2017年北大博雅计划数学试题及答案

【 7】A. 不妨设 MOB,MOC,�COD,丛XJA 的周长为 2x , 那么乘以各自的半 径再除以 2, 有
SMOB =3x, 5'.战oc =4x,SAcon = 6x 。 再设 IOAI = 3p,IOBI= 2q , 则IOCl=4p,IODl=3q ,
SMOD S战oc
＝ IOAI·IODI IDBI·1oc1
2
2
一3 冗
-iAE(O石），
结合
AE(O,兀），故
冗3
AE(2'4�)
即可使得B,
C
角
也满足题意。
2
3
忙 最后我们考虑方程sinA=tanC=tan 3 -2A)=cot2A 的解：
记 t=cosAe(-— 五 ,0' 方 程化为 2i'+21'-21-1=0 。再记 f (t)=21'+2t'-2,-1 , 而
所以
【评析】这类余数计算题在自招当中非常常见，只要习惯了这样的同余分析，难度其实并 不大。
【6】A.
(x-�)(三］（三］为正整数，通分 ⇒ 叩 (.xy-1肛-1肛-1).
而(xy-1)(立-1)位-1)=(邓矿－亚(x+ y+z)+xy+y.z+笃-1, 故
妇(xy+归＋立-1)。
当 x=l 时，有叫(y+芦+z-1) ⇒叫y+z-l ⇒卢匀+z-巨y=归=1, 代入原式不合题意。
小于n。而由于2,4,8... 的倍数在正整数集中分布比5,25,125的倍数密，即2的幕次不小于 n更容易达到。 故我们考虑 5 的幕次。 不大 于 402 的 5 的正 整 数幕最 大是 125, 故 a,b,c 各自所 含 5 的 幕 次最 高 是 3 . 而
a+b+c = 402, 故 a,b,c 中至少有一个不是 5 的倍数， 从而 a,b,c 所含 5 的幕次之 和最高为
)
A. (100,110) B. (110,120) C. (120,130)
D. 以上都不对
f2
12、设a= sinl4°+cos14° ,b = sinl6°+cosl6° ,c = 三，则 a ,b ,c 的大小关系是 2
A. b>c>a
B. b>a>c
C. c>b>a
D. 以上都不对
13、 现将正整数数列分成两组，使得两组中均不包含无穷等差数列，问上述分组方法数
（
A.O
B.1
C. 无穷种
D. 以上答案均不正确
14.使得 ( 2017-n)2°17-n 和旷个位数字相同的最小正整数 n是(
)
A. 3
B. 5
C. 6
D. 以上答案均不正确
2
2017北京大学博雅计划测试
数学答案
【 1】D 10=2x5, 若要使10n labc, 则 5" jabc 且zn labc'ab c 中 5 的幕次不小于n, 2 的幕次也 不
并不影响最后的结论。
【3】 A 我们对前三个选项逐一验证即可。
A 选项：假设 AABC 中， AB=4,AC=5,BC=6, 如下左图所示， AD 是内角平分线。
A
根据角平分线定理，计算得
CD=— 130 ,
8 BD=-3
。利用角平分线
长公式， AD=✓AB-AC-DB·DC =— 130=CD , 于 是
故 X':F-1。 于是根据对称性，不妨设 l<x:=;;y:=;;z, 则
O<k=
xy+
yz+ 劝�
穹-1=-1 +-1 +-1 -一1 <-1 +-1 +-1 ::;; X y Z 劝Z X y Z
一'23
所以 k=l, 即 XyZ=xy+�+罕-1。
:·劝红3�-1<3� ⇒ x<3。
X = 2 , 代 入功z-=xy+�+立-1 中得到 yz-2(y+z)+1 = 0 , 即 (y-2)(z-2)= 3 解得
5
y=3,z==5, 所以{x,y,z}= {2,3,5}. 故 2x+3y+5z的最大值和最小值分别是 38 和 29, 答案
A. 【评析】这道题考察的是未知整数在分母处， 对整个式子进行放缩的技巧。 诸如此类的题 目套路也很固定：将未知数设出一个大小关系序列， 从最小的数开始估计其上界， 最后再 来分类讨论。
＝－9 ， s
即
SMoD=— 92x．
故 liDOA 的内切圆半径是？雾 2
答案为 A.
【评析】此题导向非常明确：通过周长和内切圆半径来求得三角形面积。有了面积之后，再 通过共边定理获得另一个三角形的面积值。 较为容易。
【8】C.
9 +95+995+… +99 …95=(10-1)+(100 -5)+(1000-5)+… +(102017 -5)
（
）
A. 4,5,6
B. 6,7,8
C. 7,8,9
D. 以上答案均不正确
4. (1+cosf)(1+cos琴）(1+co者）的值是（
）
A．
9 -8
B
3 一4
c．
7 -8
D. 以上答案均不正确
5. 由1,4,7,10,...,2014,2017 构造的数1471013… 20142017 除以 9的余数是（
故n的最大可能值 不大于5 .我们设法构造取到 5 的情形。 a,b,c 所含 5 的幕次和 不小于 5 。 幕次和为6的情形上已排除， 故幕次和为 5 。 由于a,b,c
中至少有一个不是 5 的倍数，故 a,b,c必有一个被 2 5 整除，一个被 125 整除。我们尽力使这
两数所含 2 的幕次更大。为此， 取a==IOO, b=250 , 那么 C == 52 。此时 a,b,c 所含 2 的幕
6, ns;6。
若n取到6' 则 a,b,c 中必有两者是 125 之倍数， 即125,250,375。 由a+b 不大于402 可排 除 375 , 从而只有{a,b, c} = {125,125,152}; {125,250,27} 两种。经验证这两者 a,b,c 所含 2 的 幕次小于6' 不满足 106 labc !
有
I: 五）故 0 平 +z2 +z3 +z4 +zsl =(z1 飞+Z3 飞+Z5 )(Z1 已+Z3 +Z4 己） =s+ (z;�+ l!>i<j!>S
6
II I I ） 而S
气-zi「= (2-五－五）=20- (五五zi ::;; 25,
l:Si<j:.5
l:si<j:s5
l:Si<j玉5
【5】C
1471013…20142017 的数值即
lx1Cf1 +4xl<f4 +7xl<f'1 代.+2014xl俨14 +2017xl庐17
其中 a1, a4, a1,…， ll2014,ll2011是对应数宇出现的数位数，比如 2017 出现在原数字的笫 0 位，
2014 出现在第 4 位等。 注意到 10 的方幕除以 9 的余 数一定是 1' 1471013...20142017 =1+4+7+…+2014+2017 = 673 X1009 三 7(mod9)
＿2016个9
=11…10-(1+5x2016) =11…10-10081=11…101029. 故答案为 C。
一2017个1
0 7 匕一___,
2 1 个l
0 3 匕一_____,
2 1 个l
【评析】乍一看没什么思路， 但是动手演算后容易发现与问题相关的规律。 考验考生的计
算能力。
【9】A.
—— 令sin2 a=x,sin顷=y, 则x,yE[0,1), tan2 a=1-Xx,tan凇 1.,..y ．
次和为 5' 故 105 jabc, n之最大值为 5 . 【评析】此题看似简单的素因子分析和讨论， 其实严格说明并不简单， 许多细节处技巧性 都很强。 此题属于不好做的数论题。
【2】 B
祁据 sin A=cosB, 得到A=B+互 或 A+B= 王（舍）。
2
2
再根据 A+B+C== 冗，解得 C=i冗 -2A 。为了使B,C 角满足题意，得到A- 王E(0,冗）并且
1- f'(t)=6t'+41-: 在 亨， oJ 上但为负，所以 f (t) 在（－享， oJ 上递减。再王意到
1[-了寻 f(0)=-1<0,
>0, 于是满足原题的三角形有且仅有一个解。
【评析】解三角形中较难的问题，关键是可能漏解或者误把不满足题意的解当成正解。事
实上，许多同学可能并没有发现此题的 f (t)应当是在［享， oJ 上有解，而非 (-1,0), 虽然
）
A. 1
B. 4
C. 7
D. 以上答案均不正确
6. 正整数 x,y,z 使得（三）( y-;)( 三）也是正整数，则 2x+3y+5z 的最大值与最小值之
差为（）．
A.9
B.15
C.22
D. 以上都不对
7 、若四边形 ABCD的对角线 AC,BD 相交于 0, MOB,MOC,f1COD,WOA 的周长相等，
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1. 若正整数a,b,c 满足a+b+c=402, 则使得10勹abc 的最大正整数 n 是(
)
A.5
B.6
C. 7
D. 以上答案均不正确
2. 满足 sin A=cos B=tanC的互不相似的入钮C 一共（
）个
A. 0
B. 1
C. 2
D. 以上答案均不正确
3. 三角形满足 一个内角是另 一个内角的两倍，且边长为连续正整数， 则三边长可能是
当且仅当忆+ Z1 +Z3 +Z4 +Zs I o即 PiP2��f's 是正五边形时取到 号．
【评析】根据对称性，猜测圆内接正五边形时达到最大值。严格证明需要用到复数来表达，较为复 杂。 考场上碰到的话计算一下正五边形的值就跳过吧。
【11】A. S =(a+be)(b+_ae)={a(a+b+e)+be){b(a+b+e)+ae)
且 MOB,MOC,f1COD 的内切圆半径分别为3,4,6, 则 A/JOA 的内切圆半径是（ ）
A
9 -2
B
3 -2
c．
7 -2
D. 以上都不对
8、 9,95,995,… 99… 9 5 之和中共有（ ）个1 。
2016个9
A. 2012源自文库
B. 2013
C. 2014
D. 以上都不对
p p, 9、
y
故
1-x 1-y =
1+- 1-X x +
y 1-y
x+ y- 2xy 1- 功
=
x+y
即
xy(x+
y)
= 2xy,
从而 x+y=2
(舍）或者 xy=O.
答案为A. 【评析】重在代数变形的题目。 换元后找寻三角函数的规律， 很快得到答案。
【10】C.
考虑圆内接五边形 PiP2只几Fs' 设月对应的复数为z;(lsis5), 所有线段平方和为 s' 注意到
乙 C=乙 CAD=—乙 A 成立。
c
B
2
同样的方法可以验证 BC 选项均不正确。
【评析】涉及三角形角平分线相关的长度计算问题，以及内角为两倍的证明技巧，都是初
中平面几何竞赛的常见内容。
【 4】C 利用积化和差降次，
互 琴］ (1+cos )(1+cos�)(1+cos
l+cos— 冗 +cos— 3冗 +cos— 5冗 +cos— 冗 cos— 3冗 +cos— 兀 cos— 5兀 +cos— 3冗 cos— 5冗 +cos— 冗 cos— 3兀 cos— 5冗
7
7
7
77
77
77
77 7
=l+cos-冗 +cos— 3兀 +cos— 5冗 +cos— 2冗 +cos— 4兀 +cos— 6冗 +cos-兀 cos— 3兀 cos— 5冗
7
7
7
7
7
7
77 7
言 l+cos7冗 cos了 3兀 COS 了 5冗 飞3 飞1(cos2了兀 +cos了4兀 +cos6冗
已知
tan2 a+tan2 P l+tan2 a+tan2
=sm. 2 a+sin2
则 sinasmP 的最大值是（ ）
1
A. 0
B. — ✓2
1 c ． -2
D. 以上都不对
10、单位圆内接五边形的所有边长与对角线的平方和的最大值是（）
A. 15
B. 20
C. 25
D. 以上都不对
11、若 a +b+c=1,s= (a+be) (b+ac)>100 , 则 Smin E (
4
利用等差角求和公式，
cos7 - 2冗+cos7 - 4冗+·cos7 - 6冗 =
sin7 一 3冗-sin7 一冗 +sin7 一 5冗-sin7 一 3冗 +sin7 一 7冗 -si7 n-5 冗 2sin-冗7
＝
1 -2 ，
故原式值为
7
-o
【评析】此题想法并不困难，降次应该是多数同学会想到的第一方法，降次之后的等差角求和公式 也是基本的技巧。此题的难点还是在于对于基本技巧的熟练程度。
广 =(a+b (a+c)(b+c)=(1-c}2 (1-b){l-a) > 100, 故a,b>l 或者 a,妇0.
当 a,b:::;;O 时，
』 叶 『叶，矛盾 S=
(i-c
2
)
x2(1
-b)x2(1-a)
[2(1-c)+2(1;b)+2(1-a)
当a,b>I时， S =(1-c)2 (1-b)(1-a)=(1-c)2 (c+ab) s c(l-c)2 十扣-c)4 '