为15cm ，求BC 边的长．【答案】5cm【解析】【分析】根据中线定义可得AB ，AC ，根据△ABC 周长公式即可求解．【详解】∵BD 和CE 是△ABC 的中线，∴2236AB AE cm ，2224AC CD cm ，∵△ABC 周长为15cm ，即15AB AC BC cm ，∴1515645BC AB AC cm ．【点睛】本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB 和AC 的长．13．如图，△ABC 的周长是21cm ，AB ＝AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，求AB ，B C ．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】【分析】由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．【详解】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝12AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点睛】本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）找出线段AC的中点E，然后连接B E，再过点C向AB所在的直线作垂线，垂足为D 即可；（3）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．(1)如图所示，三角形A′B′C′就是所要求做的图形；(2)如图所示，三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)S △ABC ＝1144822AB CD ．故△ABC 的面积是8．【点睛】本题考查作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图，已知AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，90BAC ．(1)求AD 的长度；(2)求ABE △的面积．【答案】(1)36cm 5(2)227cm 【解析】【分析】（1）利用等面积法，根据1122ABC S AB AC BC AD ，代值求解即可；（2）根据已知条件和（1）中求出的AD 长，利用三角形面积公式得出12ABE S BE AD ，代值求解即可．(1)解：在ABC 中，90BAC ，AD 是边BC 上的高，∵9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，根据1122ABC S AB AC BC AD 可得91236155cm AB AC AD BC ；(2)解：在ABC 中，BE 是边BC 上的中线，且15cm BC ，1152m 2c BE BC ，在ABE 中，AD 是边BE 上的高，且由（1）知5cm 36AD ，2111536272225cm ABE S BE AD ．【点睛】本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键．16．请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC //ED ，BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AE D ．求证：BD ∥EF ．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．能力提升篇一、单选题：（每题3分，共9分）1．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．10C．7或11D．7或10【答案】C【解析】【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①152122yxyy＝＝或②122152yxyy＝＝解方程组①得118xy＝＝，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得710 xy＝＝，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．2．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=43x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=3 2，x=3 10．则四边形PDCE的面积为x+y=7 10．故选B．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比3．如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG 的面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】A【解析】【分析】首先根据点E 是AD 的中点，可知ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ，再根据点D 是BC 的中点，可得BDE CDE S S V ，即可得164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S S V V V V ，然后根据点F ，G 是BE ，CE 的中点，得132AEF ABE S S V V ，132AEG ACE S S V V ，可知FG 是△CBE 的中位线，可得134EFG BCE S SV V ，即可得出答案．【详解】∵点E 是AD 的中点，∴ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ．∵点D 是BC 的中点，∴BDE CDE S S V ，∴164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S SV V V V ．∵点F ，G 是BE ，CE 的中点，∴132AEF ABE S S V V ，13AEG ACE S S V V ，∴FG 是△CBE 的中位线，∴134EFG BCES S V V ，∴+=9AFG AEF AEG EFG S S S S V V V V ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形的面积转化为求三个小三角形的面积是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共9分）4．如图，在ABC 中，2AB AC ，P 是BC 边上的任意一点，PE AB 于点E ，PF AC于点F .若2ABC S ，则PE PF ______．【答案】2【解析】【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF，结合已知条件，即可求得PE PF 的值．【详解】解：如图，连接AP ∵PE AB 于点E ，PF AC 于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF 2AB AC ∵，2ABC S 1122AB PE AC PF 2PE PF 2【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．5．如图，在 AB C 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且 ABC 的面积等于24cm 2，则阴影部分图形面积等于_____cm 2【答案】6【解析】【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【详解】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，而高相等，∴S△BEF=12S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，∴S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=24cm2，∴S△BEF=6cm2，即阴影部分的面积为6cm2．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．6．在ABC 中，90B ，8AB cm ，6BC cm ，点D 是AB 的中点，点P 从A 点出发，沿线段AD 以每秒2cm 的速度运动到B ．当点P 的运动时间t ____________秒时，PCD 的面积为26cm ．【答案】1或3【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AD 上时，当点P 在DB 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】∵8AB cm ，点D 是AB 的中点，∴AD =BD =4cm ，当点P 在AD 上时，AP =2t ，∴PD =4-2t∵PCD 的面积为26cm ，∴12PD ×BC =6，即 142662t 解得t =1s ，当点P 在BD 上时，AP =2t ，∴DP =2t -4，∵PCD 的面积为26cm ，∴12DP ×BC =6，即 124662t ，解得t =3s ，综上，当点P 运动时间t 1或3秒时，PCD 的面积为26cm ．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．三、解答题：（9分）7．如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ．(1)若70,40 ，求DCE 的度数；(2)试用 、 的代数式表示DCE 的度数_________．【答案】(1)15DCE (2)2【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE ．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1)解：∵70BAC ，40B180()180704070ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1352ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9020ACD BAC ，352015DCE ACE ACD ．(2)解：∵BAC ，B180()180ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1118090222ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9090ACD BAC ， 909022DCE ACE ACD．【点睛】思维拓展篇1.阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC 中AB AC ，BD 是ABC 的高，P 是BC 边上一点，PM 、PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M 、N ．求证：BD PM PN ．阳阳发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ，即111222AC BD AB PM AC PN ．由AB AC ，可得BD PM PN ．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD 、PM 、PN 之间的数量关系是：BD PN PM ．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．ABC APC S S ∵________，1122AC BD AC ________12AB ________．AB AC ∵，BD PN PM ．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC 中，AB AC BC ，BD 是ABC 的高．P 是ABC 所在平面上一点，PM 、PN 、PQ 分别与直线AB 、AC 、BC 垂直，垂足分别为点M 、N 、Q ．①如图3，若点P 在ABC 的内部，猜想BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系并写出推理过程．②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ，证明见解析②BD ＝PM ＋PQ −PN ．【解析】【分析】（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC 得出12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，由AB ＝AC ＝BC ，即可得出BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ，得出12AC •BD ＝12AB •PM ＋1 2BC•PQ−12AC•PN，由于AB＝AC＝BC，即可证得BD＝PM＋PQ−PN．【详解】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC＝S△APC−S△APB，∴12AC•BD＝12AC•PN−12AB•PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN−PM．故答案为：S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC∴12AC•BD＝12AC•PN＋12AB•PM＋12BC•PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ−PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△AP C．∴12AC•BD＝12AB•PM＋12BC•PQ−12AC•PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ−PN．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．。
三角形的高、中线和角平分线初中数学原创课件
二、三角形的中线
三、三角形的角平分线
作业布置【知识技能类作业】必做题：
1.作△ABC的边AB上的高,下列作法中,正确的是( D )
B
B
D
A
A
C
B
D
A
B
C
D A
B
C
C
C
A
E
D
2.如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，S△ABC＝8cm2，则阴影
2cm2
部分△BEF的面积等于＿＿＿＿＿．
作业布置【知识技能类作业】选做题：
3．如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC边上的任意一点，PE⊥AB于点E，
6
PF⊥AC于点F.若△ =6 ，则PE+PF=______．
4．已知△ABC中，AC=30cm，中线AD把△ABC分成两个三角形，这两个三角形的
42cm或18cm
周长差是12cm，则AB的长是________________．
(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
如图所示；
新知讲解
其他的三角形也是一样吗？
A
O
D
O┐
C
F
B
B
A
┐
D
E
C
新知讲解
三角形高的特点
锐角三角 直角三角
形
形
钝角三角
形
高在三角形内部的数量
3
1
1
高之间是否相交
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相交
相交
不相交
高所在的直线是否相交
相交
相交
相交
又∵AB+AC=11cm，
11.1.2三角形的高、中线、角平分
知识点一：认识并会画三角形的高线画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.①② ③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段__ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_______ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是________ _ 结论：1、锐角三角形的三条高2、直角三角形的三条高3、钝角三角形的三条高 知识点二：认识并会画三角形的中线画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 写出图①中所有相等关系的线段：_____________________________________________ 总结：1、任何三角形的三条中线都相交于三角形的2、三角形的任意一条中线都把三角形分成 的两部分。
3、三角形的三条中线的交点叫做三角形的 心。
知识点三：认识并会画三角形的角平分线画出△ABC 各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.∠ABC 的角平分线是线段____ ∠ABC 的角平分线是线段____∠BAC 的角平分线是__________ ∠BAC 的角平分线是__________ ∠ACB 的角平分线是___________ ∠ACB 的角平分线是___________ 写出左图中所有相等关系的角:_________________________________________写出这些角的数量关系： 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高、中线与角平分线执教教师：郑光启浙江省天台县屯桥中学学习目标：1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念.2.准确区分三角形的高、中线与角平分线.3.能够独立完成与三角形的高、中线和角平分线有关的计算.学习重点：三角形的高、中线与角平分线学习难点：三角形的高，特别是钝角三角形的高学习准备：三角形纸片、三角板、学案教学过程：一、复习引入问题1已知△ABC的一边BC的长为4，要求△ABC的面积，请问还需要什么条件？二、深化探究C BA探究1:通过作图探索三角形的高问题1:请你来描述一下刚才画三角形的高的过程.问题2:根据画高的过程说明什么叫三角形的高?如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.符号语言：∵AD是△ABC的高∴AD⊥BD，∠ADC=∠ADB=90°三角形高的作用：直角、求面积.在学案上画锐角三角形的三条高线.问题3:这三条高之间有怎样的位置关系？锐角三角形的三条高交于同一点.问：锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部.问：那么直角三角形的三条高呢？直角边BC边上的高是;直角边AB边上的高是;斜边AC边上的高是;问：直角三角形的三条高有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.在学案上画钝角三角形的三条高问：钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点.问：它们所在的直线会交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点.得出结论：三角形的三条高所在的直线交于一点.小测试1：1. 在△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高.（教师提问，学生作答）2.下列各组图形中，哪一组图形中AD 是△ABC 的高( )3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形探究2:类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线问题1:过△ABC 的一个顶点，把它的面积分成相等的二个部分，怎么分？引出三角形中线的定义：如图，连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线.CB A符号语言：∵AD 是△ABC 的中线∴BD=CD=21BC 三角形中线的作用：平分对边、平分面积.学生在学案作三角形的三条中线，引导学生得出结论：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部.（重心）探究3:通过类比的方法探究三角形的角平分线问题1:把一个三角形纸片对折，使AC 与AB 所在直线重合，折痕与BC 相交于点D ．问：(1) 你认为AD 有什么位置特点？(2) 你能给AD 起个名称吗？(3) 请你试用语言描述角平分线的定义.三角形角平分线的定义：如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线.符号语言：∵ AD 是△ABC 的角平分线∴ ∠BAD=∠CAD= 21∠BAC 三角形角平分线的作用：平分三角形的内角.小测试2：填空：（1）如图（1）：AD ，BE ，CF 是ΔABC 的三条中线，则AB=2 ，BD= ，AE= .（2）如图（2）： AD ，BE ，CF 是ΔABC 的三条角平分线，则∠1= ∠3= , ∠ACB=2 .三、深化提高1.如图：某校有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分 成面积相等的四块，请你设计一下划分方案.（方案越多越好）2. 如图,△ABC 中，已知D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且24cm s ABC =△ ,求阴影部分的的面积.四、课堂小结今天这节课，你有何收获和感悟？五、布置作业：根据今天所学的内容，各出一道关于三角形的高、中线与角平分线的题目，与同学交换图1FE D C B A图2F E D B A 4321CB着做.。
11.1.2 三角形的高、中线和角平分线 人教版数学八年级上册课堂教案
第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.2三角形的高、中线和角平分线一、教学目标1.了解三角形的高、中线及角平分线的概念.2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的边上高的画法.二、教学重难点重点：会用工具准确画出任意三角形的高、中线与角平分线.难点：掌握钝角三角形的两短边上高的画法.三、教学过程【新课导入】[复习导入]上节课已经学习了三角形的三条边，它们是三角形中的三条线段.那么，三角形除了它本身的三条边，还有那些重要的线段呢？这就是我们今天要学习的内容.首先来复习一下跟这节课有关的知识.[课件展示]教师利用多媒体展示垂线、线段中点、角的平分线和“过一点画已知直线的垂线”的方法，让学生复习旧知，为新课做准备.【新知探究】知识点1 三角形的高[课件展示]教师利用多媒体展示三角形的高，让学生回忆高的定义.[提出问题]已知线段是三角形的高，我们可以得到什么信息呢？[交流讨论]小组之间交流讨论.得出高的几何表达形式：如图，AD是△ABC（的边BC上）的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°.[提出问题]怎样画三角形的高呢？结合“过一点画已知直线的垂线”的方法思考一下！[课件展示]教师利用多媒体展示三角形的高的画法，让学生体会画高的步骤.提醒学生注意标明垂直的记号和垂足的字母.[提出问题]刚才我们展示了三角形一条高的画法，那么根据三角形的高的定义，你能确定三角形有几条高吗？[学生回答]三条[提出问题]你能用刚才学到的三角形画高的方法画出三角形的三条高吗？动手试一试吧！[实际操作]学生拿出之前准备好的三个三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），利用画高的方法画出三个三角形的高.教师巡视，帮助有困难的学生.[课件展示]教师利用多媒体展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的画法.[提出问题]观察这三个三角形的三条高，思考以下两个问题：（1）这三种三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?（2）三条高之间有怎样的位置关系？[交流讨论]小组之间交流讨论.得出：在锐角三角形中（1）三条高在三角形的内部；（2）三条高交于同一点，且交点在三角形内部.在直角三角形中（1）两条高与直角边重合，另外一条高在内部，BC边上的高是AB，AB边上的高是BC，AC边上的高是BD；（2）三条高的交点为直角顶点.在钝角三角形中（1）两条高在外部，另外一条高在内部，BC边上的高是AF，AB边上的高是CD，AC边上的高是BE；（2）三条高没有交点，三条高所在直线交于三角形外一点.[课件展示]跟踪训练1.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）[归纳总结]三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．[课件展示]跟踪训练2.三角形的三条高中，在三角形外的可能的条数是.知识点2 三角形的中线[课件展示]三角形中线的定义.[提出问题]已知线段是三角形的中线，我们可以得到什么信息呢？[交流讨论]小组之间交流讨论.得出中线的几何表达形式：如图，AD是△ABC的（边BC上的）中线，或点D是边BC的中点，则BD=CD=BC.[提出问题]根据三角形中线的定义，任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的中线，你发现了什么？[实际操作]学生拿出之前准备好的三个三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），画三角形的中线.教师巡视，帮助有困难的学生.[课件展示]教师利用多媒体展示问题：三角形有条中线，三条中线相交于点，交点在三角形的部.[学生回答]画的是锐角三角形的学生回答：三角形有三条中线，三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.画的是直角三角形的学生回答：三角形有三条中线，三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.画的是钝角三角形的学生回答：三角形有三条中线，三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.同时教师解释重心的定义.画的是锐角三角形的学生回答：[提出问题]被三角形中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？周长有什么关系？[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小和周长的长短.引导学生解题，同时得到中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形,这两个三角形的周长差等于另两边长的差.[课件展示]跟踪训练如图，已知△ABC，点D，E分别是BC，AB的中点，若△ABC的面积为8，则△BDE的面积为（）A.5 B.4 C.3 D.2知识点3 三角形的角平分线[课件展示]三角形角平分线的定义.[提出问题]已知线段是三角形的角平分线，我们可以得到什么信息呢？[交流讨论]小组之间交流讨论.得出角平分线线的几何表达形式：AD是△ABC的角平分线，或AD平分∠BAC交BC于点D，或∠BAD=∠CAD=∠BAC.同时教师提醒学生注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线.[提出问题]根据三角形角平分线的定义，任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三个角的角平分线，你发现了什么？[实际操作]学生拿出之前准备好的三个三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），将学生分成三组，三组依次画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的角平分线.教师巡视，帮助有困难的学生.[课件展示]教师利用多媒体展示问题：三角形有条角平分线，三条角平分线相交于点，交点在三角形的部.[学生回答]每个小组之间讨论，选出代表回答老师的问题，得到最终答案：三角形有三条角平分线，三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部.[课件展示]跟踪训练1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空.（1）∠1=∠（）；（2）∠3= （）；（3）∠ACB=（）∠4.[课件展示]跟踪训练2.已知△ABC中，∠C=50°，AD是边BC上的高，将∠CAD对折，使AC与AD重合，得到折痕AE，那么∠DAE=（）A.50°B.40°C.30°D.20°[归纳总结]将三角形的一个角对折，使其两边重合.折痕即为三角形的一个角平分线.【课堂小结】【课堂训练】1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（ D ）A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高D．DE是△BCD的高2.下列说法正确的是（ B ）A．三角形的三条高线交于一点B．直角三角形有三条高C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部D．三角形的角平分线是射线3.如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ B ）A．20B．24C．26D．284.如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（ C ）①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD= 2 CE．6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于2 ．7.如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高.（1）如果BC＝10cm，求BE的长；（2）如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BAD和∠DAF的度数．解：（1）因为AE是中线，BC=10cm，所以BE=5cm.（2）因为∠ABC=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC=180°﹣40°﹣60°=80°.因为AD是角平分线，所以∠BAD=40°.因为AF是高，所以∠CAF=90°﹣60°=30°，所以∠DAF=40°﹣30°=10°.【教学反思】本节课为学生创设了更多的自主学习合作交流的机会，让他们主动参与到学习中，动手操作的模式，使学生在亲自经历整个探究过程，之后也能够对三角形的高、中线、角平分线的概念及性质有更深入的理解.。
数学人教版八年级上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.2三角形的高、中线与角平分线宁明县民族中学吕迅编教学目标知识与技能：1.掌握三角形的高、中线、角平分线及重心的定义；2.会画三角形的高、中线、角平分线。
过程与方法：经历折纸、画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线。
情感态度与价值观：培养学生乐于动手、肯于实践的精神。
重点与难点重点：１. 掌握三角形的高、中线、角平分线及重心的定义；２.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线。
难点：1.三角形的角平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别；2.钝角三角形高的画法；3.不同的三角形三条高的位置关系.教学过程一、情境导入为了迎接“阳光体育与健康同行”活动，同学们利用课外活动时间积极参加体育锻炼，小明和小红进行了跳远训练。
那么如何测量他们的跳远成绩呢？你们知道用到哪些数学知识来解决问题呢？二、探究新知回忆：同学们还记得“过直线外一点画已知直线的垂”吗？问：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
A A ABB C B C C图1 图3 图3活动探究一第一组的同学画图1中的锐角三角形的三条高，第二组的同学画图2的直角三角形的高，第三、四组的同学画图3的钝角三角形的三条高并思考下列问题： 问题1：观察锐角三角形的三条高之间有怎样的位置关系？三条高是在三角形的内部还是外部?将你的结果与你的同伴交流。
结论：锐角三角形的三条高交于同一点，并且三条高都在三角形的内部。
问题2：观察直角三角形的三条高的交点在哪个位置？将你的结果与同伴交流。
结论：直角三角形的三条高交于直角顶点.问题3：钝角三角形的三条高相交于一点吗？它们所在的直线是否交于一点？ 结论：钝角三角形的三条高不相交于一点,但是这三条高所在直线交于一点 练一练：2、三角形的中线：连结ΔABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，线段AD 叫做ΔABC 的边BC 上的中线。
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（4）三角形有几条角平分线，你能画出它们吗？分组进行练习，画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的角平分线
在折纸的基础上，给出角平分线概念
学生动手画图
师生共同归纳
达标训练
教师批阅
课本5頁练习1、2题.
总结提升产生新疑
思考：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于一点，其中高的交点有何特别之处？
教师引导学生分析
板书设计
1.三角形的三条高相交于一点.
2三角的三条中线相交于一点.
3三角形三个角的平分线相交于一点.
作业设置
课本8页3、4；
教学反思
上善若水和而不同
“学-疑-练”智慧课堂教学模式教案
主备人
执教人
班级
八年级
时间
课题名称
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
课型
新授
共3课时
第2课时
教学目标
1、通过动手操作，认识三角形的高、中线与角平分线；
2、能用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线；
3、了解三角形的三条高（及所在直线）交于一点，三角形的三条中线、三条角平分线都分别交于一点。
（2）思考：三角形的高与前面学过的线段的垂线有何异同？
（3）你能根据高的定义画出三角形的三条高吗？试一试。
（4）上面我们画出了锐角三角形的三条高，那么你能画出直角三角形、钝角三角形的三条高吗？
（5）归纳总结，每个三角形都有三条高，它们或它们的延长线交于一点，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形的两条高就是它的两条直角边，另一条高在三角形的内部，钝角三角形有两条高在三角形的外部。
2.三角形有几条高呢？你能都折出来吗？
回顾旧知识，通过操作拓展新知识
教师示例，学生仿照折纸
明确目标
1能用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线；
2、了解三角形的三条高（及所在直线）交于一点，三角形的三条中线、三条角平分线都分别交于一点。 Nhomakorabea自学质疑
二、探究新知
1.三角形的高：
（1）从△ABC的顶点Ａ向它所对的边BC画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
学生动手画图
分组交流讨论，然后练习画图，教师巡视
师生共同归纳总结
合作探疑
教师给出一个准备好的三角形纸片，把B、C重合对折，折痕与B、C交于点D。
（1）D点有什么特殊性？
（2）连接△的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
（3）三角形有几条中线，你能画出它们吗？分组进行练习，画锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的中线
（4）思考：三角形的一条中线把三角形分成的两个三角形的面积有何关系？
在折纸的基础上，给出中线概念
学生动手画图
学生思考交流
师生共同归纳
展示释疑
3.三角形的角平分线
教师再给出一个三角形纸片，对折，使AC与AB所在直线重合，折痕与BC交于D。
（1）通过这个操作你认为∠BAD和∠CAD有什么关系？
（2）画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线。
教学重点
三角形三线的概念及准确画出三线
教学难点
钝角三角形高的画法
教法与学法
自主探究，合作交流，体会三角形高、中线、角平分线的画法
课前准备
课件，三角板
教学环节
教师活动
学生活动
整理与批注
激趣导入
教师出示一个三角形纸片（锐角三角形），让学生回忆，如何作出三角形的高。
教师提出问题：
1.小学中已经学过三角形的高，你能用折纸的方法找到准备好的三角形的高吗？