三角函数、解三角形专题测试卷

三角函数、解三角形专题测试卷（重点学生）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－m
m ＋1，且α为第二象限角，则m 的允
许值为( )
A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝3
2
2. 如图，函数|2
|sin 2)(π-=x x f 的部分图象是（ ）
B C D
3. 已知点O 为ABC ∆的外心，且2||4==，则 )(-⋅等于
A.2
B.4
C.6
D.8
4．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( )
A ．a ＜a 2＋b 22＜b
B ．a ＜b ＜a 2＋b 2
2 C ．b ＜a 2＋b 22＜a D ．b ＜a ＜a 2＋b 2
2 5. 要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为( )
A.10
2m B.20m C.203m D.40m
6．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π
4，则实数a
的值为( )
A ．1 B.110 C ．1或1
10 D ．1或10
7.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2
|PC |2＝( )
A ．2
B ． 4
C ．5
D ．10
8．当0＜x ＜π
2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为 ( ) A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 3
9. 关于
x 的方程2
2
22212cos (2))x x x x a --+=至少有一个解.则实数a 应满足（ ）
A.12a -<<
B.12a -<≤
C.12a -≤<
D.12a -≤≤ 10. 设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有 sinA －sinC+
,2
2)cos(22=-C A 则此三角形的面积为( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或5
33 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上)
11. 设函数f (x )=x 3+x (x ∈R ）当20π
θ≤
≤时，f (msin θ)+f (1-m )＞0恒成立，
则实数m 的范围是
12．在△ABC 中，已知tan A ＝3tan B ，则tan(A －B )的最大值为________，此时角A 的大小为________．
13. 已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与 的夹角是____________________．
14. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =1， 角B=45°，△ABC 的面积S =2，那么△ABC 的外接圆的直径等于 ________________。

15．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x ∈R
的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________． ①函数f (x )的最小正周期为π
2； ②函数f (x )的振幅为23；
③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝7π
12； ④函数f (x )的单调递增区间为[π12，7π
12]； ⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －2π
3)．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图像上
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）若 (
))124sin ,31tan f π
αααα
-++=+求 的值 17. 如图，甲船以每小时30
2
海里的速度向正北方向航行，乙船按固
定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10
2
海里，问乙船每小时航行多少
海里？
18．已知函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3
2. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；
(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cos B 的取值范围，并确定此时f (B )的最大值．
19. 如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，线段DE 经过△ABC 的中心G ，m =，n =（0＜m ≤1,0<n ≤1）。

（1）求
mn
n
m +的值； （2）求△ADE 的面积的最小值和最大值。

20. 已知函数()()2cos 10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=++>><< ⎪⎝
⎭
的最大值为3,()
x f 的图像的相邻两对称轴间的距离为2,在y 轴上的截距为2. (1)求函数()x f 的解析式； (2)求()x f 的对称中心.
(3)设数列()n n S n f a ,=为其前n 项和,求100S .
21. 如下图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.若BC=a, ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值
2
1
S S 称为“规划合理度”.
（1）试用a ,θ表示1S 和2S .
（2）当a 为定值，θ变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小.
（21题图）
参考答案
1、解析：由sin 2
α＋cos 2
α＝1得，(2m －5m ＋1)2＋(－m m ＋1
)2
＝1，
∴m ＝4或3
2，又sin α＞0，cos α＜0，把m 的值代入检验得，m ＝4. 2、有分段函数的定义，结合正弦函数图像，答案选C. 3、由外心的定义，结合向量知识，答案选C.
4、解析：a ＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°，b ＝2sin62°，b ＞a .
a 2＋
b 22＝3sin62°，∴a 2＋b 2
2＞b ＞a . 答案：B 5、由仰角知识画图解三角形，答案选D
6、tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
a
＋lg
1a
1－
a
1
a
＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或1
10.选C.
7、转化成向量的模，选D.
8、化简后由均值不等式选C.
A
B
C
P
Q R
S
9、 答案C. 解析：设2
22x x t -=.
则22cos 2t a t =.即
2cos21t t a -=-.得1
cos(2)32
a t π-+=
.而2221(1)22(0,2]x x x t ---==∈. 有2(,4]333t πππ+∈+.从而1cos(2)[1,)32t π+∈-.由11122
a --≤<.得12a -≤<.
10、答案选C
⇒=-+-===+=2
2
)cos(22sin sin ,3sin 2,120,60C A C A B b C A B 由 或02
sin 2sin 2))cos(1(222sin 2cos 22=-⇒-=--=-+C A C A C A C A C A
;4
33,3,60.90222sin
========-=⇒=-S c b a B C A C A C A C A 时当或 当4/3,15sin 2,105sin 2,15,105,90======-S c a C A C A 故时 11、由奇函数和增函数知识，m 的范围为)1,(-∞. 12、解析：由于tan(A －B )＝
tan A －tan B
1＋tan A tan B ＝3tan B －tan B
1＋3tan B ·tan B ＝
2tan B
1＋3tan 2B ≤33.当且仅当1＝3tan B 时取“＝”号，则tan B ＝3
3⇒tan A ＝3⇒A ＝60°.
13、由向量的运算知0120=θ 14、 解三角形知识知答案为25 15、答案：③⑤
16、解析如下：
()()(
)()(1)
sin sin ,2sin cos 0cos 0
0,.2
2
,,21,cos 2
f x x x x T
T T f x x ωϕωϕωϕϕππϕϕππω∴-+=+⇒=∴=≤≤
∴=
==∴=∴=∴=为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则
()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1
cos 2455
sin cos ,12sin cos ,2sin cos
,3999
ααααα
ααααα
αααααα-++=
==++
+=∴+=∴=-∴=-
原式又原式 17、解析：连结12A
B ，22A B =122060A A =⨯12118012060
A A
B ∠
=︒-︒=︒∴
122A A B ∆是等边三角形
∴12A B =
在121A B B ∆中，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，1120A B =
2221
211121
1122
2
2cos 4520220200
B B A B A B A B A B =+-⋅︒
=+-⨯⨯= ∴12B B =
因此乙船的速度的大小为6020
= 18、解：(1)f (x )＝2cos x ·sin(x ＋π3)－3
2
＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－3
2
＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π.
(2)由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，cos B ＝a 2＋c 2－ac
2ac
＝a 2＋c 22ac －12≥2ac 2ac －12＝12，∴1
2≤cos B ＜1， 而0＜B ＜π，∴0＜B ≤π3.函数f (B )＝sin(2B ＋π
3)， ∵π3＜2B ＋π3≤π，当2B ＋π3＝π2，即B ＝π
12时，f (B )max ＝1.
19、（1）如图延长AG 交BC 与F ， G 为△ABC 的中心
∴F 为BC 的中点，则有AC AB AF
2
1
21+=
m =，n =，AF AG 3
2
=
∴
n
m 21
2123+= 即
n
m 3131+=
故
因为D 、G 、E 三点共线 ∴
13131=+n
m mn
n
m +＝3
（2）△ABC 是边长为1的正三角形
∴m AD =，n AE =
∴S ADE Λ＝
4
3
mn 由
n m 11+=3，0＜m ≤1,0<n ≤1∴n=13-m m ,211≤≤m
即12
1≤≤m 。

∴S ADE Λ＝
43mn ＝4
3132-m m
设t=m-3
1
则m=t+3
1（3261≤≤t ）∴S ADE Λ=43
mn=12
3（t+
t 91+3
2）
易知()t
t t f 91
+
=在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡31,61为减函数，在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡32,31为增函数。

∴t=
31时，()t f 取得最小值3
2
，即S ADE Λ取得最小值
9
3
又6
5
3261=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，∴()t f 取得最大值是
65，则S ADE Λ取得最大值
8
3
20、 (1)()()2122cos 2A x A x f +++=
ϕω ,依题意2A ,32
12=∴=++A
A 又
2,2
T
=得4T =,
2 4 2πω∴=,4πω= ()222cos +⎪⎭
⎫
⎝⎛+=∴ϕπx x f .
令0x =得cos 222ϕ+=即cos 20ϕ=,又02
πϕ<<, 02ϕπ∴<< 22
π
ϕ∴=
所以函数()x f 的解析式为()2sin 2
f x x π
=-.
(2)由
2x k π
π
=得2x k =,故函数()x f 的对称中心为(2,2)k (k Z ∈)
(3)由()2sin 2
f x x π=-知()2sin 2
n a f n n π==-
当n 为偶数时,()2=n f ;当n 为奇数
时,()()()()()()499977531=+==+=+f f f f f f
100250425200S ∴=⨯+⨯=(此题亦可:因4T =,故4
100125()200i S f i ===∑.)
21、（1）在Rt
∆ＡＢＣ中 ， AC=asin ,AB=acos θθ，
211S a sin cos 2θθ=＝221
a sin 4
θ
设正方形的边长为x ， 则 x B Q = ,R C =x t a n t a n
θ
θ x +x+xtan =a tan θθ∴ 11
a x=+tan +tan θθ
∴ ＝222a sin sin θθ
+
2
22222a sin S x sin θθ⎛⎫
== ⎪
+⎝⎭
（2）、2t s i n θ=
而2S ＝2224422a sin sin sin θ
θθ++1412S 1t S 4t ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭
∵0 < θ <
2π,又0 <２θ <π,∴０<t ≤１ ∴()1144f t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
为减
函数 当1t =时 12
S S 取得最小值为2
3
此时21sin =4
π
θθ=∴。