2019-2020数学必修3人教A版课件：第二章 2.1 2.1.3 分层抽样

探究 1 分层抽样的概念 例 1 (1)某政府机关在编人员共 100 人，其中副处级以 上干部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人，上级部门为了 了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取 20 人，用 下列哪种方法最合适( ) A．系统抽样法 B．简单随机抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法
【跟踪训练 1】 下列问题中，最适合用分层抽样方法 抽样的是( )
A．某电影院有 32 排座位，每排有 40 个座位，座位号 是 1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取 意见，要留下 32 名听众进行座谈
B．从 10 台冰箱中抽出 3 台进行质量检查 C．某乡农田有山地 8000 亩，丘陵 12000 亩，平地 24000 亩，洼地 4000 亩，现抽取农田 480 亩估计全乡农田平均产 量 D．从 50 个零件中抽取 5 个做质量检验
①007,034,061,088,115,142,169,196,223,250； ②005,009,100,107,111,121,180,195,200,265； ③011,038,065,092,119,146,173,200,227,254； ④036,062,088,114,140,166,192,218,244,270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是( ) A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样 C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样
(5)在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是相 同的，与层数及分层无关．
(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简 单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单 随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随 机抽样法．
(3)第一种方式抽样的步骤如下： 第一步：在这 14 个班中用抽签法任意抽取一个班； 第二步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取 14 名学生，考察其考试成绩．
(3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本．
拓展提升 利用分层抽样抽取样本的操作步骤
(1)将总体按一定标准进行分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本 数； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．
解 采用分层抽样的方法，抽样比为1260000＝2100. “很喜爱”的有 2435 人，应抽取 2435×2100≈12(人)； “喜爱”的有 4567 人，应抽取 4567×2100≈23(人)； “一般”的有 3926 人，应抽取 3926×2100≈20(人)；
“不喜爱”的有 1072 人，应抽取 1072×2100≈5(人)． 因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一 般”“不喜爱”的人中应分别抽取 12 人、23 人、20 人、5 人．
【跟踪训练 2】 某电视台在因特网上就观众对某一节 目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为 12000 人，其 中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2435 4567 3926 1072 电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从 中再抽取 60 人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
[解] (1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全 体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本 年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的 14 名学生本年度的考试成绩，样本容量为 14；第二种抽取 方式中样本为所抽取的 14 名学生本年度的考试成绩，样本 容量为 14；第三种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生 本年度的考试成绩，样本容量为 100.
解析 A 的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B 的 总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C 总体容量较 大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D 与 B 类似．
探究 2 分层抽样的应用 例 2 一个单位有职工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，35 岁至 49 岁的有 280 人，50 岁及 50 岁以上的有 95 人， 为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中 抽取 100 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该 怎样抽取？
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类 (层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为 保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取个体数量相同
[解析] (1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层 抽样．
解析 系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有① ③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到 10 段 中每段要抽 1 个，检查这一点只需看第一个编号是否在 001～027 范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽 样，则分段间隔 k＝21700＝27，④也不符合这一要求，所以 可能是系统抽样的为①③，因此排除 A，C；若采用分层抽 样，一、二、三年级的人数比例为 4∶3∶3，由于共抽取 10 人，所以三个年级应分别抽取 4 人、3 人、3 人，即在 001～
第二种方式抽样的步骤如下： 第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某 一学生，记其学号为 x； 第 二 步 ： 在 其 余 的 13 个 班 中 ， 选 取 学 号 为 x ＋ 50k(1≤k≤13，k∈Z)的学生，共计 14 人． 第三种方式抽样的步骤如下： 第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共 105 人，良好生共 420 人，普通生共 175 人，所以在抽取样本中， 应该把全体学生分成三个层次；
解析 男女同学每人被抽取的可能性是相同的，所以应 抽取男同学59×9＝5(人)．
(3)(教材改编 P64T5)某学校有教师 132 人，职工 33 人， 学生 1485 人．为了解食堂情况，拟采用分层抽样的方法从 以 上 人 员 中 抽 取 50 人 进 行 抽 查 ， 则 在 学 生 中 应 抽 取 ___4_5____人．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式 的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都 按同一抽样比等可能抽取．
拓展提升 使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层 的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各 层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比 等于抽样比．
108 范围内要有 4 个编号，在 109～189 和 190～270 范围内 要分别有 3 个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能 为分层抽样(其中①③在每一层内采用了系统抽样，②在每 一层内采用了简单随机抽样)，所以排除 B.
1.分层抽样的几个要点 (1)分层抽样适用于总体数目较多，且由差异明显的几 部分组成的情况； (2)分成的各层互不交叉； (3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例， 即Nn，其中 n 为样本容量，N 为总体容量； (4)分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽 样时，又可灵活地选用不同的抽样法；
探究 3 三种抽样方法的综合应用 例 3 为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三 年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面地反映 实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有 14 个教学班，每个教学班 50 人，并且每个班内的学生都已 经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)． ①从全年级 14 个班中任意抽取一个班，再从该班中任 意抽取 14 人，考察他们的学习成绩； ②每个班都抽取 1 人，共计 14 人，考察这 14 名学生的 成绩；
[解] 用分层抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层．按年龄将 500 名职工分成三层：不到 35 岁的 职工；35 岁至 49 岁的职工；50 岁及 50 岁以上的职工． (2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为150000＝15，则在 不到 35 岁的职工中抽取 125×15＝25(人)； 在 35 岁至 49 岁的职工中抽取 280×15＝56(人)； 在 50 岁及 50 岁以上的职工中抽取 95×15＝19(人)．
解析 由题意知本题是一个分层抽样方法， ∵学校有教师 132 人，职工 33 人，学生 1485 人，采 用分层抽样的方法从以上人员中抽取 50 人进行抽查， ∴每个个体被抽到的概率是132＋3530＋1485＝313， ∵学生 1485 人，∴在学生中应抽取 1485×313＝45(人)．
课堂互动探究
【跟踪训练 3】 某初级中学共有学生 270 人，其中一 年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和 系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学 生按一、二、三年级依次统一编号为 001,002,003，…，270； 使用系统抽样时，将学生统一随机编号为 001,002,003，…， 270，并将整个编号平均分为 10 段．如果抽得的号码有下列 四种情况：
③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普 通三个级别，从中抽取 100 名学生进行考查(已知若按成绩 分，该校高三学生中优秀学生有 105 名，良好学生有 420 名，普通学生有 175 名)．
根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指 什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是 多少？ (2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？ (3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步 骤．
□(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分，分层需遵循
04 不重复、不遗漏
的原则．
□ (2)按比例确定每层抽取个体的个数，抽取比例由每层个
体占 05 总体 的比例确定．
□ (3)各层分别按 06 简单随机抽样 的方法抽取．
(4)综合每层抽样，组成样本．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分层抽样实际上是按比例抽样．( √ ) (2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．( × ) (3)分层抽样中不能用简单随机抽样或系统抽样．( × )
第二章 统计
2.1 随机抽样 2.1.3 分层抽样
课前自主预习
□ 1．分层抽样的定义
一般地，在抽样时，将总体 01 分成互不交叉的层 ，
□ □ 然后 02 按照一定的比例 ，从各层 03 独立 地抽
取一定数量的个体，将各层抽取出的个体合在一起作为样 本，这种抽样的方法叫分层抽样．
2．分层抽样的步骤
2．做一做 (1)为调查某班学生的平均身高，从 50 名学生中抽取 5 名，因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所以获取样 本时宜采用___分__层___抽样．
解析 因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所 以获取样本时宜采用分层抽样．
(2)一个班共有 54 人，其中男女人数比为 5∶4，若抽取 9 人参加教改调查会，则应抽取男同学____5____人．
第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．
拓展提升 (1)简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的 抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用． (2)三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但 各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合 适的方法相同的．
第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总 体数的比为 100∶700＝1∶7，所以在每层抽取的个体数依 次为1075，4720，1775，即 15,60,25；
第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法 抽取 15 人，在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人，在普 通生中用简单随机抽样法抽取 25 人；