岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态

§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
应变增量: 此dt可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。
因而用应变增量张量代替应变率张量更能表示不
受时间参数选择的特点。
应变增量由 位移增量微
d ij
1 2
(dui, j
du j,i )
(1.57)
;
3
ln
l3 l2
;
1
2
3
ln l1 l0
ln l2 l1
ln l3 l2
ln l1l2l3 l0l1l2
ln l3 l0
1 2 3
§3.1 应变状态16
• 工程应变与自然应变的关系： （3）自然应变为可比应变，工程应变为不可比应变
l0 2l0
拉
2l0 l0 l0
100%
l0 0.5l0
J2
-
1（ 2
ii
jj
-
ij
）
ij
x
y
y x
zx
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
J3 ij
第一，第二和第 三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐
标变换并不影响应变状态。
• 应变不变量就是应变状态这种性质的表现。
§3.2 主应变与应变主方向6
•应力张量——应变张量 •应力不变量——应变不变量
• 其正负号与坐标方向一致
x
z
U
P1
P
O
y
图 3.1 位移矢量
§3.1 应变状态2
位移u，v，w是单值连续函数
进一步假定位移函数具有连续三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，暂不考虑六面体变形后 的方位（忽略刚性变形），分两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
压
0.5l0 l0 l0
50%
失去了可比较的性质
拉
ln
2l0 l0
69%
压 ln
0.5l0 l0
69%
可以比较
§3.2 主应变与主应变方向
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。 •通过坐标变换，可以找出一些方向，只有正 应变，没有剪应变。
• 如不计物体刚体运动部分，在小变形假设前提下，由物体变 形引起的微分六面体在方位上的转动是极其微小的。
• 因而在推导位移分量与应变分量之间的几何关系时，用三条 棱边在坐标平面上的投影长度代替它们实际长度，用它们在 坐标平面投影之间的夹角代替实际夹角。
• 如图3.3所示，这样的处理不会引起明显误差。
§3.2 主应变与应变主方向2
转轴时应变分量的变换
•
变形通过应变描述
x
应变状态——
ij
1 2
yx
• 应变张量
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
z
11 21 31
12 22 32
13
23
33
• 坐标变换时，应变分量随坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
颈缩阶段： 应变；应力
不符合材料实际情况
l1 l0 l2 l1
l0
l1
ln
l0
dl l
ln ln l0
ln
ln1
l n1 i 1
li
ln1
i0 li
适用于大变形
§3.1 应变状态13
• 工程应变与自然应变的关系：
（1）小变形时， ；变形程度越大， 误差越大。
ln ln ln(1 ln l0 ) ln(1 ) 2 3 4
公式比较
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
J1 ii x y z
I1 x y z
J 14 ( ) 2 x y y x z x
2
2
2
I2
x y
y z
z x
2 xy
2 yz
2 xz
xy yz zx
m' a'ma ma
dx
u x
dx
dx
u
dx
x
同理可得：
y
v ，
y
z
w z
§3.1 应变状态6
再来分析剪应变，设 yx 表示ma向y轴转过的角度， xy 表示mb
向x轴转过的角度，则
其中
yx tan yx
xy
u y
yx
2
a' a' ' m' a''
- B' M' A'
v v dx v
x dx u dx
x
2
b' m' a' xy
v
x 1 u
v x
x
yx
从而有：
xy
xz
yz
v u x y
u w z x w v y z
§3.1 应变状态7
几何方程
位移分量和应变分量间的关系
x
u x
xy
v x
u y
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
几何方程又称柯西方程
zx
w x
u z
率
§3.3主应变与应变主方向3
在小变形情况下应变速率张量:
x
1 2
xy
1 2
xz
ij
1 2
yz
y
1 2
yz
1 2
zx
1 2
zy
z
一般情况下，应变速率主 方向与应变主方向不重合， 且在加载过程中变化。
ij
1 2 (ui, j
u j,i )
可缩写为
ij
1 2
(Vi,
0
1 2
xzl
1 2
yz m
(
z
)n
0
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
0
z
l，m，n齐次线性方程组 非零解的条件为方程系 数行列式的值为零
应变状态特征方程
展开 3 J1 2 J2 J3 0
§3.2 主应变与应变主方向5
应变不变量
J1 ii x y z
§3.1 应变状态5
以向oxy坐标面投影为例，在M点投影m处,其x向的位移分量
为u，在a点处，由于有dx的变化，其位移分量有一个增量， 保留其一阶分量，则为 u u dx ；由于m'a'的转角很小，可
x
以用 m'a'在X轴上的投影 m'a'' 来代替 m'a' 。
根据正应变的定义，则有：
x
M ' A'MA MA
l0
l0
234
1.6
1.2 0.8 0.4
O -0.4 -0.8 -1.2 -1.6
=lnl/l0
1.0 1.2 1.4 1.6 l/l0
当变形程度小于10% 时，两值比较接近。
小变形与大变 形界限的由来
§3.1 应变状态14
• 工程应变与自然应变的关系：
（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变
z
( v x
u ) y
位移增量是由两部分组成的
0 du
1 2
z
dv
dw
1 2
z 1
2
y
0
1 2
x
1 2
y
dx
x
1 2
xy
1 2
x
0
dy dz
1 2 1 2
xy xz
y
1 2
yz
1 2
xz
dx
1 2
yz
ddzy
z
刚体转动位移增量 变形位移增量
微分单元体的刚性转动与协调相关
分得到：
应变微分由两时 d (ij ) ij (t t) ij (t)
刻应变差得到：
1 2
ui
(t
t)
ui
(t) ,
j
u
j
(t
t)
u
j
(t
),i
泰勒级数展开
d( ) d d
( ij
)
1 2
dui
1 2
dui2
,
j
du
j
1 2
du
2 j
忽略高阶微量 ,i
ij
ij
1 2
(dui,
假设某物体原长l0 ，经历l1，l2变为l3，总相对应变为：
l3 l0
l0 各阶段相应应变为：
1
l1 l0 ; l0
2
l2 l1 ; l1
3
l3 l2 l2
1 2 3
例如： l0 1.5l0 1.8l0 2l0
1
1.5l0 l0 l0
0.5;
2
1.8l0 1.5l0 1.5l0
0.2;
2
2l0 1.8l0 1.8l0
0.11;
2l0 l0 1.0。
l0
1 2 3
§3.1 应变状态15
• 工程应变与自然应变的关系： （2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变 用自然应变表示变形程度：
ln l3 l0
各阶段相应应变为：
1
ln
l1 l0
;
2
ln
l2 l1
i' j' n n ii' jj' ij
§3.2 主应变与应变主方向3
• 主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 • 主应变—— 应变主轴方向的正应变
§3.2 主应变与应变主方向4
主应变确定——应变主轴方向变形
(
x
)l
1 2
xy m
1 2
xz n
0
1
2
xyl
(
y
)m
1 2
yz n
§3.1 应变状态3
• 上述位移矢量包含两部分：刚 体位移和变形。
• 刚体位移一般是已知条件，因 此需要知道物体变形才能得到 物体位移，反之亦然。
• 假想从物体内部任意割取一个 微分平行六面体（见图3.2）
• 物体变形可利用微分体三条互 相垂直棱边的伸缩及棱边之间 所夹直角的改变描述。
§3.1 应变状态4
硕士研究生课程
岩土弹塑性力学
第三章 应变状态
同济大学地下建筑与工程系
目录
§3.1 应变状态 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变率张量 §3.4 应变协调方程
§3.1 应变状态
• 由于外部因素——载荷或温度变化
• 位移——物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
j
du
j,i
)
1 2
[(dui2
),
j
(du
2 j
),i
)]
高阶微量
§3.4 应变协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元 体变形的约束
微分线段伸长——正应变大于零
微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
§3.1 应变状态8
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的全部变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
• 刚性位移可分解为平动与转动 • 刚性平动——物体位移的一部分，但是不产
xy
Vx y
Vy x
y
du dt
x
dv dt
d u
dt
y
v x
xy
u y
v x
剪
yz
Vy z
Vz y
z
dv dt
y
dw dt
d dt
v
z
w yBiblioteka yzv zw y
应 变 速
zx
Vz x
Vx z
x
dw dt
du z dt
d dt
w x
u z
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
§3.1 应变状态1
位移分量
• 物体在外力作用下必产生变形， 同时发生位置变化
• 描述物体位置变化的矢量称为 位移矢量
• 位移矢量沿坐标方向的分量u， v，w
• 张量表示u={u, v ,w}T= {u1, u2 ,u3}T
§3.3 应变率张量
一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，
而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，
则:
Vx
du dt
;
Vy
dv dt
;
Vz
dw ; dt
dui vidt
设应变速率分量为:
质点的运动速度分量
x
Vx x
;
y
Vy y
;
z
Vz z
;
xy
Vx y