【教师卷】洛阳市八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典复习题(专题培优)(1)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20D
解析：D
【分析】 根据△ABE ≌△CAF 得出△ACF 与△ABE 的面积相等，可得S △ABE +S △CDF =S △ACD ，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC ，∠BED=∠BAE+∠ABE ，
∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∠CFD=∠FCA+∠CAF ，
∴∠ABE=∠CAF ，∠BAE=∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，ABE CAF AB AC BAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABE ≌△CAF （ASA ），
∴S △ABE =S △ACF ， ∴阴影部分的面积为S △ABE +S △CDF =S △ACD ，
∵S △ABC =30，BD=
12
DC ， ∴S △ACD =20，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1B
解析：B
【分析】 先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA
∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确
在△ABO 与△ADO 中
AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABO ≌△ADO （SAS ），
∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥
故①④正确；
∵AD≠CD
∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）
A ．21cm
B ．22cm
C ．23cm
D ．24cm C
解析：C
【分析】 延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．
【详解】
解：延长AP 交BC 于E ，
∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，
∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘，
在△APB 和△EPB 中
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
APB EPB BP BP
ABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )，
∴APB EPB S S =△△，AP =PE ，
∴△APC 和△CPE 等底同高，
∴APC PCE S S =,
∴PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S
=1632
⨯= 故选C ． 【点睛】
本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出
PBC PCE PCE S S S =+△△△=1
2ABC S ．
4．下列判断正确的个数是（ ）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1D
解析：D
【分析】
根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．
【详解】
解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误； ②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；
③有两角和一边对应相等，满足AAS 或ASA ，此选项正确；
④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点； 在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；
⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．
正确的有一个③，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．
5．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：
①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④D
解析：D
【分析】 易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】
∵ BD 为∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD ，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，
∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；
∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，
∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，
∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 是等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
故③正确；
作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：
∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG
=⎧⎨
=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，
∴BG=BF ， 在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩
∴△CEG ≌△AFE ，
∴ AF=CG ，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，
故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；
6．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )
A ．EFC ∠
B ．AB
C ∠ C ．FDC ∠
D ．DFC ∠ C
解析：C
【分析】 先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据
1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．
【详解】
解：在ABC ∆和CED ∆中，
AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC CED SSS ∴∆≅∆，
B E ∴∠=∠，FCD FD
C ∠=∠
1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，
2CFE x ∴∠=︒，
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，
FDC x ∴∠=︒．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．
7．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到
ADF CBE △≌△是（ ）
A ．∠
B ＝∠D
B ．EB=DF
C ．AD=BC
D ．AE=CF A
解析：A
【分析】 直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；
【详解】
A ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CE
B ，∠B=∠D ，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；
B ∵∠A=∠
C ，∠AFD=∠CEB ，EB=DF ，符合AAS 的判定，该选项符合题意；
C ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，AD=BC ，符合AAS 的判定，该选项符合题意；
D ∵∠A=∠C ，∠AFD=∠CEB ，AE=CF ，∴AF=C
E ，符合ASA 的判定，该选项符合题意； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键；
8．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）
A ．CD ⊥AD ，BD ⊥AD
B ．CD ＝BD
C ．∠1＝∠2
D ．∠CAD ＝∠B AD C
解析：C
【分析】 在△ACD 和△ABD 中，AD=AD ，AB=AC ，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．
【详解】
解：添加A 选项中条件可用HL 判定两个三角形全等，故选项A 不符合题意；
添加B 选项中的条件可用SSS 判定两个三角形全等，故选项B 不符合题意；
添加C 选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA ，结合已知条件不SS 判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；
添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．
9．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且
DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；
③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个C
解析：C
【分析】 根据“SAS”可证明△CDE ≌△BDF ，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE 和DE 不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD ，则利用平行线的判定方法可对③进行判断；
【详解】
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ CD=BD ，
∵ DE=DF ，∠CDE=∠BDF ，
∴ △CDE ≌△BDF(SAS)，所以④正确；
∴ CE=BF ，所以①正确；
∵ AE 与DE 不能确定相等，
∴ △ACE 和△CDE 面积不一定相等，所以②错误；
∵ △CDE ≌△BDF ，
∴∠ECD=∠FBD ，
∴BF ∥CE ，所以③正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积 ，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
10．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条
件，其中能使ABC AED ≌
△△的条件有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个B
解析：B
添加条件①可以用“SAS”证明，添加条件③可以用“ASA”证明，添加条件④可以用“AAS”证明．
【详解】
解：①在ABC 和AED 中，
AC AD CAB DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED SAS ≅△△；
②不可以；
③在ABC 和AED 中，
C D AC AD
CAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()ABC AED ASA ≅；
④在ABC 和AED 中，
B E CAB DAE A
C A
D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED AAS ≅；
⑤不可以；
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的所有判定定理．
二、填空题
11．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．
61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC 的度数然
后利用角平分线的判定方法得到BD 为∠ABC 的平分线再求出∠ABD 的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9
解析：61°
【分析】
首先利用直角三角形的性质求得∠ABC 的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD 为∠ABC 的平分线，再求出∠ABD 的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．
解：∵∠A=32°，∠ACB =90°，
∴∠CBA=58°，
∵DE ⊥AB ，DC ⊥BC ，DC=DE ，
∴BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠CBD=∠EBD ，
∴∠CBD=12∠CBA=12
×58°=29°, ∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD 为∠ABC 的平分线，难度不大．
12．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．
100°【分析】根据全等三角形对应角相等
可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理
解析：100°
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．
【详解】
解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，
1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，
23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，
1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，
DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），
1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，
2100α∴∠=∠=︒．
故答案为：100︒．
【点睛】
本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．
13．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________秒．
5【分析】根据题意证明利用证明根据全等三角形的性质得到
米再利用时间=路程÷速度计算即可【详解】解：∵∴又∵∴∴在和中∴∴米（米）∵该人的运动速度他到达点M 时运动时间为s 故答案为5【点睛】本题考查了全
解析：5
【分析】
根据题意证明C DMB ∠=∠，利用AAS 证明ACM BMD ≌，根据全等三角形的性质得到12BD AM =
=米，再利用时间=路程÷速度计算即可．
【详解】
解：∵90CMD ∠=︒，
∴90CMA DMB +=︒∠∠，
又∵90CAM ∠=︒，
∴90CMA C ︒∠+∠=，
∴C DMB ∠=∠，
在 Rt ACM △和Rt BMD △中， A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()Rt ACM Rt BMD AAS ≌，
∴12BD AM ==米，
221210BM =-=（米），
∵该人的运动速度2m/s ，
他到达点M 时，运动时间为5210=÷s ．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt ACM Rt BMD ≌．
14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．
4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H
使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4
【详解】∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD
解析：4
【分析】
根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．
【详解】
∵ DC ⊥BC ，
∴ ∠BCD=90︒，
∵ ∠ACB=120︒，
∴ ∠ACD=30︒，
如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD ，
在 ΔADH 与 ΔBCD 中，
CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，
∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，
∴点A 到CD 的距离为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
15．如图，AC AE =，AD AB =，90ACB DAB ∠=∠=︒，33BAE ∠=︒，//CB AE ，AC 与DE 相交于点F ．
（1）DAC ∠=______．
（2）当1AF =时，BC 的长为______．33°2【分析】（1）作DG ⊥AC 的延长线于G 然后根据平行线的性质可以推出结论；（2）证明△ADG ≌△BAC （AAS ）由全等三角形的性质得出DG ＝AC ＝AE ；AG ＝BC 证明△AEF ≌△GDF （AAS 解析：33° 2
【分析】
（1）作DG ⊥AC 的延长线于G ，然后根据平行线的性质可以推出结论；
（2）证明△ADG ≌△BAC （AAS ），由全等三角形的性质得出DG ＝AC ＝AE ；AG ＝BC ，证明△AEF ≌△GDF （AAS ），得出1122
AF GF AG BC ==
=，则可得出答案． 【详解】
解：（1）∵90ACB ∠=︒，//AE BC ，
∴18090CAE ACB ∠=︒-∠=︒．
∵90DAB CAE ∠=∠=︒，
∴DAC CAB BAE CAB ∠+∠=∠+∠，
∴33DAC BAE ∠=∠=︒．
故答案为：33．
（2）如图，过点D 作DG AC ⊥，交AC 的延长线于点G ，
∴90AGD ACB ∠=∠=︒．
∵//AE CB ，∴DAG BAE B ∠=∠=∠． 在ADG 和BAC 中，,,,AGO BCA DAG B AD BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AAS ADG BAC ≅△△，
∴DG AC AE ==，AG BC =．
在AEF 和GDF 中，,,,EFA DFG EAF DGF AE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AAS AEF GDF ≅△△， ∴1122
AF GF AG BC ==
=， ∴22BC AF ==．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等的三角形的判定与性质．
16．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．
40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝
2∠DBC ∠ACE ＝2∠DCE 再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC 即得出∠A ＝2∠D 即得出答案【详解】∵∠ABC 解析：40°
【分析】
利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ．再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ．即得出∠A ＝2∠D ，即得出答案．
【详解】
∵∠ABC 的平分线交∠ACE 的外角平分线∠ACE 的平分线于点D ，
∴∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ，
∵∠DCE 是△BCD 的外角，
∴∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，
∵∠ACE 是△ABC 的外角，
∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ＝2∠DCE ﹣2∠DBE ＝2（∠DCE ﹣∠DBE ），
∴∠A ＝2∠D ＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．
17．已知点(2,1)P m m -，当m =____时，点P 在二、四象限的角平分线上．【分析】根据第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可
【详解】解：∵点P （2mm-1）在二四象限的角平分线上∴2m=-（m-1）解得m=故答案为：【点睛】本题考查了点的坐标熟记第 解析：13 【分析】
根据第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可．
【详解】
解：∵点P （2m ，m-1）在二、四象限的角平分线上，
∴2m=-（m-1），
解得m=13
． 故答案为：
13． 【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记第二四象限角平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数是解题的关键．
18．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上的一个动点，PE AD ⊥交直线BC 于点E ．若35B ∠=︒，85ACB ∠=︒，则E ∠的度数为______．
25°【分析】利用三角形内角和定理得出∠BAC 的度数
进而得出∠ADC 的度数再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可【详解】解：∵∠B=35°∠ACB=85°∴∠BAC=60°∵AD 平分∠BAC ∴∠B
解析：25°
【分析】
利用三角形内角和定理得出∠BAC 的度数，进而得出∠ADC 的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可．
【详解】
解：∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=30°，
∴∠ADC=35°+30°=65°，
∵∠EPD=90°，
∴∠E 的度数为：90°-65°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得出∠BAD 度数是解题关键．
19．ABC 中，4AB =，6AC =， 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______．【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题
【详解】解：延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC
解析：15a <<
【分析】
如图延长AD 至点E ，使得DE=AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB=CE ，AD=DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．
【详解】
解：延长AD 至点E ，使得DE=AD ，
∵点D 是BC 的中点，
∴BD=CD
在△ABD 和△CDE 中，
AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABD ≌△CDE （SAS ），
∴AB=CE ，
∵△ACE 中，AC-CE ＜AE ＜AC+CE ，即：AC-AB ＜AE ＜AC+AB ，
∴2＜AE ＜10，
∴1＜AD ＜5．
故答案为：1＜AD ＜5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD ≌△CDE 是解题的关键．
20．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为
F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．
4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角
互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE
解析：4cm ．
【分析】
由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=
12BC=12
BD=4． 【详解】
解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB ，
在△ABC 和△EDB 中， ACB DBC A DEB
AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），
∴BD=BC ，AC=BE ，
∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，
∴BE=12BC=12
BD=4cm ， ∴AC=4cm ．
故答案为：4cm ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
三、解答题
21．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作
180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．
（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．
（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．
（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．
解析：（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC
【分析】
（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；
（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；
（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．
【详解】
（1）作PD ⊥OM 于点D ，
∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
∵∠MON=90°，
∴∠APB=90°，∠CPD=90°，
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC ，
∵∠PDA=∠PCB=90°，
在△APD 和△BPC 中，
APD BPC PD PC
ADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△APD ≌△BPC （ASA ），
∴AP=BP ．
（2）（1）中的结论还成立
理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，
∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
∵∠MON=60°，
∴∠APB=120°，
在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°
∴∠APD=∠BPC ，
∵∠PDA=∠PCB=90°，
在△APD 和△BPC 中，
APD BPC PD PC
ADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△APD ≌△BPC （ASA ），
∴AP=BP ．
（3）OA=2BC-OB ．
理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，
同（2），可证△APD ≌△BPC ，
∴AD=BC ，
点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
在Rt △OPD 和RtOPC 中，
PC PD OP OP =⎧⎨=⎩
∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，
∴OC=OD ，
∴OA-AD=OD=OC ，
∴OA-BC=OC ，
∴OA=BC+OC ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．
22．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．
（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；
（2）若1GF =，求线段HC 的长．
解析：（1）见详解；（2）1
【分析】
（1）先证明AC=DF ，再根据HL 证明Rt ABC Rt DEF ≌；
（2）先证明∠AFG=∠DCH ，从而证明∆AFG ≅
∆DCH ，进而即可求解． 【详解】
（1）∵AF CD =，
∴AF+CF=CD+CF ，即AC=DF ，
在Rt ABC 与Rt DEF △中，
∵AC DF AB DE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt ABC ≅Rt DEF △（HL ）；
（2）∵Rt ABC ≅Rt DEF △，
∴∠A=∠D ，∠EFD=∠BCA ，
∵∠AFG=180°-∠EFD ，∠DCH=180°-∠BCA ，
∴∠AFG=∠DCH ，
又∵AF CD =，
∴∆AFG ≅∆DCH ，
∴HC=GF =1．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL 和ASA 证明三角形全等，是解题的关键．
23．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．
解析：见解析
【分析】
根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．
【详解】
证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，
∠ABF+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ACD=∠ABF ，
在△AFB 和△ADC 中，
90ACD ABF AB AC
CAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；
∴CD=BF ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCE=∠FCE ，
在△BCE 和△FCE 中，
90BCE FCE CE CE
BEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），
∴BE=EF ，
∴BF=2BE
∴CD=2BE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．
24．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ．
（1）试求∠DOE 的度数；
（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．
解析：（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．
【分析】
（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12
BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠．即可推出12
DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠． （2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．
【详解】
（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，
∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． ∴12BOD AOB ∠=
∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222
DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，
∴90AOC ∠=︒， ∴1452
DOE AOC ∠=
∠=︒． （2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为
12
AOC ∠． 【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．
25．如图，在△ABD 中，∠ABD ＝90°，AB=BD ，点E 在线段BD 上，延长AB 使BC=BE ，连
接AE、CE、CD，点M在线段AE上，点N在线段CD上，BM⊥BN，易证△ABE≌△DBC；仔细观察，请逐一找出图中其他的全等三角形，并说明理由．
解析：△ABM≌△DBN，△BME≌△BNC，理由见解析．
【分析】
观察图形，可找出△ABM≌△DBN，△BME≌△BNC．①由△ABE≌△DBC可得到
∠BAE=∠BDC，根据BM⊥BN可得到∠AMB+∠MBE =∠DBN+∠MBE，继而得到
∠AMB=∠DBN，AB=BD，可得△ABM≌△DBN；②由△ABM≌△DBN可得BM=BN，根据∠NBE+∠MBE =∠NBE+∠NBC，可得∠MBE =∠NBC，继而可证得△BME≌△BNC．
【详解】
解：全等三角形：△ABM≌△DBN，△BME≌△BNC，
理由如下：由题意知△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵BM⊥BN，
∴∠MNB=90 ，
∴∠ABM+∠MBE =∠DBN+∠MBE，
∴∠ABM=∠DBN，AB=BD，
∴△ABM≌△DBN，
∴BM=BN,
∵∠NBE+∠MBE =∠NBE+∠NBC，
∴∠MBE =∠NBC，
∵BE=BC，
∴△BME≌△BNC．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题关键．
26．如图①，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥CA的延长线点E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得
△ABC≌△DAE进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AH于点H，DE
与直线AH 交于点G ，求证：点G 是DE 的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A 为平面内任意一点，点B 的坐标为（4，1），若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标．
解析：（1）见解析；（2）A(
32，52)或(52，-32
)． 【分析】 （1）过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ．根据“K 字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN ，即EN=DM ，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG ，即点G 是DE 的中点．
（2）分情况讨论①当A 点在OB 的上方时，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．根据“K 字模型”即可证明AC BD OC AD DE ===，，再利用B 点坐标即可求出A 点坐标．②当A 点在OB 的下方时，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．同理即能求出A 点坐标．
【详解】
（1）如图，过点D 作DM ⊥AM 交AG 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于点N ，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．
∵∠BHA=90 ，
∴∠2+∠B=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠1 ．
在△ABH 和△DAM 中1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABH ≅△DAM （AAS ），
∴AH=DM ．
同理 △ACH ≅△EAN （AAS ），
∴ AH=EN ．
∴EN=DM ．
在△DMG 和△ENG 中MGD NGE DMG ENG DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DMG ≅△ENG （AAS ）．
∴DG=EG ．
∴点G 是DE 的中点．
（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．
①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．
利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，
∴AC BD OC AD DE ===，，
设AC x =，则BD x =，
∵1DE BD BE x =+=+，
∴1OC AD DE x ===+，
又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =， ∴32AC =，35122
DE =+=． 即点A 坐标为(32，52
)．
②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．
根据①同理可得：52AP =
，32MQ =． 即点A 坐标为(52，32
-)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．
27．在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知3EH EB ==，4AE =，求CH 的长．
解析：CH=1
【分析】
根据AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，可得出∠EAH+∠B=90°∠EAH+∠AHE=90°，则∠B=∠AHE ，则可证△AEH ≌△CEB ，从而得出CE=AE ，再根据已知条件得出CH 的长．
【详解】
解：∵AD ⊥BC ，
∴∠EAH+∠B=90°，
∵CE ⊥AB ，
∴∠EAH+∠AHE=90°，
∴∠B=∠AHE ，
∵EH=EB ，
在△AEH 和△CEB 中，
AHE B EH BE
AEH BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEH ≌△CEB （ASA ），
∴CE=AE=4，
∵EH=EB=3，
∴CH=CE-EH=4-3=1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等得出∠B=∠AHE ，是解此题的关键．
28．已知：如图，AOB ∠．
求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．
作法：
①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ；
②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； ③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ；
④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；
A O
B '''∠就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接C D ''．
由作法可知
OC O C ''=,
，
，
∴COD C O D '''≅．（ ）（填推理依据）．
∴A O B AOB '''∠=∠．
∴A O B '''∠就是所求作的角．
解析：（1）补全图形见解析；（2）OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．
【分析】
（1）根据题意要求作图即可；
（2）根据题意利用SSS 证明COD C O D '''≅即可．
【详解】
(1)作图：
(2)连接C D ''，
∵OC O C ''=，OD O D ''= ，CD C D ''=，
∴COD C O D '''≅（SSS ），
∴A O B AOB '''∠=∠．
∴A O B '''∠就是所求作的角
故答案为：OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．
．
【点睛】
此题考查作图能力—作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键．。