2005计科04-1班离散数学试题AB卷答案{山东理工大学}

2004～2005 学年第 二 学期
科目: 离散数学 考试试题A 卷答案
命题教师： 李伟勋 使用班级：计科04-1班
一、1．A
2．C
3．C
4．D
5．A
6．B
7．B
8．A
9．C
10．C
二、11．()
P Q R 谫 12．()()x x A x B "萎 13．{a ，b ，c }，{b ，c ，d }
14．反对称性，{,,,,,,,,,}a a a b b a b c c b <><><><><> 15．123{,1,,2},{,2,,1},{,1,,1},f a b f a b f a b =<><>=<><>=<><>
}2,,2,{4><><=b a f ；21,f f ；
16．4≤； 17．b a b a a ⋅=+⋅)(； 8．1，1； 19．4，18；20．m n × 三、21．解：（1）令P ：天下雨，Q ：我们去郊游。

1分 该命题可符号化为Q P →⌝。

1分 天不下雨是去郊游的充分条件 1分 （2）令P ：天下雨，Q ：我们去郊游。

该命题可符号化为P Q ⌝→或Q P ⌝→。

1分 天不下雨是去郊游的必要条件 1分 22．解：设题中的公式为A ，则 A )())((r q p r q p ∧∧→∧∨⇔
)())((r q p r q p ∧∧∨∧∨⌝⇔ 1分
)()(r q p r q p ∧∧∨⌝∨⌝∧⌝⇔
)()()(r q p r p q p ∧∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔ 2分
)())(())((r q p r q q p r r q p ∧∧∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔
)()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔ )()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔ 4分
7210m m m m ∨∨∨⇔,此即该公式的主析取范式.由此即推得它的主合取范式为
6543M M M M ∧∧∧
=)()()()(r q p r q p r q p r q p ∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧⌝∨⌝∨ 5分 23．解： ⑴ {0,0,1,1,1,2,2,1,R R *=<><><><><> 1分
⑵ 1{0,0,1,1,1,2,2,1,2,2
}R R -*=<><><><><> 1分 ⑶ {,{}}{0,1}{0,1,0,2,R R φφ↑=↑=<
><><> 2分
⑷ [{,{}}][{0,1}]
{
0R R
f f == 24．解：从Ｒ的表达式可知，x ∈A ，（x ，x ）∈
R ，即Ｒ具有自反性， 1分 由Ｒ的表达式，x ，y ∈A,(x,y)∈R,则(y,x)∈Ｒ，Ｒ具有对称性。

3分
又有x ，y ，z ∈Ａ，(x ，y)∈R 且（y ，ｚ）∈Ｒ，则（x ，ｚ）∈Ｒ，
于是Ｒ具有传递性。

故Ｒ是Ａ上的等价关系。

5分 6．解：强分图为 2分。

单向分图为： 3分
25．解：易知，二元运算满足交换律
. 对a a a a Z a *==-+=*∈∀2222, 即Z ∈2是单位元.
Z a ∈∀, a 的逆元记作1-a ，有 2211=-+=*--a a a a （单位元）
∴a a -=-41
．
三．计算题（二） 27．解：)(b a c b a a ++
b b a a
c b a a ++= 1分 b a a += 2分
))((b a a a ++= （加法对乘法的分配律） 4分
a += 5分
28．解：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=00
0110010101
0111)(D A
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=01
1101121112
1213
)(2D A
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=12
1313241325
2437
)(3D A ⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=24373641037511
410716)(4D A (1)(2)(3)(4)
11
111111()1111111
1P D A A A A ⎛⎫
⎪
⎪=∨∨∨= ⎪
⎪⎝⎭
四．29．证明：（参考答案）
用反证法，假设∃⌝xQ(x)成立。

（1）∀x ⌝P (x ) 前提 （2）⌝P (y ) （1）；US （3）∃⌝xQ (x ) 假设 （4）∀x ⌝Q (x ) （3） （5）⌝Q (y ) （4）；US （6）⌝P (y )⌝∧Q (y ) （2），（5） （7）⌝(P (y ) ∨Q (y )) （6） （8）∀x (P (x )∨Q (x )) 前提 （9）P (y ) ∨Q (y ) （8），US （10）(P (y ) ∨Q (y )) ∧⌝(P (y ) ∨Q (y )) （7），（9）
因为(P (y ) ∨Q (y )) ⌝∧(P (y ) ∨Q (y ))是恒假公式，所以∀x (P(x)∨Q (x ))，∀x ⌝P (x )⇒∃x Q(x )。

30．证明 G b a ∈∀,，存在Z l k ∈,使lm b km a ==,。

由于Z l k ∈+，得知
G m l k lm km b a ∈+=+=+)(，即+在G 上是封闭的。

由整数运算的性质可知，+是可结合的。

G m ∈⋅=00，对G a ∈∀，有a a a =+=+00，故0是G 的单位元。

G a ∈∀，存在Z k ∈使km a =，由于Z k ∈-，G m k a ∈-=-)(，且0)()(=+-=-+a a a a 。

故a -是a 的逆元。

综上所述，),(+G 是一个群。

2004～2005 学年第 二 学期
科目: 离散数学 考试试题B 卷答案
命题教师： 李伟勋 使用班级：计科04－1班
一、选择题
1．A 2．B 3．C 4．C 5．A
6．C
7．B
8．A
9．C
10．C
二、11．矛盾式；重言式；
12．设R (x )：x 为实数，则命题可符号化为))()((y x y x y R x R y x <∨≥→∧∀∀；
13．B ；A ；14．{<a ,c >,<a ,d >}，{<a ,a >,<a ,b >,<a ,d >}；15．{a ，b ，c }，{b ，c ，d }；16．反对称性；17．b a b a a ⋅=+⋅)(；18．1，1；19．4，18；20．偶数 三、21．解：（1）令P ：天下雨，Q ：我们去郊游。

该命题可符号化为Q P →⌝。

（天不下雨是去郊游的充分条件） 3分 （2）令P ：天下雨，Q ：我们去郊游。

该命题可符号化为P Q ⌝→或Q P ⌝→。

（天不下雨是去郊游的必要条件） 5分 22．解：R Q P ∨∧
))()(())((R Q Q P P R R Q P ∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∨∧∧⇔ )()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨∧∧⇔
)()()(R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨∧∧⌝∨∧⌝∧∨
)
()()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝⇔
111110*********m m m m m ∨∨∨∨⇔
76531m m m m m ∨∨∨∨⇔ 4分
∑⇔)7,6,5,3,1(
∴命题公式R Q P ∨∧的主析取范式为
)()()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝
∑⇔∨∨∨∨⇔)7,6,5,3,1(76531m m m m m 。

②求主合取范式
由①知命题公式R Q P ∨∧的主合取范式为
)()()()4,2,0(420
R Q P R Q P R Q P M M M
∨∨⌝∧∨⌝∨∧∨∨⇔∧∧⇔∏ 5分
23．解：(1){0,2,0,3,1,3}R R *=<><><>
1(2){1}{1,0}R -↑=<>
1(3){1}
{2,3}R -?
24．解 }3,,3,{}3{},{)(><><=⨯=⨯b a b a C B A
}3,,2,,1,,3,,2,,1,{><><><><><><=⨯b b b a a a B A }4,,3,,4,,3,{><><><><=⨯b b a a C A }3,,3,{)()(><><=⨯⨯b a C A B A ∴)()()(C A B A C B A ⨯⨯=⨯ 25．解：i)(){0,1,2,3,4,5}F R =
（1）因为(()){0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5}I F R R =<><><><><><>⊆， 所以R 是自反的； （2）因为
1{0,0,1,1,2,1,3,1,1,2,2,2,3,2,1,3,2,3,3,3,4,4,5,4,4,5,5,5}
R -=<><><><><><><><><><><><><><>
而111()R R ---=，所以R 是对称的；
（3）因为R R R *⊆，所以具有传递性．由（1）(2)(3)可知R 在A 上式等价关系。

26．解：任意两个正整数的最小公倍数仍是一个正整数，即 在Z+上是封闭的，故 是Z+上的二元运算。

+∈∀Z c b a ,,，设c b a m )(=，)(c b a n =，则有
)),,(lcm (lcm c b a m = m c m b a | ,|),(lcm ⇒ m c m b m a | ,| ,|⇒ m c b m a |),(lcm ,|⇒ m c b a |)),(lcm ,(lcm ⇒ 即 m n |
同理可证n m |。

故有n m =，即)()(c b a c b a =。

所以 是可结合的。

从而),( +Z 是一个半群。

因为+∈∀Z a ，有a a a ==)1,(lcm 1 ，故1是单位元，即),( +Z 是含单位元的半群。

四．计算题（二）
27．解：c b a bc a bc c ab abc ++++
)()(c c b a bc c c ab ++++= （结合律，分配律） b a bc ab ++= （1=+c c ）
))((c a a b ++= （交换律，分配律，结合律） b = （11 ,1=+=+c a a ） 8．解：解
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001100101010111)(D A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
01
1101121112121
3)(2D A ⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=12
1
3132413252437)(3D A ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=
24373641037511410716)(4D A 从1v 到4v 长度为2的通路有1条：47351v e v e v 。

从1v 到4v 长度为3的通路有2条：4734221v e v e v e v ，4735111v e v e v e v 。

四．1．证明 （1）)()(x xB x xA ∀∨∀ P
（2）)()(y yB x xA ∀∨∀ T （1）（换名规则） （3）))()((y B x A y x ∨∀∀ T （2）（前束范式性质2） （4）))()((y B a A y ∨∀ T （3）（US 规则） （5）)()(a B a A ∨ T （4）（US 规则） （6）))()(((x B x A x ∨∀ T （5）（UG 规则） 证二 （1）))()((x B x A x ∨⌝∀ P （附加） （2）))()((x B x A x ⌝∧⌝∃ T （1）（等值置换） （3）)()(a B a A ⌝∧⌝ T （2）（ES 规则） （4）)(a A ⌝ T （3）（化简规则） （5）)(x A x ⌝∃ T （4）（EG 规则） （6）)()(x xB x xA ∀∨∀ P
（7）)()(x xB x A x ∀→⌝∃ T （6）（等值置换） （8）)(x xB ∀ T （5），（7）（假言推理） （9）)(a B T （8）（US 规则） （10）)(a B ⌝ T （3）（化简规则） （11）)()(a B a B ⌝∧ T （9），（10）（合取引入） 2．证明： Z c b a ∈∀,, Z b a b a ∈-+=2
42)2()2()(-++=-+-+=-+=c b a c b a c b a c b a 42)2()2()(-++=--++=-+=c b a c b a c b a c b a )()(c b a c b a =∴
所以运算 在Z 上是封闭的，可结合的。

又Z a ∈∀，有Z ∈2，使a a a =-+=222 ，a a a =-+=222 所以运算 有单位元2。

Z a ∈∀，有Z a ∈-4，使
22)4()4(=-+-=-a a a a ，22)4()4(=--+=-a a a a 所以Z 中每一元素均有逆元a a -=-41。

综上所述，),( Z 是群。