精品解析：2020年北京理工附中中考数学4月模拟试题(解析版)

2020年北京理工附中中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若代数式有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A. x ＝0
B. x ＝2
C. x≠0
D. x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分式的分母不等于0即可解题.
【详解】解：∵代数式有意义，
∴x-2≠0,即x≠2,
故选D.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件,属于简单题,熟悉分式有意义的条件是解题关键.
2. 如图，在中，过点作PB BC ⊥于，交于，过点作CQ AB ⊥，交延长线于，则的高是（ ）
A. 线段
B. 线段
C. 线段
D. 线段 【答案】C
【解析】
【分析】
以三角形的一边为底，过第三个顶点向底边所作的垂线是三角形的高线，根据定义解答.
【详解】由题意得：CQ AB ⊥，
∴的高是线段CQ ，
故选：C.
【点睛】此题考查三角形的高线的定义，熟记定义，正确区分高线是解题的关键.
3. 如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A ，B 互为相反数，则点C 表示的数可能是（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 5 【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的几何意义：在数轴上，一组相反数所表示的点到原点的距离相等，即可确定原点的位置，进而得出点C表示的数.
【详解】∵点A，B互为相反数，
∴AB的中点就是这条数轴的原点，
∵数轴上每相邻两点距离表示1个单位，且点C在正半轴距原点3个单位长度，
∴点C表示的数为3.
故选C.
【点睛】本题考查了相反数和数轴的知识.利用相反数的几何意义找出这条数轴的原点是解题的关键.
4. 不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①可得x＜1，
解不等式②得x≥-3，
则不等式组的解集为：-3≤x＜1，
由此可知用数轴表示：
故选B.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A. 0.7米
B. 1.5米
C. 2.2米
D. 2.4米
【答案】C
【解析】
【分析】
在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
6. 一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它的外角的度数，即可得方程：x+x=180，解此方程即可求得答案．
【详解】设正多边形的一个外角等于x°，
∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数，
∴这个正多边形的一个内角为： x°，
∴x+x=180，
解得：x=900，
∴这个多边形的边数是：360°÷90°=4．
故选B．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．7. “龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）
A. 赛跑中，兔子共休息了50分钟
B. 乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C. 兔子比乌龟早到达终点10分钟
D. 乌龟追上兔子用了20分钟
【答案】D
【解析】
分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.
详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A 选项错误；
乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：（米/分钟），故B 选项错误；
兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C 选项错误；
在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D 选项正确. 故选D.
点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键. 8. 在平面直角坐标系中，函数的图象与直线：()103
y x b b =+<交于点，与直线：交于点，直线与交于点，记函数的图象在点、之间的部分与线段，线段围城的区域（不含边界）为，当时，区域的整点个数为（ ）
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 没有
【答案】D
【解析】
【分析】
根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择.
【详解】∵，过整点（-1，-2），（-2，-1），
当b=时，如图：区域W 内没有整点，
当b=时，区域W 内没有整点，
∴时图形W 增大过程中，图形内没有整点，
故选：D.
【点睛】此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键. 二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 北京大力拓展绿色生态空间，过去5年，共新增造林绿化面积134万亩．将1 340 000用科学计数法表示为__________．
【答案】61.3410⨯
【解析】
分析：
按照科学记数法的定义进行解答即可.
详解：
61340000 1.3410=⨯.
故答案为：61.3410⨯.
点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
10. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．
【答案】0.88．
【解析】
分析】
首先结合现实生活，对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法，然后再根据算术平均数的求法计算出这种幼树移植过程中统计的10次的成活率的平均数即可．
【详解】解：
故答案为0.88．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概率是解题的关键．
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过题意发现该式子为m 个2的和，然后再加上m 个3的积，即可得到答案．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题是数字类规律题，注意观察式子特点是解题的关键．
12. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份，如果小管口中DE 正好对着量具上20份处（DE ∥AB ），那么小管口径DE 的长是_____毫米．
【答案】
【解析】
分析：利用相似三角形性质：相似三角形的对应边的比相等，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．
详解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CA=DE：AB，
∴20：60=DE：10，
∴DE=（毫米），
∴小管口径DE的长是毫米.
点睛：本题考查了相似三角形的实际应用.借助相似三角形的性质，即相似三角形的对应边的比相等来建立方程是解题的关键.
13. 已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是_____．
【答案】8
【解析】
分析：原式第一项利用单项式乘多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值．
详解：原式=2a2+a﹣（a2﹣4）
=2a2+a﹣a2+4
=a2+a+4，
当a2+a=4时，原式=4+4=8．
故答案为8．
点睛：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，单项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．
14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到CE =CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算OB与OE的差即可．
【详解】解：连接OC
∵弦CD⊥AB，CD=8，
∴CE=CD=4，
在Rt△OCE中，
∵OC=5，CE=4，
由勾股定理得，
∴OE3
==，
∴BE=OB−OE=5−3=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理.利用垂径定理求出CE的长，再利用勾股定理求出OE的长是解题的关键．
15. 如图，在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，若S四边形ABFE=9，则S三角形EFC=________．
【答案】3
【解析】
分析：
由已知条件易得：EF∥AB，且EF：AB=1：2，从而可得△CEF∽△CAB，且相似比为1：2，设
S△CEF=x，根据相似三角形的性质可得方程：，解此方程即可求得△EFC的面积.
详解：
∵在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF：AB=1：2，
∴△CEF∽△CAB，
∴S△CEF：S△CAB=1：4，
设S△CEF=x，
∵S△CAB=S△CEF+S四边形ABFE，S四边形ABFE=9，
∴，
解得：，
经检验：是所列方程的解.
故答案为：3.
点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键.
16. ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中：
①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；
②若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；
③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；
④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形．
以上所有正确说法的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①根据平行四边形的性质得AB∥DC，OA＝OC，再由平行线的性质和对顶角相等可得∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，根据ASA来判定△AOE≌△COF，推出AE=CF,由此可判断四边形为平行四边形；
②根据矩形的判定定理可知，当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，而图2-2中，AB<AD时，点E不在线段AB上；
③根据菱形的判定定理可知：当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形；
④当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，在AB上一定存在一点E
【详解】解：（1）如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，
故选项①正确；
（2）如图2，当∠ABC＜90°,
当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，
在图2中，AB>AD时，存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；
而图2-2中，AB<AD时，点E不在线段AB上；
故选项②不正确．
（3）如图3，
当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，
∵AB＞AD，
∴在AB上一定存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；
故选项③正确．
（4）如图4，
当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，故选项④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题6分，第23题7分，第24题6分，第25题6分，第26题6分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：（）﹣1﹣（π﹣）0+|1﹣|﹣2sin60°．
【答案】1
【解析】
【分析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】原式=3﹣1+﹣1﹣2×=1．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】0，1，2
【解析】
【分析】
分别对不等式组中的两个不等式进行求解，再取两个不等式解集的公共部分可得到不等式组的解集，写出解集内的所有整数解即可.
【详解】，
解不等式①，得x ≤2，
解不等式②，得x ＞-1，
∴原不等式组的解集为，
∴适合原不等式组的整数解为0,1,2．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解.正确求出不等式组的解集是解题的关键，而漏写解集内的所有整数解是本题的易错点.
19. 如图，在中，AB AC =，点是边上一点，DE AB ∥．交于点，连结，过点作EF BC ⊥于点，求证：为线段中点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由AB=AC 得到，由DE AB ∥推出EDC C ∠=∠，从而证得ED=EC ，再根据EF BC ⊥即可得到结论.
【详解】解：证明：∵AB AC =，
∴．
∵DE ∥AB ，
∴∠EDC=∠B ，
∴EDC C ∠=∠．
∴ED EC =．
∵EF BC ⊥，
∴点为线段中点．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
20. 关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）k ＜2（2） 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k 的取值范围； （2）根据（1）中的k 的取值范围和k 为正整数得出k 的值，再解方程即可， 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， =8－4k >0.， ∴；
（2）∵k 为正整数， ∴k =1，
解方程220x x +=得， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式、解一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键.
21. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求，的值；
（2）连结，点是函数上一点，且满足OP OA =，直接写出点的坐标（点除外）．
【答案】（1），；（2）点的坐标，， 【解析】 【分析】
（1）利用直线即可求出a ，得到点A 的坐标后代入即可求出k ；
（2）根据点A 的坐标求出2222313OA =+=，设点P(x ， )由OA=OP 得到，解出x 值即可得到点P 的坐标.
【详解】解：（1）∵直线经过点， ∴． ∴．
∵函数的图象经过点， ∴．
（2）∵A(2，3)， ∴2222313OA =+=， 设点P(x ， ), ∵OA=OP ， ∴22OA OP =， ∴，
解得： 或，经检验均符合题意， ∴点的坐标，，． 【点睛】
此题考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，特殊法解一元二次方程. 22. 如图，已知平行四边形ABCD ，延长到使BE AB =，连接，，，若ED AD =． （1）求证：四边形BECD 是矩形； （2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】
（1）根据四边形ABCD 是平行四边形证得BE=CD ，由此得到四边形BECD 是平行四边形，利用ED=AD 得到ED=BC ，由此得到结论；
（2）根据矩形的性质及勾股定理求出B D ==CE ，再利用勾股定理即可求出
AC.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AB CD =． ∵BE AB =， ∴BE CD =．
∴四边形BECD 是平行四边形． ∵AD BC =，AD DE =， ∴BC DE =．
∴四边形BECD 是矩形． （2）解：∵，
∴4AB BE ==． ∵，，
∴B D ==∴，
∴AC =
【点睛】此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，掌握定理并熟练运用解题是关键.
23. 为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的名学生的数学成绩进行分析： 甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91 乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88 整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据：
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
（1）经统计，表格中的值是__________． （2）得出结论
①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为__________．
②可以推断出__________学校学生的数学水平较高，理由为：__________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【答案】（1）88；（2）①450，②甲，甲的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高
【分析】
（1）先整理统计表，得到总人数是20人，取中间两个数的平均数即可得到m；
（2）①用样本中80分以上的人数除以样本总人数再乘以全校的人数600即可得到答案；
②根据统计表分析即可得到答案，答案不唯一.
【详解】解：整理、描述数据
分析数据
（1）经统计表格，得到总人数=1+1+0+0+3+7+8=20(人)，
中间两个数据都是88，
∴的值是88．
故答案为：88；
（2）①甲学校600名初二学生在这次考试成绩80分以上人数（人）
故答案为：450．
②答案不唯一，理由须支撑推断结论．
答案为：甲，甲的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高.
【点睛】此题考查统计计算，会求样本数据总数，利用样本的比例求总体数量，会计算中位数，能根据表格得到相应的结论，正确整理表格数据是解题的关键.
24. 如图，以为直径作，过点作的切线，连结，交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
∠=∠，即可得到结论；
（1）由AC是的切线得到，根据点是边的中点求出C EAC
（2）连接AD，由AB是直径得到，根据求出BD=3，，根据点E是BC中点求出BE即可得到DE.
【详解】解：（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵点是边的中点，
=．
∴AE EC
∠=∠，
∴C EAC
∵，
∴．
（2）解：连结．
∵为直径作，
∴．
∵，
∴．
△中，，，
在Rt ABC
∴，
∵点是边的中点，
∴．
∴．
【点睛】此题考查切线的性质定理，圆周角定理，等腰三角形的定义，勾股定理，当题中出现直径时通常连接圆周角得到直角，再进行其他证明.
25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向左平移4个单位长度，得到点，点在抛物线上．（1）求点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据解析式得到点A 的坐标，利用平移即可得到带你B 的坐标； （2）根据点A 、B 的对称性即可求出对称轴；
（3）分两种情况：a>0或a<0时，分别确定点P 、Q 的位置，根据抛物线与线段PQ 恰有一个公共点求出答案.
【详解】（1）∵抛物线与轴交于点， ∴点A(0，-5a)，
∵将点向左平移4个单位长度，得到点， ∴B(-4，-5a)； （2）对称轴是x=； （3）如图：当a<0时， ∵A(0，-5a), ,且-5a>-2a ， ∴点P 在抛物线下方，
∵，抛物线与线段恰有一个公共点，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方或是在抛物线上，即， 解得，
∴时抛物线与线段恰有一个公共点；
当a>0时，∵A(0，-5a), ，且-5a<-2a<0， ∴点P 在抛物线上方，在x 轴下方， ∵，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方，
∴此时抛物线与线段没有公共点；
综上，时抛物线与线段恰有一个公共点.
【点睛】此题考查抛物线的性质，利用解析式求点坐标，点平移的规律，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题.
26. 如图1，在ABP △中，，，过点的直线垂直于线段所在的直线．设点，关于直线的对称点分别为点， （1）在图1中画出ABP △关于直线对称的三角形AB P ''△． （2）若BAP α∠=，求的度数．（用表示）
（3）若点关于直线的对称点为，连接，．请写出、之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）PA PM =，，所成锐角为60°，见解析 【解析】 【分析】
（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）根据轴对称得到AP AP '=，再根据外角关系推导出 ；
（3）先根据轴对称求出∠3=∠4=∠ 5，由AB AB '=，60B ∠=︒ 证得BAB '△为等边三角形得出 ，根据
AP AP '=，AP AM '= 证得AP=AM 得到PAM △为等边三角形，由此得到 ，，即PA 与PM 所成角为
60°.
【详解】（1）如图：
（2）解：∵，关于直线
l 对称，
∴AC PP '⊥，CP CP '= ， ∴AP AP '=， ∴，
又∵在ABP △中，60B ∠=︒ ，BAP α∠=， ∴ ， 即；
（3）PA PM =， ，所成锐角为60° ∵，关于直线对称，
∴'⊥AC BB ，CB CB '= ， ∴AB AB '=， ∵60B ∠=︒ ∴60B B '∠=∠=︒
在AP B ''△中，23603B '∠=∠+∠=︒+∠ ， 又∵260α∠=︒+， ∴．
∵点M 、关于 对称， ∴，DP DM '= ， ∴AP AM '=， ∴∠4=，
∵， ∴， ∴ ，
∵AB AB '=，60B ∠=︒ ， ∴BAB '△为等边三角形， ∴ ，
又∵由（2）得AP AP '=，
AP AM '=，
∴AP AM =，
∴PAM △为等边三角形， ∴PA PM =， ， 即PA 与PM 所成角为60°. 【点睛】
此题考查轴对称作图，轴对称的性质，三角形外角性质，等边三角形的判定及性质，是一道三角形的综合题.
27. 已知图形和图形上的两点、，如果PQ 上的所有点都在图形的内部或边上，则称PQ 为图形的内弧．特别的，在中，，分别是两边的中点，如果DE 上的所有点都在的内部或边上，则称DE 为的中内弧．（注：PQ 是指劣弧或半圆）在平面直角坐标系中，已知点()4,0A ．设内弧所在圆的圆心为． （1）当时，连接、并延长． ①请在图1中画出一条的内弧AB ；
②请直接写出的内弧AB 长度的最大值__________． （2）连接、并延长．
①当时，请直接写出的所有内弧AB 所在圆的圆心的纵坐标的取值范围__________； ②若直线上存在的内弧AB 所在圆的圆心，请求出的取值范围．
（3）作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接、、．令，当的中内弧AO 所在的圆的圆心在的外部时，的所有中内弧AO 都存在，请直接写出的取值范围__________．
【答案】（1）①见解析，②；（2）①或，②n
-≤≤且；（3）
【解析】
【分析】
（1）①过点A、B作弧线即可；
②以线段AB为直径的半圆即是的内弧AB长度的最大值，利用弧长公式计算即可；
（2）①根据点A、B的坐标求出AB=，及∠OAB=30°，再分两种情况：当AB在线段AB上方时，当AB 在线段AB下方时，分别求出AB最长值即可得到答案；
②取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D，当AB在线段AB下方时且AB最大，过A、B两点的圆P与y轴相切，则BP⊥y轴，PC垂直平分AB，此时四边形OBPD是矩形，根据矩形的性质及三角形相似求出n的值，即可得到答案；
（3）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，根据AO在线段AO的下方时，AO在AO的上方时，分别求出AO的最大值，即可得到n的取值范围.
【详解】解：（1）①如图：
②以线段AB为直径的半圆即是的内弧AB长度的最大值，
∵A(4，0)，B(0，4)，
∴OA=OB=4，
∴AB=，
∴的内弧AB长度的最大值==，
故答案为：；
（2）①∵A(4，0)，B(0，)，
∴OA=4，OB=,
∴AB=，
如图，当AB在线段AB上方时，此时以AB为直径的半圆的弧线最长，过圆心P作PH⊥x轴于H，则PH=，
∴，
如图，当AB在线段AB下方时，过A、B两点的圆P与x轴相切，过点A作x轴的垂线，与线段AB的垂直平分线交于点P，交AB于点H，此时AB最长，连接BP，
∵OA=4，OB=,
∴tan∠OAB= ，
∴∠OAB=30°，
∴∠BAP=60°，
∵PH垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴△ABP是等边三角形，
∴AP=AB=，
∴，
综上，或；
②如图，取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D，
当AB在线段AB下方时且AB最大，过A、B两点的圆P与y轴相切，则BP⊥y轴，PC垂直平分AB，此时四边形OBPD是矩形，
∴BP=OD=6，
∵A(4，0)，B(0，n),
∴OA=4，OB=n，
∴AB=，
∴BC=
易证△AOB∽△BCP，
∴,
∴
解得n=（n=-舍去），
同理，当AB在线段AB上方时且AB最大，n=-，
综上，n的取值范围是n
-≤≤
（3）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，
当AO在线段AO的下方时，当AO是直径时，AO最大，此时DP=OD=AD=2<OC，即圆心P在△BCD 内部，
当AO在AO的上方时，当圆P与BD相切时，即AP⊥BD时，AO最大，
∵PE⊥AO
∴2
=⋅，
AO DE DP
∴，
解得，
∴当的中内弧AO所在的圆的圆心在的外部时，的所有中内弧AO都存在，n的取值范围是.
【点睛】此题是一道压轴题，考查的是圆和函数的综合知识，解题中掌握函数的有关性质，圆的性质，三角形外心的确定，圆的切线的性质定理是解题的关键，将所学知识综合，融会贯通是解题的有效手段.
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