2022年高考一轮复习 第4章 曲线运动万有引力与航天 第4课时 三类典型的圆周运动问题

(1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度 ω 的最大值为 多少？
(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体 不滑落到地面，餐桌半径 R 的最小值为多大？
(3)若餐桌半径 R′＝ 2r，则在圆盘角速度缓慢增大时， 物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点 的水平距离 L 为多少？
4. (2017·江苏高考)如图所示，一小物块被夹子
夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套
在水平光滑细杆上。物块质量为 M，到小环
的距离为 L，其两侧面与夹子间的最大静摩
擦力均为 F。小环和物块以速度 v 向右匀速运动，小环碰
到杆上的钉子 P 后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，
物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，重力
A．产品在 AB 间的运动时间大于在 BC 间的运动时间 B．产品在 AB 间的运动时间小于在 BC 间的运动时间 C．产品与传送带的动摩擦因数小于产品与转盘的动摩擦因数 D．产品与传送带的动摩擦因数大于产品与转盘的动摩擦因数
解析：设产品在转盘上与转轴 O 间的距离为 R，则在 AB 间运动时有 2R＝v2t1，得 t1＝4vR，在 BC 间运动时有 t2＝πvR， 可得 t1＞t2，故 A 正确，B 错误。产品在 AB 间运动时，加 速度为 a1＝2×v22R＝4vR2 ，根据牛顿第二定律得 μ1mg＝ma1， 得 μ1＝ag1＝4vg2R，在 BC 间运动时，有 f＝mvR2，f≤μ2mg 得 μ2≥gvR2 ，可得 μ1＜μ2，故 C 正确，D 错误。 答案：AC
第 4 课时 三类典型的圆周运动问题题型讲评课
1．(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。
已知秋 千的两根绳长均为 10 m，该同学
和秋千踏板的总质量约为 50 kg。绳的质量
忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方
时，速度大小为 8 m/s，此时每根绳子平均
承受的拉力约为
A．200 N
B．400 N
然后再列方程求解
[典例] 如图所示，餐桌中心是一个 半径为 r＝1.5 m 的圆盘，圆盘可绕中心轴 转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面 内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放 置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为 μ1＝0.6，与餐桌 的动摩擦因数为 μ2＝0.225，餐桌离地高度为 h＝0.8 m。设小 物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重 力加速度取 g＝10 m/s2。
答案：D
2．[转台上的圆周运动](多选)如图为某 工厂生产流水线上的产品水平传输 装置的俯视图，它由传送带和转盘组 成。某产品(可视为质点)从 A 处无初 速度放到匀速运动的传送带上，恰好匀加速运动到 B 处后 进入匀速转动的转盘随其一起运动(无相对滑动)，到 C 处 被取走装箱。已知 A、B 间的距离是产品在转盘上与转轴 O 距离的两倍，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )
得 a＝μ2g＝2.25 m/s2 物体在餐桌上滑动的初速度为 v0＝ωr＝3 m/s 由运动学公式 0－v02＝－2as 可得：s＝2 m 可得餐桌半径的最小值为 R＝ r2＋s2＝2.5 m。
(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为 物体在餐桌上滑动的末速度 vt′，由题意可得：
命题视角二 竖直面内的圆周运动
1．轻绳模型和轻杆模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连 接，小球在弯管道内运动等)，称为“轻杆模型”。
[解析] (1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转 动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转 速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时， 小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大：
fm＝μ1N＝mrω2，N＝mg 两式联立可得：ω＝ μr1g＝2 rad/s。
(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零， 对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为 s， 物块在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为 a，由牛顿第二定 律得 μ2mg＝ma，
环碰到钉子后，物块做圆周运动，在最低点，物块与夹子
间的静摩擦力达到最大值，由牛顿第二定律知：2F－Mg＝
Mv2，故最大速度 L
v＝
2F－MMgL，D 正确。
答案：D
[考情分析] 圆周运动在近几年高考中是考查的热点，既可以单独考 查，也可以和抛体运动、功和能、电场、磁场等知识综合考查。 圆周运动和实际生活联系紧密，学生常因情景陌生不能从实际 生活情境中抽象出圆周运动的理想模型而失分。
1．[转弯类问题]一质量为 2.0×103 kg 的汽
车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径
向最大静摩擦力为 1.4×104 N，当汽车经过半径为 80 m 的
弯道时，下列判断正确的是
()
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为 20 m/s 时所需的向心力为 1.4×104 N
C．600 N
D．800 N
()
解析：取该同学与踏板为研究对象，该同学身高相对于秋千的 绳长可忽略不计，可以把该同学与踏板看成质点。当该同学荡 到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有 2F－mg＝mvL2， 代入数据解得 F＝410 N，最接近选项 B，选项 B 正确。 答案：B
2．(2016·全国卷Ⅱ)小球 P 和 Q 用不可伸
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等 突
字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往 破
是临界状态
(3)牢记“绳子刚好伸直”的意思是“伸直但无张力”， 方 及“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变”等特点， 法 最后选择物理规律 突 (4)当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别 破 针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，
＝Mg≤2F，故 A 错误。小环碰到钉子时，物块做圆周运动，
根据牛顿第二定律和向心力公式有：T－Mg＝MLv2，T＝Mg
＋Mv2，所以绳子中的张力与 L
2F
大小关系不确定，B
错误。
若物块做圆周运动到达的高度低于 P 点，根据动能定理有－
Mgh＝0－12Mv2，则最大高度 h＝2vg2；
若物块做圆周运动到达的高度高于 P 点，则根据动能定理 有－Mgh＝12Mv′2－12Mv2，则最大高度 h<2vg2，C 错误。小
长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于 Q 球的质量，
悬挂 P 球的绳比悬挂 Q 球的绳短。将两球拉起，使两绳均
被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹
的最低点
()
A．P 球的速度一定大于 Q 球的速度
B．P 球的动能一定小于 Q 球的动能
C．P 球所受绳的拉力一定大于 Q 球所受绳的拉力
[规律方法] 水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远 离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态 的出现。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以 及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳 的拉力等)。
[集训冲关]
C．汽车转弯的速度为 20 m/s 时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过 7.0 m/s2
解析：汽车转弯时受到重力、地面的支持力，以及地面给的
摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A 错误；当最大静摩擦力
充当向心力时，速度为临界速度，大于这个速度则发生侧滑，
根据牛顿第二定律可得
f
＝
m
v2 r
正确的是
()
A．b 一定比 a 先开始滑动
B．a、b 所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ k2gl 是 b 开始滑动的临界角速度
D．当 ω＝ 23klg时，a 所受摩擦力的大小为 kmg
解析：因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻 可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向 转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律 可得 f＝mω2R，由于 b 的轨道半径大于 a 的轨道半径，故 b 做圆周运动需要的向心力较大，即 fa<fb，B 错误；因为两木 块的最大静摩擦力相等，故 b 一定比 a 先开始滑动，A 正确；
vt′2－v02＝－2as′ 由于餐桌半径为 R′＝ 2r，所以 s′＝r＝1.5 m 所以可得：vt′＝1.5 m/s 物体做平抛运动的时间为 t，则 h＝12gt2 解得 t＝ 2gh＝0.4 s 所以物体做平抛运动的水平位移为 sx＝vt′t＝0.6 m 所以由题意可得：L＝s′＋sx＝2.1 m。 [答案] (1)2 rad/s (2)2.5 m (3)2.1 m
当 b 开始滑动时，由牛顿第二定律可得 kmg＝mωb2·2l，可得
ωb＝ k2gl ，C 正确；当 a 开始滑动时，由牛顿第二定律可
得 kmg＝mωa2l，可得 ωa＝ klg，而转盘的角速度
23klg<
klg，a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，
由牛顿第二定律可得 f＝mω2l＝23kmg，D 错误。 答案：AC
命题视角一 水平面内圆周运动的临界问题 题 在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现 型 绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐 简 达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现 述 临界问题
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显 方
表明题述的过程存在临界点 法
小ω
C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
D．仅增加角速度至 ω′后，小球将受到玻璃管斜向下方的
压力
解析：根据题意可知，mgtan θ＝mrω2＝mω2Lsin θ，仅增 加绳长后，小球需要向心力变大，则有离心趋势会挤压管 壁外侧，小球受到玻璃管给的斜向下方的压力，若仍保持 小球与玻璃管间无压力，需减小 ω，故 A 错误，B 正确； 小球质量可以被约去，所以仅增加小球质量，小球仍与管 壁间无压力，故 C 错误；仅增加角速度至 ω′后，小球需 要向心力变大，则有离心趋势会挤压管壁外侧，小球受到 玻璃管斜向下方的压力，故 D 正确。 答案：BD
D．P 球的向心加速度一定小于 Q 球的向心加速度
解析：两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有 重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则
由机械能守恒定律得 mgL＝12mv2，解得 v＝ 2gL，因 LP ＜LQ，则 vP＜vQ，又 mP＞mQ，则两球的动能无法比较， 选项 A、B 错误；设在最低点绳的拉力为 F，则 F－mg＝ mvL2，解得 F＝3mg，因 mP＞mQ，则 FP＞FQ，选项 C 正确； 向心加速度 a＝F－mmg＝2g，选项 D 错误。 答案：C
，
解
得
v＝
fr m
m/s ＝
1.4×104×80 2.0×103
m/s＝
560
m/s＝20
1.4
m/s，所以汽车转
弯的速度为 20 m/s 时，所需的向心力小于 1.4×104 N，汽车
不会发生侧滑，B、C 错误；汽车能安全转弯的向心加速度 a＝vr2＝58600 m/s2＝7 m/s2，即汽车能安全转弯的向心加速度 不超过 7.0 m/s2，D 正确。
加速度为 g。下列说法正确的是
()
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于 2F
B．小环碰到钉子 P 时，绳中的张力大速度 v 不能超过
2F－MgL M
解析：物块受到的摩擦力小于最大静摩擦力，即 Mg<2F。
物块向右匀速运动时，物块处于平衡状态，绳子中的张力 T
3. (2014·全国卷Ⅰ) (多选)如图，两个质量均
为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点)放在水平
圆盘上，a 与转轴 OO′的距离为 l，b 与转
轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重
力的 k 倍，重力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始绕转轴
缓慢地加速转动，用 ω 表示圆盘转动的角速度，下列说法
3．[圆锥摆模型](2021 年 1 月新高考 8 省联考·河北
卷)(多选)如图，内壁光滑的玻璃管内用长为 L 的
轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度 ω
匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说
法正确的是
()
A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减