高考数学专题《对数与对数函数》习题含答案解析
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专题3.6 对数与对数函数
1.(2021·安徽高三其他模拟(理))函数()ln ||f x x x =+的图象大致是(
)
A .
B .
C .
D .
【答案】D 【解析】
确定函数的奇偶性,排除两个选项,再由0x >时的单调性排除一个选项,得正确选项.【详解】
易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数,所以排除选项A ,C ;当x >0时,()f x 单调递増、所以排除选项B.故选:D .
2.(2021·江西南昌市·高三三模(文))若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩
.则()0f f ⎡⎤=⎣⎦( )A .0B .1
C .2
D .3
【答案】A 【解析】
利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.
练基础
()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩
,则()0
021f ==,因此,()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选:A.
3.(2021·浙江高三其他模拟)已知a 为正实数,则“1a >”是“3
2
212
log log a a ->”的(
)
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
利用充分、必要条件的定义,即可推出“1a >”与“
32
212
log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】
因为32
212
log log a a ->等价于3222log log a a >,
由a 为正实数且1a >,故有32a a >,所以3
2
22log log a a >成立;
由a 为正实数,32
22log log a a >且函数2log y x =是增函数,有32a a >,故()2
10a
a ->,所以1a >成
立.故选:C .
4.(2021·浙江高三专题练习)已知函数f (x )=1
3
31,,log 1x x x x ⎧≤⎪
⎨>⎪⎩则函数y =f (1-x )的大致图象是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D 【解析】
由()f x 得到()1f x -的解析式,根据函数的特殊点和正负判断即可.
因为函数()f x 1
3
3,1log ,1x x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩,
所以函数()1f x -()11
3
3,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪
=⎨-<⎪⎩,
当x =0时,y =f (1)=3,即y =f (1-x )的图象过点(0,3),排除A ;当x =-2时,y =f (3)=-1,即y =f (1-x )的图象过点(-2,-1),排除B ;当0x <时,()13
11,(1)log 10x f x x ->-=-<,排除C ,
故选:D .
5.(2021·江苏南通市·高三三模)已知1
3
31311log 5,,log 26
a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系为( )
A .a b c >>
B .b a c >>
C .c b a
>>D .c a b
>>【答案】D 【解析】由于1
33
1
log g 6
6lo c ==,再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】
1
33
1
log g 6
6lo c ==,因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增,所以3331
3
1
log 31log 5log 6log 6
a c =<=<<=,因为函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,所以10
3
12112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭
=⎭,
所以c a b >>故选:D
6.(2021·辽宁高三月考)某果农借助一平台出售水果,为了适当地给鲜杏保留空气呼吸,还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞,同时还要在鲜杏中间放上冰袋,来保持泡沫箱内部的温度稳定,这样可以有效延长水果的保鲜时间.若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t (小时)满足的函数关系式为t h m a =⋅.若
采摘后20小时,这种杏子失去的新鲜度为10%,采摘后40小时,这种杏子失去的新鲜度为20%.在这种条件下,杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度( )(已知lg 20.3≈,结果取整数)
A .42小时
B .53小时
C .56小时
D .67小时
【答案】D 【解析】
利用指数的运算得出1
202a =,再利用对数的运算即可求解.【详解】
由题意可得200010m a =⋅,①
400020m a =⋅,②
②÷①可得202a =,解得1
202a =,所以0050t m a =⋅,③ ③÷①可得205t a -=,所以20
20
2
5t -=,即
20
lg 2lg 51lg 20.720
t -==-=,解得67t ≈(小时).故选:D
7.【多选题】(2021·辽宁高三月考)已知2log 3a =,34b =,22log 31c =+,则下列结论正确的是( )
A .a c <
B .2ab =
C .1abc a =+
D .22
bc b =+【答案】BCD 【解析】
先判断1a >,即可判断A ; 利用222
log 3b a
==判断B ;利用B 的结论判断C ;利用C 的结论判断D.【详解】
因为2log 31a =>,所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<,即A 不正确;因为33222
log 42log 2log 3b a
===
=,所以2ab =,即B 正确;由2ab =可知,21abc c a ==+,C 正确;
由1abc a =+可知,2ab c ab b =+,则22bc b =+,即D 正确.故选:BCD.
8.【多选题】(2021·山东日照市·高三一模)已知113log 0x x +=,222log 0x
x +=,则( )
A .2101x x <<<
B .1201x x <<<
C .2112lg lg 0x x x x -<
D .2112lg lg 0
x x x x ->【答案】BC 【解析】
根据对数函数的性质可判断AB 正误,由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】
由131log 0x x =->可得101x <<,同理可得201x <<,因为(0,1)x ∈时,恒有23log log x x
<所以122231log log 0x x x x -=-<,即12x x <,故A 错误B 正确;因为1201x x <<<,
所以12lg lg 0x x <<,即210lg lg x x <-<-,
由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-,即2112lg lg 0x x x x -<,故C 正确D 错误.故选:BC
9.(2021·浙江高三期末)已知2log 3a =,则4a =________.【答案】9【解析】
把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】
因为2log 3a =,所以2
22log 3log 34429a ===.
故答案为:9.
10.(2021·河南高三月考(理))若41
log 32
a =,则39a a +=___________;【答案】6【解析】
首先利用换底公式表示3log 2a =,再代入39a a +求值.
【详解】由条件得331
log 4log 22
a ==,所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为:6
1.(2021·浙江高三专题练习)如图,直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点
A ,
B ,若函数()y f x =的图象上存在一点
C ,使得ABC V 为等边三角形,则t 的值为( )
A
B
C
D
.3
+【答案】C 【解析】
由题意得()3,log A t t ,()3,log 1B t t -,1AB =,根据等边三角形的性质求得C
点的横坐标x t =-
,结合A ,B
两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =,解方程即可求得t 的值.【详解】
由題意()3,log A t t ,()3,log 1B t t -,1AB =.设()3,log C x x ,因为ABC V 是等边三角形,所以点C 到直线AB
所以t x -=
,x t =-
根据中点坐标公式可得
练提升
33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝,
所以t -=
,解得t =故选:C
2.(2021·安徽高三其他模拟(文))已知函数()()14,1
2ln 1,1x
x f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩
,若()0f f x <⎡⎤⎣⎦,则x 的取值范
围为( )
A .()
2,0-B .21,
1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
C .212,
1e ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
D .()212,11,0e ⎛⎫
--⋃-
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<,然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<,即可得解.【详解】
若()1f x ≤-,则()()
1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪
⎣⎦⎝⎭
,解得()2f x >-,此时,()21f x -<≤-;
若()1f x >-,则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,可得()011f x <+<,解得()10f x -<<.综上,()20f x -<<.
若1x ≤-,由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭,可得1242x
⎛⎫<< ⎪⎝⎭
,解得21x -<<-,此时21x -<<-;
若1x >-,由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<,可得
2111x e <+<,解得2
1
10x e -<<,此时,2
1
10x e -<<.综上,满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫
--⋃- ⎪⎝⎭
.故选:D.
3.(2021·全国高三三模)已知函数()x
x
f x e e
-=+,若()()4
561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛
⎫
=== ⎪⎝
⎭
,则,,a b c 的大小关系正确的是( )
A .b a c >>
B .a b c >>
C .c b a >>
D .c a b
>>【答案】B 【解析】
先判断函数的奇偶性,再利用导数判断函数的单调性,最后根据对数函数的性质,结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()x
x f x e
e f x --=+=,所以()f x 为偶函数,
()21
x x
x
x
e x e
e f e --=='-,当0x >时,()0f x '>,函数单调递增,当0x <时,()0f x '<,函数单调递减,
()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛
⎫==-=== ⎪⎝
⎭,
因为lg4lg6+>故22
22
lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
245lg5lg6lg 5lg4lg6
log 5log 60
lg4lg5lg4lg5
-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>,则.a b c >>故选:B.
4.【多选题】(2021·辽宁高三月考)若1a b >>,则( )A .log 3log 3a b <B .33
a b <C .11log ()log 21
ab ab a b
+≥-
D .
11+11
a b <
+【答案】ACD 【解析】
由已知,A 选项,借助对数换底公式及对数函数单调性可判断;B 选项,利用幂函数单调性可判断;C 选项,利用对数函数单调性可判断;D 选项,利用反比例函数单调性可判断.【详解】
对于A 选项:3log y x =在(0,+∞)上单调递增,1a b >>,则333311
log log 0log log a b a b
>>⇒
<,即log 3log 3a b <,A 正确;
对于B 选项:函数y =x 3在R 上递增,则33a b >,B 错误;对于C 选项:1a b >>,则ab >1,a +b >2,1
1log ()log log ()1ab ab ab a b
a b a b ab
++==+-log 21ab >-,有11log (log 21ab ab a b
+≥-成立,即C 正确;对于D 选项:1112a b a b >>⇒+>+>,而函数1
y x =在(0,+∞)上递减,则有11+11
a b <+,即D 正确.
故选:ACD
5.【多选题】(2021·全国高三专题练习(理))已知0a b >>,且4ab =,则( )
A .21a b ->
B .22log log 1a b ->
C .228a b +>
D .22log log 1
a b ⋅<【答案】ACD 【解析】
利用不等式的性质和基本不等式的应用,结合指数函数与对数函数的单调性,对选项逐一分析判断.【详解】
因为0a b >>,且4ab =,对A ,0a b ->,所以0221a b ->=,故A 正确;对B ,取83
,32
a b ==,所以222
2216
log log log log log 219
a a
b b -==<=,故B 错误;对C
,22a b ≥+,当且仅当a b =
取等号,又因为4a b +≥=,当且仅当a b =
取等号,所以
228a b ≥≥=+,当且仅当a b =取等号,因为0a b >>,所以不能取等号,故C 正确;对
D ,当10>>>a b ,22log 0,log 0a b ><,所以22log log 1a b ⋅<;当1a b >>,22log 0,log 0a b >>,
所以()()2
2
22222
log log log log log 14
4
a b ab a b +⋅≤
=
=,当且仅当a b =取等号,因为0a b >>,所以不
能取等号,故D 正确.故选:ACD.
6.【多选题】(2021·湖南高三二模)若正实数a ,b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>,下列不等式恒成立的是( )
A .log 2log 2a b >
B .ln ln a a b b ⋅>⋅
C .122ab a b ++>
D .log 0
a b >【答案】CD 【解析】
由已知不等式,求出,a b 之间的关系,结合选项一一判断即可.【详解】
由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ,
对于选项A ,当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ,选项A 错误;
对于选项B ,比如当11,24a b == 时,有2
11111111
ln ln 2ln ln 44424222
⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立,选项B 错误;
对于C ,因为()()1110ab a b a b +--=-->,所以1ab a b +>+ ,则122ab a b ++> ,选项C 正确;对于选项D ,因为ln ln 0a b ⋅>,所以ln log 0ln a b
b a
=>,选项D 正确,故选:CD .
7.【多选题】(2021·山东临沂市·高三二模)若5log 2a =,1
ln 22b =,1ln 55
c =,则( )A .a b >B .b c
>C .c a
>D .2a b
>【答案】AB 【解析】
对四个选项一一验证:
对于A :利用换底公式,化为同底结构,利用函数的单调性比较大小;对于B :利用换底公式,化为同底结构,利用函数的单调性比较大小;对于C :利用不等式的传递性比较大小;
对于D :利用换底公式,化为同底结构,利用函数的单调性比较大小;
【详解】
对于A :522
221111
ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ==
==⨯=,又2
5e >,且2log y x =为增函数,所以2
22l l g 5og o e <,所以
2225
1l og 1
l og e <,即a b >.故A 正确;
对于B
:1ln 22b ==
,1
ln 55
c ==
因为
10
10
5
2232,
525,ln y x =====为增函数,所以b c >;故B 正确;
对于C :因为a b >,b c >,所以a c >,故C 错误;对于D :因为1
ln 22b =
,所以212ln 2log b e ==,而52
1log 2,log 5a ==
又5e <,所以22log log 5e <,所以2211log log 5
e >,所以2b a >,故D 错误.故选:AB.
8.(2021·浙江高三专题练习)已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+,当(0,1)x ∈时,函数()3x f x =,则
13
(log 19)f =__________.
【答案】27
19
-【解析】
由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2,然后利用周期和()(1)f x f x =-+对
13
(log 19)f 化简可得
13(log 19)f 33
927(log 1)(log 1919
f f =-+=-,从而可求得结果
【详解】
解:由题意,函数()f x 满足()(1)f x f x =-+,化简可得()(2)f x f x =+,所以函数()f x 是以2为周期的周期函数,
又由(0,1)x ∈时,函数()3x f x =,且()(1)f x f x =-+,则1333
3
9
(log 19)(log 19)(log 192)(log 19
f f f f =-=-+=327lo
g 193392727
(log 1)(log 3191919
f f =-+=-=-=-.
故答案为:2719
-
.9.(2021·千阳县中学高三其他模拟(文))已知函数()()()11
3
30log 0x x f x x x +⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩,则不等式()1f x >的解集为
___________.【答案】11,3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【解析】
根据分段函数的定义,分段讨论即可求解.【详解】
解:()()()11
3
30log 0x x f x x x +⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩ ,
()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或1
3
0log 1x x >⎧⎪
⎨>⎪⎩,
解得10-<≤x 或103x <<
,即1
13
x -<<,∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
故答案为:11,3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
.
10.(2021·浙江丽水市·高三期末)已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<,则a 的取值范围是__________.
【答案】⎫
⎪⎪⎭
【解析】
通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ,利用换底公式计算可得
[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)
++-+++-=
+a a a a a a a a a a ,分别判断每个因式的正负,最终转化为
211
()124
+->a 成立,结合二次函数图像,即可求得a 的取值范围.
【详解】
∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)
a a a a
a a a a +++-=
-+22lg (1)lg lg (1)a a
alg a +-=
+[][]
lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)
a a a a a a +-++=
+而当01a <<时,lg 0a <,g(0)l 1a +>,
1
lg(1)lg lg
lg10a a a a
++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡
⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦,所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为
211lg ()024⎡
⎤+->⎢⎥⎣
⎦a ,由于lg u 单调递增,所以211(124+->a .
211()24u a =+-的图象如图,当1u =
时,0a =,
1a <<时,12u <<,lg 0u >,可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.
故答案为:⎫
⎪⎪⎭
1.(2020·全国高考真题(文))设3log 42a =,则4
a
-=
( )
练真题
A .
116
B .
19
C .
18
D .
16
【答案】B 【解析】
由3log 42a =可得3log 42a
=,所以49a =,所以有14
9
a
-=
,故选:B.
2.(2020·全国高考真题(理))设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A .是偶函数,且在1
(,)2
+∞单调递增
B .是奇函数,且在11
(,22
-
单调递减C .是偶函数,且在1
(,)2
-∞-单调递增
D .是奇函数,且在1
(,2
-∞-单调递减
【答案】D 【解析】
由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩
⎭
,关于坐标原点对称,又
()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-,
()f x ∴为定义域上的奇函数,可排除AC ;
当11,22x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时,()()()ln 21ln 12f x x x =+--,()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增,()ln 12y x =-在11,22
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减,
()f x ∴在11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增,排除B ;
当1,2x ⎛⎫∈-∞-
⎪
⎝
⎭时,()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛
⎫=----==+ ⎪--⎝⎭
,2121x μ=+
- 在1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递减,()ln f μμ=在定义域内单调递增,
根据复合函数单调性可知:()f x 在1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递减,D 正确.
故选:D.
3.(2020·天津高考真题)设0.8
0.7
0.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭
,则,,a b c 的大小关系为( )
A .a b c <<
B .b a c <<
C .b c a
<<D .c a b
<<【答案】D 【解析】
因为0.731a =>,
0.8
0.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪
⎝⎭
,
0.70.7log 0.8log 0.71c =<=,
所以1c a b <<<.故选:D.
4.(2019年高考全国Ⅲ卷理)设是定义域为R 的偶函数,且在单调递减,则
A .(log 3)>()>()
B .(log 3)>()>()
C .()>()>(log 3)
D .()>()>(log 3)
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数,.,
又在(0,+∞)上单调递减,
∴,
即.
故选C .
5.(2020·全国高考真题(理))若2233x y x y ---<-,则( )
()f x ()0,+∞f 1
4
f 3
22-f 232-f 1
4
f 232-f 322-f 3
22-f 232-f 14
f 232-f 322-f 1
4
()f x R 3
31
(log (log 4)4
f f ∴=22330
3
3
2
2
333log 4log 31,122
2,log 42
2-
--
-
>==>>∴>> ()f x 2332
3(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
3323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A .ln(1)0y x -+>
B .ln(1)0y x -+<
C .ln ||0x y ->
D .ln ||0
x y -<【答案】A 【解析】
由2233x y x y ---<-得:2323x x y y ---<-,令
()23t t f t -=-,
2x y = 为R 上的增函数,3x y -=为R 上的减函数,()f t ∴为R 上的增函数,
x y ∴<,
0y x ->Q ,11y x ∴-+>,()ln 10y x ∴-+>,则A 正确,B 错误;
x y -Q 与1的大小不确定,故CD 无法确定.
故选:A.
6.(2019·天津高考真题(文))已知a =log 27,b =log 38,c =0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b
【答案】A 【解析】
c =0.30.2<0.30=1;log 27>log 24=2;1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。