第六章 自相关(序列相关)

2 横截面数据中的自相关：一般来说截面数据不容
易出现自相关，但相邻的观测单位之间也可能存在 “溢出效应”（neighborhood effect）。例如，相邻 省份、国家之间的经济活动相互影响（通过贸易、 投资、劳动力流动等）；相邻地区的农业产量受到 类似的天气影响而相关；同一社区内的房屋价格存 在相关性；相邻地区的消费倾向有相关性
图 中 实 线 表 示 真 实 的 总 体 回 归 线 。 假 设 扰 动 项 存 在
正 自 相 关 ， 即 E ij X >0 ， 若 1>0 （ 图 中 左 边 小 椭 圆 形 ） 由 于 存 在 正 自 相 关 ， 则 2 >0 的 可 能 性 也 就 很 大 ； 而 若


n-1<0 （ 图 中 右 边 小 椭 圆 形 ） 则 n <0 的 可 能 性 也 就 很 大
此 检 验 被 称 为 B GB 检 验 （ r e u s c h － G o d f r e y ）
3B 、 o x P i e r c e Q 检 验
定义残差的各阶样本自相关系数为
t=j+1 ˆ j n
e e
t=1
n
t t－j
2 e t
（j＝1，2， ，p）
d ˆ 且 n 正 态 分 布 ， j ＝ 1 ， 2 ， ， p j
3 设 定 误 差 m i s s p e c i f i c a t i o n ： 如 果 模 型 设 定 中 遗 漏 会 引 起 扰 动 项 的 自 相 关 。
了 某 个 自 相 关 的 解 释 变 量 ， 并 被 纳 入 到 扰 动 项 中 ， 则
三 、 自 相 关 的 检 验
X X X X n 1 j ˆ ˆ Q ＝ S＋ 1 － etet-j xt x ＋ xt-jx t-j t n j＝ p+1 1i=j+1 p
n
p为 自 相 关 阶 数 ， 现 在 通 常 可 采 用 软 件 的 默 认 值 ， 或 建 议 取 p＝ n 或 p＝ 0.75n
1 、 画 图将 残 差 e 与 滞 后 残 差 e 视 作 纵 轴 变 量 与 t t 1 （ c o r r e l o g r a m ） 考 察 相 关 状 况 。
横 轴 变 量 画 成 散 点 图 。 也 可 以 通 过 观 察 “ 自 相 关 图 ”
2 、 B G 检 验 假 设 原 模 型 为 即＝ t t－ ＋ u （ 为 E 0 ， 故 常 数 项 为 0 ） ， 其 中 t ＝ 1 t 因
大 样 本 下 是 等 价 的 ， 但 L ju n g － B o x Q统 计 量 的 小 样 本 性 质 更 好 。
自 相 关 阶 数 p 如 何 给 出 ？ 可 由 统 计 软 件 默 认 给 定 。 助 回 归 的 参 数 的 显 著 性 检 验 来 判 断 自 相 关 的 阶 数
也 可 以 从 1 阶 、 2 阶 逐 次 向 更 高 阶 检 验 ， 借 助 辅
D W 检 验 的 统 计 量 为
2 2 e － e e － 2 ee ＋ e t t－ 1 t t t－ 1 t－ 1 2 t= 2 t= 2 t= 2 D W d t= ＝ n n 2 2 e e t t 2 t= 1 t= 1 n n n n
2－2 t=2 n
O L S u 为 白 噪 声 。 自 然 地 可 以 考 虑 回 归 e e ， 并 检 t t t1
y ＝ ＋ x ＋＋ ＋， t 并 假 设 存 在 一 阶 自 相 关 t 0 1 t1 kx tk
验 H ：＝ 0 0
更 一 般 地 ， 由 于 可 能 存 在 高 阶 自 相 关 ， 考 虑 扰 动 项 的 p阶 自 回 归 过 程 ： t＝ ＋ ＋ pt－p＋ ut 1 t－ 1 检 验 原 假 设 H0： 1＝ ＝ p＝ 0 考 虑 以 下 辅 助 回 归 ：
四 、 自 相 关 的 处 理
1 、 使 用 “ O L S ＋ 异 方 差 自 相 关 稳 健 标 准 差 ” 仍 然 使 用 O L S来 估 计 回 归 系 数 ， 但 使 用 “ 异 方 差 自 相 关 稳 健 的 标 准 差 ” （ H eteroskedasticity and A utocorrelation C onsistent Standard E rror， H A C ） 即 在 存 在 异 方 差 与 自 相 关 的 情 况 下 也 成 立 的 稳 健 标 准 差 。 这 种 方 法 被 称 为 “ N ew ey － W est估 计 法 ” 它 只 改 变 标 准 差 的 估 计 值 而 不 改 变 回 归 系 数 的 估 计 值
4 、 D W 检 验 u rb in a n dW a ts o n D “ D W 检 验 ” 是 较 早 出 现 的 自 相 关 检 验 ， 但 现 在 已 不 常 用 。 它 的 主 要 缺 点 是 只 能 检 验 一 阶 自 相 关 ， 而 且 必 须 在 解 释 变 量 满 足 严 格 外 生 外 生 性 的 情 况 下 才 成 立 ， 而 B G 检 验 和 Q 统 计 量 检 验 都 没 有 这 些 限 制
22221cy?1cyx?1cx1c?以左乘原模型并定义gls?则变换后的扰动项满足球型扰动项的假设故高斯马尔可夫定理成立因为这种变换是的一个特例2122n1000y100yy?1cy000y001?????????????????????????????????????2121nn11yyyyy???????????????2111k2212kn1nk1000xx100x?1cxxx000xx001?????????????????????????????????????????????22111k21112k1kn1n11nkn1k1x1xxxxxxxxx???????????????????2122n10001001c000001??????????????????????????????????????2121nn11???????????????可以写出每个观测值个体的回归方程
由 课 件 第 三 章 p 3 4 － p 4 4 知 ， 异 方 差 稳 健 的 协 方 差 矩 阵 1 － 1 － 1 ˆ 为 S S S 是 “ 三 明 治 ” 估 计 量 ， 其 中 S X X X X X X X X n
1 2 ˆ S ei x i x i n i=1
异 方 差 自 相 关 稳 健 的 标 准 差 的 协 方 差 矩 阵 也 是 三 明 治 － 1 ˆ － 1 估 计 量 ， 其 形 式 为 S Q S ， 其 中
为 何 要 引 入 解 释 变 量， x ，呢 x t 1 t k ？
函 数 ， 若 不 引 入， x ，， x 它 们 将 进 入 辅 助 回 归 t 1 t k 则
因 此 辅 助 回 归 的 解 释 变 量， e ， e 必 与 扰 动 项 相 t 1 t p 关 ， 导 致 不 一 致 的 估 计 。 这 就 是 所 谓 的 随 机 解 释 变 量 问 题 ， 后 面 会 介 绍 。 若 引 入 解 释 变 量， x ， x t 1 t k 将 使 B G 检 验 更 加 稳 健 由 于 使 用 了 滞 后 残 差 值 et-p， 损 失 了个 p 样 本 值 ， 故
二 、 自 相 关 的 例 子
间 序 列 数 据 中 的 自 相 关 ： 由 于 经 济 活 动 通 常 具 1时 有 某 种 连 续 性 或 持 久 性 ， 自 相 关 现 象 在 时 间 序 列 中 比 较 常 见 ， 比 如 相 邻 若 干 年 的 人 口 数 、 资 产 数 、 经 济 增 长 率 、 人 口 出 生 率 、 利 率 、 通 货 膨 胀 率 等 等 。 另 外 某 重 大 事 件 或 新 政 策 的 效 应 或 作 用 通 常 也 会 在 几 年 中 产 生 。
第六章 自相关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ序列相关）
一 、 自 相 关 的 后 果 违 反 球 型 扰 动 项 假 定 的 另 一 情 形 是 自 相 关 。 若 存 在 i j使 得 E ， 即 扰 动 项 的 协 方 差 阵 V a r X i j X 0 的 非 主 对 角 线 元 素 不 全 为， 0 则 称 存 在 “ 自 相 关 ” （ a u to c o rre la tio n ） 或 “ 序 列 相 关 ” （ se ria lc o rre la tio n ）
14 13
2 、 使 用 可 行 广 义 最 小 二 乘 法 （ F G L S ） 为 了 使 用 F G L S ， 首 先 必 须 估 计 扰 动 项 的 协 方 差 矩 阵
V a r X 。 为 了 减 少 待 估 计 的 参 数 ， 通 常 假 设 扰 动
记 扰 动 项 的阶 j 协 方 差 j C ov t， t-j X ， 则 0 1 0 1 V ar X＝ n-1 n-2
p ˆ 在 原 假 设 H ： ＝ ＝ ＝ 0 成 立 情 况 下 ， 则 0 0 1 p j
n-j n et et－j n-j n t=j+1 ˆ 理由是j n 2 e t n
t=1 p 分母e2 n 残差方差，分子在大样本下是样本 t t=1 d ˆ j 均值，根据中心极限定理有 n 正态分布 n
d 2 2 ˆ 显 然 有 Q n p 此 即 ， B P j j = 1
p
“ B o x P i e r c eQ 统 计 量 ”
经 过 改 进 的 “ L ju n g － B o x Q统 计 量 ” 为
d 2 Q n n + 2 这 两 种 Q 统 计 量 在 p， L B j j= 1n p 2 ˆj
项 为 一 阶 自 回 归 形 式 ： ＝ ＋ u ，， < 1u 为 白 噪 声 t t 1 t t


在 有 自 相 关 的 情 况 下 会 发 生 ： 的 成 立 无 需 “ 无 自 相 关 ” 的 假 定
1 O L S 估 计 量 依 然 是 无 偏 且 一 致 的 ， 因 为 这 些 性 质
2 O L S 估 计 量 依 然 服 从 渐 近 正 态 分 布
－ 1 2 ˆ 3 O L S 估 计 量 方 差 V a r X 的 表 达 式 不 再 是 X X
O LS et xt1，， xtk， et-1，， et-p （＝ t p+1，， n）
由 于 扰 动 项 可 t 不
观 测 ， 故 用 残 差 代 替 ， 并 引 入 所 有 解 释 变 量 et来
由 于 样 本 残 差 e （ ＝ 1 ， ， n ） 是 序 列 x ， ， x 的 t t t 1 t k 的 扰 动 项 ，
2 因 为 V a r X ， 因 此 通 常 的 t 检 验 、 F 检 验 也 失 效 了 I

4 高 斯 － 马 尔 可 夫 定 理 不 再 成 立 ， 即 O L S 估 计 量 不 再 是 B L U E 为 了 能 直 观 地 理 解 为 何 O LS不 再 是 B LU E， 参 见 下 页 图
从 而 样 本 回 归 线 的 斜 率 的 估 计 就 会 过 小 。
y
1
2


n -1
n


1
n -1


n
2
x
反 之 ， 则 如 图 中 小 矩 形 序 列 ， 将 会 使 样 本 回 归 线 斜 率 的 估 计 过 大 。
可 见 ， 由 于 自 相 关 的 存 在 ， 使 得 样 本 回 归 线 上 下 摆 动 幅 度 增 大 ， 参 数 估 计 变 得 不 准 确 。 O L S 估 计 忽 略 了 扰 动 项 自 相 关 所 包 含 的 信 息 ， 从 而 降 低 了 估 计 的 效 率 。
辅 助 回 归 的 样 本 容 量 仅 为 n -p 。 使 用 n R形 式 的 L M 统 计 量 ： n -pR p （ 因 为 数 据 矩 阵 的
2 d 2
2
秩 为） p 。 若 过 了 p的 临 界 值 则 拒 绝 n-pR 超
2 2
无 自 相 关 的 原 假 设
e e e
t=1
n
t t－ 1 2 t
ˆ1 ＝2 1 －
ˆ1为残差的一阶 其中
ˆ1 0， 自相关系数。因此，大致而言，当d 2时， ˆ1 1 无一阶自相关；当d 0时， ，存在一阶正自 ˆ1 －，存在一阶负自相关 相关；当d 4时， 1
须 借 助 专 门 的 D W 临 界 值 表 来 做 判 断