辽宁省实验中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试
高一（文）理科数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设平面向量，，若，则等于（）
A. 4
B. 5
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．
【详解】∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．
∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），
∴|2﹣|==．
故选：D．
【点睛】熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键．
2.设，，给出到的映射
，则点的象的最小正周期为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得f（x）的解析式：，即可由三角函数的周期公式求值．
【详解】由题意可得：，
∴由三角函数的周期公式可得：T==π，
故选：A．
【点睛】本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．
3.已知平面向量满足，且，则向量与向量的夹角的余弦值为（）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用数量积运算性质即可得出．
【详解】∵平面向量满足，且，
∴5=﹣=2×22﹣2×3×cos，
解得cos=，
则向量与向量的夹角余弦值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.函数的图象可由函数的图象（）
A. 向左平移个单位长度得到
B. 向右平移个单位长度得到
C. 向左平移个单位长度得到
D. 向右平移个单位长度得到
【答案】C
【解析】
试题分析：因为函数，
所以将函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图像.故应选C.
考点：函数的图像变换.
5.若方程在上有两个不等实根，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．
【详解】方程2sin（2x+）=m可化为
sin（2x+）=，
当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；
根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，
得≤＜1
1≤m＜2
∴m的取值范围是[1，2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断以及正弦函数的图象应用问题，体现了转化、数形结合的数学思想．
6.已知，则（）
A. B. C. D.
【解析】
由题意可得，
，选A.
7.设是的重心，且，则的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形重心对应的条件即，代入式子进行化简，根据向量不共线和正弦定理，判断出三角形的形状进而求出角B的值．
【详解】∵G是三角形ABC的重心，∴，
则，代入得，
（sinB﹣sinA）++（sinC﹣sinA）=，
∵，不共线，∴sinB﹣sinA=0，sinC﹣sinA=0，
则sinB=sinA=sinC，根据正弦定理知：b=a=c，
∴三角形是等边三角形，则角B=60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形重心对应的向量条件的应用，即把几何问题转化为向量问题，根据条件和正弦定理判断出三角形的形状，考查了转化思想．
8.有下列说法：①若，，则；②若2=，分别表示的
面积，则；③两个非零向量，若||=||+||，则与共线且反向；④若，则存在唯一实数使得，其中正确的说法个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
由=，，可以不共线，可判断①；运用三角形的重心向量表示和性质，以及三角形的面积的求法，即可判断②；由向量的模的性质，即可判断③；由向量共线定理，即可判断④．
【详解】①若，，则不成立，比如=，，可以不共线；
②若2=，延长OA到A'，使得OA'=2OA，延长OC到C'，使得OC'=3OC，
可得O为三角形BA'C'的重心，可设△AOC、△BOC、△COA的面积分别为x，y，z，
则△A'OB的面积为2y，△C'OB的面积为3z，△A'OC'的面积为6x，
由三角形的重心的性质可得2y=3z=6x，则S△AOC：S△ABC=x：（x+y+z）=1：6，正确；
③两个非零向量，，若||=||+||，则与共线且反向，正确；
④若，则存在唯一实数λ使得=，不正确，比如≠，=，不存在实数λ．
其中正确的说法个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及三角形的重心的向量表示和三角形的面积的求法，考查零向量的性质，以及推理能力，属于中档题．
9.已知是方程的两根，且，则的值为（）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，展开两角和的正切求tan（α+β），然后结合已知角的范围得答案．
【详解】∵tanα，tanβ是方程的两根，
∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，
∵，
∴α，β∈（），则α+β∈（π，2π），
由tan（α+β）==．
得α+β=．
故选：A．
【点睛】本题考查由已知三角函数值求角，考查一元二次方程根与系数的关系，是基础题．
10.求值：=（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同角基本关系式、两角和与差正余弦公式及二倍角公式转化求解即可．
【详解】（2cos20°﹣tan70°）cos10°=
=
=
=．
故选：C．
【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
11.已知函数的部分图象如下图
所示，的图象的对称轴方程可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
依题意得，.又在处取得最大值，则，故，又，所以，而，即，
所以结合图象可知解得，
故，
令，即，
故，
故选：B．
12.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，
若，且，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则
，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．
【详解】函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，
再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．
若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，
则g（x1）=g（x2）=3，
则，
即，
由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，，}，
当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数图象的变换，三角函数的图象和性质，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．
【详解】∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，
∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12
∴•=﹣3=||||cosθ
∴||cosθ=﹣3
故答案为：﹣3
【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．
14.在平面直角坐标系中，点
在单位圆上，设
，且
．若cos （
）=﹣，则
x 0的值为________.
【答案】【解析】【分析】
利用任意角的三角函数的定义求得cosα=x 0，同角三角函数的基本关系求得sin （α+）的值，再利用两角差的余弦公式求得x 0=cosα=cos[（α+）﹣]的值．
【详解】∵点P （x 0，y 0）在单位圆O 上，且∠xOP=α，∴cosα=x 0，sinα=y 0，
又
，且cos （
）=﹣，则sin （α+）=
，
∴x 0=cosα=cos[（α+）﹣]=cos （α+）cos +sin （α+）sin
=﹣×+
×
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题．
15.已知为锐角的
边上一点，
,
，则
的最小值为___________.
【答案】【解析】【分析】
由已知可得+3
=
+3（
）=4
+3
，故有（4+3
）2=16|
|2+9|
|2+24|||
|cos120°=16|
|2﹣48||+144，从而求得||=2时，（4+3
）2最小为108．即可解得|
+3|min=
．
【详解】+3=
+3（）=4
+3
（4
+3
）2=16|
|2+9|
|2+24||||cos120°
=16||2﹣48||+144
∴||=2时，（4+3）2最小为108．
故|+3|min=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考察了平面向量及应用，二次函数的性质，考察了解三角形的应用，属于中档题．
16.的内角的对边分别为，若，，点满足且,则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用余弦定理可得B=60°，再由向量的平方即为模的平方和数量积的定义，解方程可得a=3，由余弦定理可得b，再由正弦定理计算即可得到所求值．
【详解】a2+c2﹣b2=ac，
即为cosB==，
由0°＜B＜180°，可得B=60°，
点G满足||=且=（+），
可得2=（+）2=（2+2+2•）=（c2+a2+2accosB）
=×（4+a2+2a•2•）=，
解得a=3（﹣5舍去），
由a2+c2﹣b2=ac，可得b===，
由正弦定理可得，=，
可得sinA===．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量的数量积的定义及性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知角的终边过点，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）任意角的三角函数的定义求得x的值，可得sinα和tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值；
（2）利用两角和差的三角公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．
【详解】由条件知，解得，故.
故，
（1）原==
（2）原式.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
18.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若锐角的三个角满足，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）化简函数得，令，即可得单调增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，锐角中：，得，由锐角三角形得，进而可得的取值范围..
试题解析：
（Ⅰ）
.
令
所以函数的单调增区间，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，锐角中：.
于是：由锐角三角形知，
故
所以的取值范围是.
19.如图，在四边形中，．
（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；
（2）若，，，求．
【答案】(1)11,(2)
【解析】
【分析】
（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果．（2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．【详解】（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB=120°．
又AD=2AB，所以AD=2BC，
因为E是CD的中点，
所以：=，
=．
又，
所以，
=．
=，
=11．
（2）因为AB=AC，AB=2，
所以：AC=2．
因为：，
所以：．
所以：．
又=4．
所以：．
所以：=．
故：．
【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，属于基础题.
20.在中，角所对的边分别为，已知，，且.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
（1）由及正弦定理得，故可得，于是，故
．然后根据余弦定理及可得，再由可得，解得．（2）由题意得
，设，可得，求得的取值范围后根据函数的单调性可得实数的取值范围．
试题解析：
（1）∵，
∴，
由正弦定理得，
∴.
又，，
∴，
∴．
由余弦定理得，
又，
∴，
∴或（舍去），
又，
∴，
∴．
（2）由（1）得为锐角，故．
又，
∴，
设，
∵，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
∴实数的取值范围为.
21.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求证：；
（2）若的面积为，求的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2) 或.
【解析】
试题分析：由正、余弦定理计算得，讨论当时，当时得(2)由面
积公式得，又，代入化简得，从而算出结果
解析：（1）由，可得，又由正、余弦定理得
当时，，即
当时，，又，∴
∴，∴，∴
综上，当时，
（2）∵，
又，∴，因为，∴
又，∴
当时，；当时，；
∴或.
22.已知向量,若函数的最小正周期为，且在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在有实数解，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到ω，然后求解函数的解析式．
（2）化简方程为：2a（sin2x+cos2x）2﹣2（sin2x﹣cos2x）﹣3a+3=0，令，原方程化为2a（2﹣t2）﹣2t﹣3a+3=0，整理2at2+2t﹣a﹣3=0，等价于2at2+2t﹣a﹣3=0在[﹣1，1]有解．
【详解】(1)=，由
当，此时在上单调递增，不符合题意
当，，此时在上单调递减，符合题意
所以
(2)方程即方程
，设
方程等价于在在有解
设
当，若不符合题意
当时，在有解：
方程在有一解，
方程在在有二解，
综上所述：的范围
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力．。