能力与素养下高三微专题复习教学策略——以正切为背景的三角形中最值问题为例

能5与素养下高三徽；题复=教学策略—以正切为背景的三角形中最值问题为例"

王小青（江苏省如皋中学226500)

1背景

!1高三二轮复习的现状

经过高三一轮复习，学生已经掌握了基本知识与基本方法，建构了知识网络与方法体系.在二 轮复习时，不少学生认为只要多做题，让自己见多 识广、熟能生巧就够了，从而每天陷人题海，机械 地模仿和复制，做了大量的重复劳动，其结果是遇 到问题仍然不会思考，不善于探究解决问题的思路，分析问题和解决问题的能力未能得到提高，二

.

另一方面，教师主导下的二轮复习往往是题量多、方法多，表面看课堂容量大，但事实上是忽 视了学生数学思维的训练，热热闹闹的课堂上常常是几个优等生的“表演”或是教师的“独角戏%. !"新课程背景下高考的特点

在新课程背景下，高中数学突出了对学生数学核心素养和数学能力的考查.高考命题依据普通高中数学课程标准，考查中学数学的基础知识和方法，考查学生依据基础知识、基本技能分析和 解决问题的能力，考查数学本质，真正选拔出会学 习、理解数学的学生.

!3笔者的观点

(1)高三二轮复习选择适当的微专题进行复 习，突出目的性和针对性

微专题选择的特点：切口小、思路宽、占用课 时少.选题时可以从教材出发，通过一道题，由基 本知识、基本方法逐步深人，挖掘数学本质，探究 思想方法，引申出一类题;可以从学生解题过程中 的典型错误人手，通过典型问题的解决来探究数学 的思路;可以从高考的重点和难点知识板块人手.

!)教师的教学方式

重在引导、提炼，教师不再是课堂上的主角.课堂上教师通过引导，让学生自己揭开问题的面纱，让学生由“获取”转化为“建构”，“感性”上升 为“理性”，使学生领悟数学思想与方法，形成数学 思维品质与数学能力.

!)学生的学习方式

重在自己探索、发现和归纳总结.学生自己经 历特定的数学活动，即动耳倾听、动眼观察、动手 操作、动口交流、动脑思考，掌握了数学的本质后 自己能编写题目，提出问题、分析并解决问题.

本文通过高三微专题案例“以正切为背景的 三角形中的最值问题”来具体阐述笔者的观点.

2 教学片断

引例在斜A A B C中，求证:tanA+tanB+ tan C =t a n A t a n B t a n C.

2.1 解决问题_提出问题#解决问题

生 1:由A+B+C"!，得 tan A"tan[!—…tan B十 tan C…, (B+C)] "—^展开得tan A 十

1 — an B an C

tan B十 tan C"tan A tan B tan C.

设计意图 以教材的习题为引例，让学生感觉亲切，增强学生的学习积极性.求解过程利用三 角形中内角和为！的等量关系和两角和的正切公 式探求得tan A，tan B，tan C三者的等量关系式，并且要求学生进一步熟悉三角形中三个角的正切 关系式.

师:在锐角A A B C中，已知sin C=4cos A * cos B，请将此条件转化为三角形内角的正切关，求 an A an B最大 !

生 2:由sin C" 4 cos A cos B，得 sin(A+B)=

4 cos A cos B，即 sinA cos B 十 cos A sin B = 4cos A cos B .由C /(0，！），知 sin C (0，则 cos A cos B (0.在上述等式的两边同时除以cos A cos B，则 tan A十 tan B "4.因为 A A B C 是锐角三角形，所以tan A >0, tan B >0,则 tan A十 tan B'2槡t an A tan B，所以当 tan A" tan B "2时，tan A tan B取得最大值为4，此时tan C"% >0,符合题意.

设计意图 巩固三角形内角的正弦、佘弦转 化为角的正切的基本思路，回顾二元最值问题的

"本文为江苏省第十二期教研课题“高中生数学选择思维的建构与培养的实践研究％课题编号:2017JK12-L 129)的阶段性成果.

求解基本方法，提醒学生在解题过程中要关注细(锐 形"注意求最值时 成立的条件.

:能否探求与tan A，tan B，tan C相关最值问题？

生3:求tan A#tan B #tan C的最小值.

(展示学生的求解过程，tan A#tan B# tan C的最小值为

生％求:1

十

1

tan A t a n B t a n C t a n C,t a n C 的最小值，求

最.

an A an B

(请学生探索求解思路，不具体求解）

设计意图 让学生明确求形内角A，B，C的正切表达式的最值的基本思路是消元：^^ 是转化为 函数求最值（利用函数单调性"二为二元问题， 本不等式求最值.

:三角形中，除 究角的正切值，还可以研究角的正弦和余弦值，试求3n2A+sin2B最 大值.

A

生 5:Sm2A#Sm2B"Sin A+C〇S2A#

sin2B tan2A,tan2B

sin2B+cos2B tan2A#1t a n2B #1

2 tan2A tan2B#tan2A#tan2B

t a n2A t a n2B#t a n2A#t a n2B #1

2tan2A t a n2B +16 —2t a n A t a n B

tan2A tan2B#17 —2 tan A tan B *

令 <"tan A tan B，tan C"

tan A#tan B 1—tan A tan B

由tan A%0,tan B%0,tan C%0,得 tan A tan B%1，则</(1，％]，原式

2(t2 —2t+17"+2t—18_

<2 —2乙#17"2#

2t2 —2t+16

<2 —2^ #17

2t—18

—2^ #17

.求

导可得此函数在(1，4]上单调递增，则当t时，原式有最大值为8或者换元，令肌"t — 9 /

5

2*

(一8, 一5]，则原式"2

:一5时取最大 .

*2 #16*#80，所以

设计说明 三角形中内角A，B，C的正弦、

的，相互之间可以转化；利

sin A

an A，将角的正切值转化为正弦值和

cos A

余弦值.若是关于角的正弦、余弦的分式，分子分

图1

母为齐次式，则分子分母同时除以角的余弦值，转 化为角的正切值关系式；若是关于角的正弦、余弦 的等式，等式两边为齐次式，则等式两边同时除以 角的 值，转化为角的正切值等式.

师：刚才的已知

条 是用数表示

，那么从 手，该

如 -如1，

在锐角&A B C中，

。乃丄焱召，垂足为乃，

且 A D:D B "3:1，求

(1)tan A#tan B#tan C 的最小值；（2)sin2A# sin2B最大值.

设计说明一是让学生自主探究发现，已知 条件可以转化为3 tan A"tan B，上述问题同样转 化为一个内角的正切函数求最值问题.二是呈现解决问题的两种常用思路，从数切入，利用三角形 中的边角等量 为正切的表达式；从形切入， 形中的 量 ，转化为三形中 的式.

:在 角 中究 除 角 函数 ，还有哪 究 ？

生6:三角 边、周长、面积等.

师:在&A B C中，已知tan B "3tan A，则三 角 有 有最 ？

(学 自)

生7:没有最值.因为仅仅有角的关，三角形之间是相似关系，只能确定三角 ，不能确定三角 边、面积、周长 大小.

:非常好！能否再增加条件，探寻三角

最？

生8:确定一条边.例如，在&A B C中，已知 tan B "3tan A，且6 "1，求三角 最值.

(学生自主研究，总结学生的 ）

生 9:由t a n B"3a n A，得 i B"3*i4,

cos B cos A

即sin B cos A "3sin A cos B.由正弦定理和余弦定理，得 2a2#c2"262，则 2a2#c2"2，cos B" 22

由B/(0，！)，得 sin B"

2ac

1—

2ac

a2#c2—1、

2ac

，是 S^ -r-ac sin B"-r a c

-槡a&2—(a2#c2—1)2槡4a2(2 —2a2) — (a2 #2—2a2 —1)2