【步步高】届高三数学大一轮复习 3.1导数的概念及其运算教案 理 新人教A版

§3.1 导数的概念及其运算
2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．
复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．
1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率
函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1
x 2－x 1
，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)
－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy
Δx .
2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
(1)定义
称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0Δx
＝lim Δx →0 Δy
Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
.
(2)几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数
称函数f ′(x )＝lim Δx →0
f x ＋Δx －f x
Δx
为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.
4． 基本初等函数的导数公式
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤f x g x ′＝f
x g x －f x g
x
[g x
2
(g (x )≠0)．
6． 复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝
y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
[难点正本 疑点清源]
1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；
(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．
2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
1． f ′(x )是函数f (x )＝13
x 3
＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．
答案 3
解析 ∵f ′(x )＝x 2
＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2
＋2＝3.
2. 如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)
＋f ′(5)＝______. 答案 2
解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2. 3． 已知f (x )＝x 2
＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.
答案 －2
解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.
4． 已知点P 在曲线f (x )＝x 4
－x 上，曲线在点P 处的切线平行于3x －y ＝0，则点P 的坐标
为________． 答案 (1,0)
解析 由题意知，函数f (x )＝x 4
－x 在点P 处的切线的斜率等于3，即f ′(x 0)＝4x 3
0－1＝3，∴x 0＝1，将其代入f (x )中可得P (1,0)． 5．曲线y ＝
x
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为____________．
答案 y ＝2x ＋1
解析 易知点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2
x ＋
2
，∴切线斜率k ＝y ′|x
＝－1
＝2
1
＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.
题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3
在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3
在x ＝x 0处的
切线与曲线f (x )＝x 3
的交点．
思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．
解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f x －f x 0x －x 0
＝lim x →x 0 x 3－x 30
x －x 0 ＝lim x →x 0 (x 2
＋xx 0＋x 2
0)＝3x 2
0.
曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为
y －x 30＝3x 20·(x －x 0)，
即y ＝3x 20x －2x 3
0，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x 3
，y ＝3x 20x －2x 3
0，
得(x －x 0)2
(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.
若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 3
0)，(－2x 0，－8x 3
0)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)． 探究提高 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δf Δx
＝
f
x 2－f x 1
x 2－x 1
；
(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0 Δf
Δx
. 利用导数的定义，求：
(1)f (x )＝1
x
在x ＝1处的导数；
(2)f (x )＝
1
x ＋2
的导数． 解 (1)∵Δy Δx ＝
f
＋Δx －f
Δx
＝1
1＋Δx －1Δx
＝1－1＋
Δx Δx 1＋Δx ＝
1－＋Δx
Δx 1＋Δx ＋1＋Δx
＝
－Δx
Δx
1＋Δx ＋1＋Δx
＝
－1
1＋Δx ＋1＋Δx
，
∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋1＋Δx ＝－1
2. (2)∵Δy Δx
＝
f x ＋Δx －f x
Δx
＝1x ＋2＋Δx －
1
x ＋2Δx
＝x ＋－x ＋2＋Δx
Δx x ＋x ＋2＋Δx
＝
－1
x ＋
x ＋2＋Δx
，
∴f ′(x )＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0
－1x ＋
x ＋2＋Δx ＝－
1
x ＋
2
.
题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：
(1)y ＝e x
·ln x ；
(2)y ＝x ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；
(3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；
(4)y ＝ln(2x ＋5)．
思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x
·1x
＝e x
(ln x ＋1x
)．
(2)∵y ＝x 3＋1＋1x ，∴y ′＝3x 2
－2x
.
(3)设y ＝u 2
，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，
则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫4x ＋2π3.
(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， 因此y ′＝
12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5
. 探究提高 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；
(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．
求下列各函数的导数：
(1)y ＝1
1－x ＋11＋x ； (2)y ＝
cos 2x
sin x ＋cos x
；
(3)y ＝(1＋sin x )2
； (4)y ＝ln x 2
＋1.
解 (1)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝2
1－x ，
∴y ′＝⎝
⎛⎭
⎪⎫21－x ′＝－
－x －x
2
＝
2－x
2
.
(2)∵y ＝cos 2x
sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，
∴y ′＝－sin x －cos x .
(3)设u ＝1＋sin x ，则y ＝(1＋sin x )2
， 由y ＝u 2
与u ＝1＋sin x 复合而成．
因此y ′＝f ′(u )·u ′＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )． (4)y ′＝(ln x 2
＋1)′＝1
x 2
＋1
·(x 2
＋1)′ ＝
1
x 2＋1·12
(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝x x 2
＋1. 题型三 导数的几何意义 例3 已知曲线y ＝13x 3＋4
3
.
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．
思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．
解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2
，
∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.
(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝
⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为
y ′|x ＝x 0＝x 20.
∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 30＋43＝x 2
0(x －x 0)，
即y ＝x 2
0·x －23x 30＋43
.
∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 2
0－23x 30＋43，
即x 3
0－3x 2
0＋4＝0，∴x 3
0＋x 2
0－4x 2
0＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，
∴(x 0＋1)(x 0－2)2
＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.
(3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为x 2
0＝1，x 0＝±1.
切点为(－1,1)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －5
3＝x －1，
即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.
探究提高 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．
已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x
－3相切，求实数a 、b 、c 的值． 解 ∵y ′＝2ax ＋b ，
∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为
k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b .
∴4a ＋b ＝1.①
又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1，② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③
联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝－11，
c ＝9.
∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.
一审条件挖隐含
典例：(12分)设函数y ＝x 2
－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2
＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过
C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．
(1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值． 审题路线图
C 1与C 2有交点
↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数
↓
导数的几何意义
利用导数求两切线的斜率：
k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a
↓
等价转换
(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)
⎩⎪⎨⎪⎧
y 0＝x 2
0－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b
，即2x 2
0－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ②
↓注意隐含条件方程①②同解
a ＋
b ＝5
2
↓
消元
ab ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52
－a ＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫a －542＋2516
当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.
规范解答
解 (1)对于C 1：y ＝x 2
－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2
＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，
由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 2
0－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，
故有⎩⎪⎨⎪⎧
y 0＝x 2
0－2x 0＋2y 0＝－x 2
0＋ax 0＋b
⇒2x 2
0－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝5
2.[6分]
(2)由(1)知：b ＝5
2
－a ，
∴ab ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋25
16
.[9分]
∴当a ＝54时，(ab )最大值＝25
16
.[12分]
温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切
入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.
方法与技巧
1． 在对导数的概念进行理解时，特别要注意f ′(x 0)与(f (x 0))′是不一样的，f ′(x 0)代表
函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.
2． 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的
应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范
1． 利用导数定义求导数时，要注意到x 与Δx 的区别，这里的x 是常量，Δx 是变量． 2． 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
3． 求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者
包括了前者．
4． 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 若函数f (x )＝ax 4
＋bx 2
＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于
( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0 答案 B
解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，
∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 2． 已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于
( )
A ．e 2
B ．e C.ln 22 D ．ln 2
答案 B
解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.
3． 若曲线y ＝x 4
的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为
( )
A ．4x －y －3＝0
B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
答案 A
解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4
的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 3
0＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，
即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0. 4． (2011·大纲全国)曲线y ＝e
－2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为
( ) A.1
3 B.1
2 C.2
3
D ．1
答案 A
解析 ∵y ′＝－2e
－2x
，
k ＝y ′|x ＝0＝－2e 0＝－2，
∴切线方程为y －2＝－2(x －0)， 即y ＝－2x ＋2.
如图，∵y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标为(23，2
3)，y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标为(1,0)，
∴S ＝12×1×23＝13
.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 若以曲线y ＝13
x 3＋bx 2
＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，
则实数b 的取值范围为__________． 答案 [－2,2]
解析 y ′＝x 2
＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2
－16≤0，∴－2≤b ≤2.
6． 设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝________. 答案 － 2
解析 因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2sin x ＋cos x ，
所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2cos π2－sin π2， 即f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，
故f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 7． 已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝
f x ＋2
g x
的图象在x ＝5处的切线方程为____________． 答案 5x －16y ＋3＝0 解析 由y ＝
f x ＋2
g x
＝h (x )知
y ′＝h ′(x )＝f ′x g x －f x ＋2g ′x
[g x ]
2
， 得h ′(5)＝f ′5g 5－f 5＋2g ′5
[g 5]
2
＝3×4－
＋
4
2
＝516. 又h (5)＝
f ＋2g
＝5＋24＝74
，
所以切线方程为y －74＝5
16(x －5)，
即5x －16y ＋3＝0. 三、解答题(共22分)
8． (10分)已知曲线y ＝x 3
＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第
三象限． (1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x 3
＋x －2，得y ′＝3x 2
＋1， 由已知令3x 2
＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.
又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－1
4.
∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l 的方程为y ＋4＝－1
4(x ＋1)，
即x ＋4y ＋17＝0.
9． (12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋9
4
与l 平行，求f (x )
的图象上的点到直线g (x )的最短距离． 解 因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝1
2x
.
所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋9
4平行，
所以k ＝1，即g (x )＝x ＋9
4
.
f (x )的图象上的点到直线
g (x )＝x ＋9
4的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94
＝
0之间的距离，
所以所求最短距离为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪94－142
＝ 2.
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． 若函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图象是( )
答案 A
解析 ∵f (x )＝x 2
＋bx ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b
2
4
＋c ，
由f (x )的图象的顶点在第四象限得－b
2>0，∴b <0.
又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A. 2． (2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线的斜率为
( )
A ．－12
B.1
2
C ．－
2
2
D.
22
答案 B
解析 ∵y ′＝cos x
x ＋cos x －x －sin x
x
x ＋cos x 2
＝
1
x ＋cos x
.故y ′|x ＝π4＝1
2
，
∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 3． 已知点P 在曲线y ＝4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π4
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2
C.⎝
⎛⎦⎥⎤π2，3π4
D.⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π
答案 D
解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ， 则k ＝y ′＝
－4e
x
x ＋
2
＝
－4
e x
＋1e
x ＋2
. 因为e x
>0，所以由基本不等式可得
k ≥
－42
e x
·1e
x ＋2
＝－1.
又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tan α<0. 所以3π
4≤α<π.故选D.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． 若函数f (x )＝－13x 3＋12
f ′(1)x 2
－f ′(2)x ＋5，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线l
的方程为________． 答案 x －y ＋5＝0
解析 f ′(x )＝－x 2
＋f ′(1)·x －f ′(2)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
f
＝－1＋f －f f ＝－4＋2f ′
－f
，
∴f ′(2)＝－1，f ′(1)＝1.
∴f (x )＝－13x 3＋12x 2＋x ＋5，f ′(x )＝－x 2
＋x ＋1.
∴f ′(0)＝1，f (0)＝5.
∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋5.
5. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )
在点P 处的切线方程是__________． 答案 x －y －2＝0
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线 的斜率k ＝
f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，
所以切线方程为x －y －2＝0.
6． 曲边梯形由曲线y ＝x 2
＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2
＋1，x ∈[1,2]上一
点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为__________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，134 解析 设P (x 0，x 2
0＋1)，x ∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2
＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2
0 ＋1)＝2x 0(x －x 0)，
令y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1＝g (x )，
由g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)， 得S 普通梯形＝
g
＋g 2
×1＝－x 2
0＋3x 0＋1
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134， 所以当P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．
三、解答题
7． (13分)设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12
＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7
4
x －3.
当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b
x
2，
于是⎩⎪⎨⎪
⎧
2a －b 2＝12
，
a ＋
b 4＝7
4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
故f (x )＝x －3
x
.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3
x
2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y
－y 0＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋3x
20(x －x 0)，
即y －⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6
x 0
，
从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫0，－6x
. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
－6x 0|2x 0|＝6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。