(完整word版)高一上学期期末数学试卷(含答案)

高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）
A．1 B． 2 C．3 D．4
2．已知点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，则y的值为（）
A．﹣1 B．C．1 D．
3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）
A．πB．C．4πD．5π
4．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
5．下列四个数中最小者是（）
A．log3B．log32 C．log23 D．log3（log23）
6．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）
A．8πB．C．D． 8π
7．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）
A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=0
8．已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）
A．（1，2）B．（0，1）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）9．设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）
10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
11．（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，x3，且
x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）
A．（2，]B．（2，]C．（2，]D．（2，3）
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．
14．（5分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是。

15．（5分）已知圆（x﹣3）2+y2=16和圆（x+1）2+（y﹣m）2=1相切，则实数m= ．16．（5分）将边长为2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿对角线AC折起，使得半
平面ACD与半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的两面角，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：
①不论θ取何值，总有AC⊥BD；
②当θ=90°时，△BCD是等边三角形；
③当θ=60°时，三棱锥D﹣ABC的体积是．
其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：x+my+6=0，直线l2：（m﹣2）x+3my+18=0．
（1）若l1∥l2，求实数m的值；
（2）若l1⊥l2，求实数m的值．
18．（12分）如图，O为矩形ABCD的中心，E，F为平面ABCD同侧两点，且EF BC，△CDE
和△ABF都是等边三角形．
（1）求证：FO∥平面ECD；
（2）设BC=CD，求证：EO⊥平面FCD．
19．（12分）如图，已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2），求圆心在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．
20．（12分）已知函数f（x）=a﹣，g（x）=．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若关于x的方程g（2x）﹣a•g（x）=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围．
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC 成30°角．
（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
22．（12分）已知f（x）对任意的实数m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，有f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（1）=2，且关于x的不等式f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意的x∈
考点：三点共线．
考点：三点共线．
专题：直线与圆．
分析：根据三点共线，结合斜率之间的关系进行求解．
解答：解：若点A（1，2），B（﹣2，3），C（4，y）在同一条直线上，
则满足k AB=k AC，
即，
即，
则y﹣2=﹣1，解得y=1，
故选：C
点评：本题主要考查三点共线的应用一件斜率公式的计算，根据斜率之间的关系是解决本题的关键．
3．（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）
A．2πB．C．4πD．5π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；图表型．
分析：由三视图知，此几何体是一个圆柱，其高为2，半径为，由公式易求得它的表面积，选出正确选项
解答：解：由图知，此几何体是一个圆柱，其高为2，半径为，
它的表面积为+2×2π×=
故选B
点评：本题考查由三视图求面积、体积，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，再由公式求出表面积，本题考查了空间想像能力．
4．（5分）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
专题：证明题．
分析：由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．解答：解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选：D．
点评：本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题．
5．（5分）下列四个数中最小者是（）
A．log3B．log32 C．l og23 D．l og3（log23）
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数函数的单调性求解．
解答：解：∵0=log31＜＜=＜log32＜log33=1，
=＜log23＜log24=2，
∴＜log3（log23）＜log32＜log23．
∴四个数中最小的是．
故选：A．
点评：本题考查四个数中的最小者的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．
6．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）
A．8πB．C．D．8π
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．
解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，
因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；
因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．
所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．
故选：C．
点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．
7．（5分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，
A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y ﹣7=0
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．
专题：计算题；压轴题．
分析：求出PA的斜率，PB的倾斜角，求出P的坐标，然后求出直线PB的方程．
解答：解：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|=|PB|，
故直线PB的倾斜角为135°，
又当x=2时，y=3，即P（2，3），
∴直线PB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0．
故选A
点评：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用，是基础题．
8．（5分）已知函数f（x）=log a（2﹣a x）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，1）∪（1，2）D．（0，1）∪（2，+∞）
考点：复合函数的单调性；对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：分类讨论，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质求得a的范围，综合可得结论．
解答：解：当a＞1时，由2﹣a＞0 求得a＜2，∴1＜a＜2．
当0＜a＜1时，由于2﹣a x在（﹣∞，1]上可能为负数，故不满足条件．
综上可得，1＜a＜2，
故选：A．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
9．（5分）设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（）
A．f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）B．f（6.5）＜f（3.5）＜f （1.5）
C．f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）D．f（3.5）＜f（6.5）＜f （1.5）
考点：函数的周期性．
专题：函数的性质及应用．
分析：由条件可知函数f（x）的周期为6，利用函数周期性，对称性和单调性之间的关系即可得到结论．
解答：解：∵f（x）=f（x+6），
∴f（x）在R上以6为周期，
∵函数的对称轴为x=3，
∴f（3.5）=f（2.5），f（6.5）=f（0.5）
∵f（x）在（0，3）内单调递减，0.5＜1.5＜2.5
∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）
点评：本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用，利用周期性把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法．
10．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
考点：直线与圆相交的性质．
专题：压轴题．
分析：根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．
解答：解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，
由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，
根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．
故选B
点评：考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．
11．（5分）（理）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是（）
A．90° B．60° C．45° D．30°
考点：异面直线及其所成的角．
专题：计算题；证明题；空间角．
分析：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN．可得∠AB1N （或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角，然后在△AB1N中分别算出三条边的长，利用余弦定理得cos∠AB1N=0，可得∠AB1N=90°，从而得到异面直线AB1和BM所成角．
解答：解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长等于2，延长MC1到N使MN=BB1，连接AN，则∵MN∥BB1，MN=BB1，∴四边形BB1NM是平行四边形，可得B1N∥BM
因此，∠AB1N（或其补角）就是异面直线AB1和BM所成角
∵Rt△B1C1N中，B1C1=2，C1N=1，∴B1N=
∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=
又∵正方形AA1B1B中，AB1=2
∴△AB1N中，cos∠AB1N==0，可得∠AB1N=90°
即异面直线AB1和BM所成角为90°
故选：A
点评：本题在所有棱长均相等的正三棱柱中，求异面直线所成的角大小，着重考查了正三棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识，属于基础题．
12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x1，x2，
x3，且x1＜x2＜x3，则x3﹣x1的取值范围为（）
A．（2，]B．（2，] C．（2，]D．（2，3）
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：作函数f（x）=与y=t的图象，从而可得0＜t＜1，x1=﹣t，
x3==1+；从而可得x3﹣x1=1++t=﹣（﹣）2+；从而解得．
解答：解：作函数f（x）=与y=t的图象如下，
结合图象可知，0＜t＜1；
x1=﹣t，x3==1+，
故x3﹣x1=1++t=﹣（﹣）2+；
故2＜x3﹣x1≤；
故选：B．
点评：本题考查了学生作图的能力及数形结合的思想应用，同时考查了配方及换元法的应用，属于中档题．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知长方形ABCD中，AB=2，AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=．
考点：余弦定理的应用；平面图形的直观图．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由题意，A′B′=，A′D′=3，∠A′D′C′=135°，利用余弦定理可得A′C′．
解答：解：由题意，A′B′=，A′D′=3，∠A′D′C′=135°，
∴A′C′==．
故答案为：．
点评：本题考查平面图形的直观图，考查余弦定理，比较基础．
14．（5分）若点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，则的最大值是．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：设k=，即y=kx，根据直线和圆相切即可得到结论．
解答：解：设k=，即y=kx，
则∵点P（x，y）在圆C：（x﹣2）2+y2=3上，
∴圆心（2，0）到直线kx﹣y=0的距离d，
即，
平方得4k2≤3+3k2，
即k2≤3，
解得﹣，
故的最大值是，
故答案为：．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题的关键．
15．（5分）已知圆（x﹣3）2+y2=16和圆（x+1）2+（y﹣m）2=1相切，则实数m=3或﹣3．
专题：直线与圆．
分析：根据两个圆的方程，分别求出两圆半径与圆心的坐标，再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解，注意圆相切的两种可能性．
解答：解：根据题意得：圆C：（x﹣3）2+y2=16的圆心坐标为C（3，0），半径r=4；
圆D：（x+1）2+（y﹣m）2=1的圆心坐标为D（﹣1，m），半径R=1．
当两圆相外切时，圆心距CD=R+r=5，即=，
所以m2=9，解得m=3或m=﹣3．
当两圆内切时，圆心距CD=R﹣r=3，即==9此时方程无解，
综上m=3或m=﹣3．
故答案为：3或﹣3．
点评：本题主要考查圆与圆位置关系的知识点还考查两点之间的距离公式，圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．注意要进行讨论．
16．（5分）将边长为2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿对角线AC折起，使得半平面ACD与半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的两面角，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：
①不论θ取何值，总有AC⊥BD；
②当θ=90°时，△BCD是等边三角形；
③当θ=60°时，三棱锥D﹣ABC的体积是．
其中正确的命题的序号是①②③．（把你认为正确的序号都填上）
考点：棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：通过证明AC⊥平面BOD，证明AC⊥BD，可得①正确；
过D作DO⊥AC于O，连接BO，利用勾股定理求得BD长，可得②正确；
利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积，可得③正确．
解答：解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，
∴BD=1，即△BCD为等边三角形，②正确；
∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD⊂平面BOD，∴AC⊥BD，①正确；
∵V D﹣ABC==，∴③正确；
故答案为：①②③．
点评：本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：x+my+6=0，直线l2：（m﹣2）x+3my+18=0．
（1）若l1∥l2，求实数m的值；
（2）若l1⊥l2，求实数m的值．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：直线与圆．
分析：（1）对m分类讨论，利用两条直线平行与斜率、截距的关系即可得出；
（2）对m分类讨论，利用两条直线垂直与斜率的关系即可得出．
解答：解：（1）当m=0时，两条直线分别化为：x+6=0，﹣x+9=0，此时两条直线不平行，因此m=0；
当m≠0时，两条直线分别化为：，，
∵l1∥l2，∴，，无解．
综上可得：m=0．
（2）由（1）可得：m=0时两条直线平行，
m≠0，∵l1⊥l2，∴=﹣1，
解得m=﹣1或．
∴m=﹣1或．
点评：本题考查了分类讨论、两条直线平行垂直与斜率之间的关系，属于基础题．
18．（12分）如图，O为矩形ABCD的中心，E，F为平面ABCD同侧两点，且EF BC，△CDE
和△ABF都是等边三角形．
（1）求证：FO∥平面ECD；
（2）设BC=CD，求证：EO⊥平面FCD．
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）取CD中点M，证明四边形EFOM为平行四边形，得到FO∥EM，从而证明FO∥平面CDE．
（Ⅱ）证明平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM，证明CD⊥平面EOM，可得CD⊥EO，进而证得EO⊥平面CDF．
解答：证明：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连接OM．
在矩形ABCD中，OM∥BC，且OM=BC，又EF∥BC，且EF=BC，
则EF∥OM，EF=OM，连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM．
又FO不在平面CDE内，且EM在平面CDE内，
∴FO∥平面CDE．
（Ⅱ）证明：连接FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，EM⊥CD，
且EM=CD=BC=EF，因此，平行四边形EFOM为菱形，从而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．而FM∩CD=M，
所以，EO⊥平面CDF．
点评：本题考查证明先面平行、线面垂直的方法，取CD中点M，证明CD⊥平面EOM是解题的难点，属于基本知识的考查．
19．（12分）如图，已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2），求圆心在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．
考点：圆的标准方程．
专题：直线与圆．
分析：法一：利用待定系数法即可求圆C的方程；
法二：根据直线和圆相切的等价条件，联立方程组求出圆心和半径即可．
解答：解：法一：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
∵圆C与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），且圆心在直线4x+y=0上，
∴满足，解得a=1，b=4，r=，
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．
法二：过切点且与x+y﹣1=0垂直的直线方程为y+2=x﹣3，
即y=x﹣5与4x+y=0联立求得圆心为（1，﹣4），
则半径r==，
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．
点评：本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相切的应用，利用直线和圆的位置关系求出圆心和半径是解决本题的关键．
20．（12分）已知函数f（x）=a﹣，g（x）=．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若关于x的方程g（2x）﹣a•g（x）=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围．
考点：函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据函数f（x）是R上的奇函数得：f（0）=0，代入解析式列方程，再求实数a的值；
（2）由题意先求出g（x）的解析式，代入方程进行化简得：22x﹣a•2x+1﹣a=0，利用换元法转化已知的方程，根据二次函数根的分布问题，列出不等式组求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）由题意知，f（x）是定义域为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即a﹣=0，解得a=1；
（2）因为f（x）=a﹣，所以g（x）==，
将方程g（2x）﹣a•g（x）=0化为：+a×=0，
化简得22x﹣a•2x+1﹣a=0，
设t=2x，则t＞0，代入上式得t2﹣at+1﹣a=0，
因为关于x的方程g（2x）﹣a•g（x）=0有唯一的实数解，
所以关于t的方程t2﹣at+1﹣a=0有唯一的正实数解，
则1﹣a＜0或，解得a＞1或a＞，
所以实数a的取值范是（，+∞）．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，二次函数根的分布问题，以及有关方程根的转化问题，考查换元法和转化思想．
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC 成30°角．
（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
专题：证明题．
分析：（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；
（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可．
解答：解：
（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．
设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
22．（12分）已知f（x）对任意的实数m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，有f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（1）=2，且关于x的不等式f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意的x∈=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），从而得到函数的单调性；
（3）f（ax﹣2）+f（x﹣x2）=f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，根据f（1）=2及f（x）在R上为增函数即得x2﹣（a+1）x+3＞0对任意的x∈=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），
∴f（x2）＞f（x1），
即f（x）在R上为增函数；
（3）∵f（ax﹣2）+f（x﹣x2）=f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3
∴f（ax﹣2+x﹣x2）＜2
又∵f（1）=2及f（x）在R上为增函数
∴ax﹣2+x﹣x2＜1对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即x2﹣（a+1）x+3＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立．
下面对△=（a+1）2﹣12的正负情况进行讨论：
①当△＜0，即（a+1）2﹣12＜0时，
②当△=0且x2﹣（a+1）x+3=0的解小于1时，
则a=±，x=，
故a=﹣；
③当△＞0且x2﹣（a+1）x+3=0的最大解小于1时，
即0＜a2+2a﹣11＜a2﹣2a+1，
解得或，
综合所述，或．
点评：本题主要考查了抽象函数，及其函数的单调性和不等式的解法，着重考查了函数的简单性质和函数恒成立问题等知识点，属于中档题．。