北京邮电大学《矩阵论》2015-2016-1 期末试卷及答案

北京邮电大学2015——2016学年第一学期
《矩阵论》期末考试试题评分参考标准
一、（10分）设 x 1,x 2 是线性空间 V 的一组基，线性变换 T 在这组基下的矩阵为 A =[21−10
] 。

y 1,y 2 是另一组基，且 (y 1,y 2)=(x 1,x 2) [1−1−12
] 。

（1）求 T 在 y 1,y 2 下的矩阵 B ；(2) 计算 A 100 。

解：（1）B =[1−1−12]−1A [1−1−12
]=[1101]。

（5分） （2）A 100=[1−1−12]B 100[1−1−12
]−1A =[101100−100−99]。

（5分）
二、（10分）计算 ln A ，其中 A =[
e
1e 1e 1e ] 。

解：ln A =[
1
1/e −1/2e 21/3e 311/e −1/2e 211/e 1
]。

（10分）
三、（15分） 设 x =[
512
] 。

（1）计算Givens 变换 G 1 使得 G 1x =[a 0] ； （2）计算Givens 变换 G 2 使得 G 2x =b [11
] 。

解：（1）G 1=[5/1312/13−12/135/13]，a =13，或G 1=[−5/13−12/1312/13−5/13]，a =−13。

（7分） （2）G 2=[17/13√27/13√2−7/13√217/13√2]，b =13√2/2，或G 2=[−17/13√2−7/13√27/13√2−17/13√2]，b =−13√2/2。

（8分）
四、（10分）设 A =[−1−6
00−630000 00344−3
] ，计算 ‖A ‖1，‖A ‖2，‖A ‖∞，‖A ‖F 。

解：‖A ‖1=9，‖A ‖2=1+2√10，‖A ‖∞=9，‖A ‖F =2√33。

（10分）
五、（10分）设矩阵
A ∈R n×n 满足 A 3=A ，证明存在非奇异矩阵 X 使得 X −1AX =[I r −I s 0t
]。

证明：设矩阵A 的Jordan 分解为X −1AX =J =diag(J 1,…,J k )。

则由A 3=A 可知J 3=J ，即J i 3=J i 。

从而可知每个J i 必须是一个标量，且只能为1或-1或0.从而得证。

（10分）
六、（10分）设矩阵 A ∈R n×n 是对称正定矩阵，证明存在唯一的对称正定矩阵 B 满足 B 4=A 。

证明：由于A 是对称正定矩阵，从而存在正交矩阵Q ，使得A =QDQ T ，其中D =diag(d 1,…,d n )，且d i >0。

令E =diag(√d 14,…,√d n 4),B =QEQ T ，则可以验证B 是对称正定矩阵，且满足B 4=A 。

假设C 是另一个
对称正定矩阵满足C 4=A 。

设多项式p(x)满足p (d i )=√d i 4(i =1,…,n)，
则p (D )=E ，于是有B =p (A )=p(C 4)。

从而B 和C 可交换。

于是存在正交矩阵U 使得U T BU =S 和U T CU =T 同时是对角阵，且对角元都为正。

由于B 4=A =C 4，于是有S 4=T 4，从而有S =T ，即B =C 。

唯一性得证。

（10分）
七、（15分）（1）证明矩阵 A 为收敛矩阵（即 lim k→∞
A k =0）的充分必要条件是 ρ(A )<1 。

（2）设三个实矩阵 B,C,D 满足
B =
C −
D T CD ，其中 B 和 C 都对称正定，证明 D 是 收敛矩阵。

证明：（1）设矩阵A 的Jordan 分解为X −1AX =J =diag(J 1,…,J m )，则lim k→∞A k =0等价于lim k→∞
J i k =0，而这等价于|λi (A )|<1，从而等价于ρ(A )<1。

（10分）
（2）设λ是D 的任一特征值，对应的特征向量为x ≠0，即Dx =λx 。

由B =C −D T CD 有x ∗Bx =x ∗Cx −x ∗D T CDx =x ∗Cx −|λ|2x ∗Cx =(1−|λ|2)x ∗Cx 。

由于B 和 C 都对称正定，于是有x ∗Bx >0,x ∗Cx >0，从而有1−|λ|2>0，即|λ|<1。

从而有ρ(D )<1，即D 是收敛矩阵。

（5分）
八、（20分）设矩阵 A ∈R m×n 列满秩，即 rank (A )=n <m 。

（1） 写出 A 的奇异值分解的形式（不需证明）；
（2） 利用（1）中的奇异值分解给出 A 的Moore-Penrose 广义逆 A + 的表达式；
（3） 证明最小二乘问题 min x
‖Ax −b ‖2 的解为x =A +b 。

解：（1）A =U [Σ0
]V T ，其中U ∈R m×m ,V ∈R n×n 都是正交矩阵，Σ是对角元都是正数的对角阵。

（6分） （2）A +=V [Σ−10]U T 。

（7分）
（3）分块U =[U 1U 2]，其中U 1∈R m×n ，则最小二乘问题 min x
‖Ax −b ‖2 的解为x =VΣ−1U 1T b =A +b 。

（7分）。